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高中数学教案——等差数列等差数列的性质

课 题:3.1 等差数列等差数列的性质 教学目的: 1.明确等差中项的概念. 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式. 教学重点:等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上,推导等差数列前 n 项 和的公式,并突出等差数列的一个重要的对称性质:与任一项前后等距离的两 项的平均数都与该项相等,认识这一点对解决问题会带来一些方便 教学过程: 王新敞 奎屯 新疆 一、复习引入 三人行,必有我师 首先回忆一下上节课所学主要内容: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差 等于同一个常数,即 an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ) ,这个数列就叫做等差数 列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 2.等差数列的通项公式: 王新敞 奎屯 新疆 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ( an ? am ? (n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数)) 3.有几种方法可以计算公差 d ① d= an - a n ?1 ② d= a n ? a1 n ?1 ③ d= an ? am n?m 二、讲解新课: 问题:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 应满足什么条件? 由定义得 A- a = b -A 反之,若 A ? ,即: A ? a?b 2 a?b ,则 A- a = b -A 2 a?b ? a, b, 成等差数列 由此可可得: A ? 2 也就是说,A= 王新敞 奎屯 新疆 a?b 是 a,A,b 成等差数列的充要条件 2 定义:若 a ,A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除 外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 看来, a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7 性质:在等差数列中,若 m+n=p+q,则, am ? an ? a p ? aq 即 m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由 am ? an ? a p ? aq 推不出 m+n=p+q ,② am ? an ? am?n 三、例题讲解 三人行,必有我师 例 1 在等差数列{ an }中,若 a1 + a6 =9, a4 =7, 求 a3 , a9 . 分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项 公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项 (知道任意两项就知道公差) ,本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想 到从这双项关系式入手…… 解:∵ {an }是等差数列 ∴ a1 + a6 = a4 + a3 =9 ? a3 =9- a4 =9-7=2 ∴ d= a4 - a3 =7-2=5 ∴ a9 = a4 +(9-4)d=7+5*5=32 ∴ a3 =2, a9 =32 例 2 等差数列{ an }中, a1 + a3 + a5 =-12, 且 a1 · a3 · a5 =80. 求通项 an 分析:要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题 而已知两个条件 均是三项复合关系式,欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 解: a1 + a5 =2 a3 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ?12 ? 3a3 ? ?12 ? a3 ? ?4? ?a1a5 ? ?20 ??? a1a3 a5 ? 80 ? ?a1 ? a5 ? ?8 ? a1 =-10, a5 =2 或 a1 =2, a5 =-10 ∵ d= a5 ? a1 5 ?1 ∴ d=3 或-3 ∴ an =-10+3 (n-1) = 3n- 13 或 an =2 -3 (n-1) = -3n+5 例 3 在等差数列{ an }中, 已知 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =450, 求 a2 + a8 及 前 9 项和 S 9 . 解:由等差中项公式: a3 + a7 =2 a5 , a4 + a6 =2 a5 三人行,必有我师 由条件 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =450, 得 5 a5 =450, a5 =90, ∴ a2 + a8 =2 a5 =180. S 9 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 =( a1 + a9 )+( a2 + a8 )+( a3 + a7 )+( a4 + a6 )+ a5 =9 a5 =810. 例 4 已知 a、 b、 c 的倒数成等差数列, 求证: 王新敞 奎屯 新疆 a b c , , b?c?a c?a ?b a?b?c 的倒数也成等差数列 分析:给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数 x、y、z 成 等差数列的充要条件:x+y=2z 证明:因为 a、b、c 的倒数成等差数列 王新敞 奎屯 新疆 2 1 1 ? ? ,即 2ac=b(a+c) b a c b ? c ? a a ? b ? c c(b ? c) ? a(a ? b) 又 + = -2 a c ac c 2 ? a 2 ? b( a ? c ) c 2 ? a 2 ? 2ac = -2= -2

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