[新课标]2012高考第一轮复习【理科数学】第1单元第2讲

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理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题
及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种 命题的相互关系，理解必要条件、充分条件与 充要条件的意义．

1. 　 命题“若x 2 ? 1，则－1 ? x ? 1”的逆否命题是 ? A．若x 2 ? 1，则x ? 1或x ? －1 B．若－1 ? x ? 1，则x 2 ? 1 C．若x ? 1或x ? －1，则x ? 1
2

?

D．若x ? 1或x ? －1，则x 2 ? 1

解析： 由逆否命题的定义可知选D.

　 2.如果一个命题的逆命题是真命题，则该命题的? A．原命题必是假命题 B．否命题必是假命题 C．逆否命题必是真命题 D．否命题必是真命题

?

解析：由于逆命题与否命题互为逆否命题， 真假性相同，故选D.

3.对于x，y ? R，则“xy＝0”是“x 2＋y 2＝0”的? A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

?

解析：由x ＋y ＝0，得x＝0且y＝0，则xy＝0， 即必要条件成立．而xy＝0，取x＝0，y＝1， 则x ＋y ＝1 ? 0，即充分条件不成立，故选B.
2 2

2

2

易错点：由xy＝0，得x＝0，y＝0，误认为 x＝0，y＝0同时成立，而得x 2＋y 2＝0，错选C.

　 4.命题： “若m ? 0，则x 2＋x－m＝0有实根 的 否定是　 . 　

解析：命题的否定只要求否定结论，从而 原命题的否定是“若m ? 0，则x 2＋x－m＝0 无实根”．

易错点：将命题的否定与否命题概念混淆．

　 5.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的充分不必要 条件，丙是乙的必要不充分条件，则甲是丙的　 要”或“必要不充分” )条件． 　 (填“充分”、“必要”、“充分必要”、“充分不必

解析： 由题设甲 ? 乙，但乙 ? 甲，乙 ? 丙， 但丙 ? 乙，从而甲 ? 丙，故可知甲是丙的充分 条件，而必要条件无法确定．故填“充分”．

易错点：乙 ? 甲，丙 ? 乙，不能判定丙 ? 甲，易 误填“充分不必要”．

1. 　 命题及四种命题的相互关系

?1? 可以判断真假的语句叫命题，由① ______
两部分构成．

? 2 ? 命题的四种形式：
原命题：若p，则q； 逆命题：若② _______ ，则③ ________ ； 否命题：若④ _______ ，则⑤ ________ ； 逆否命题：若⑥ _____ ，则⑦ ________ .

?3?四种命题的关系：

?3?四种命题的关系：

⑧ __________ 的命题互为等价命题，它们 同真同假．

2．充分条件与必要条件 ?1? 若p ? q，则称 p为q的⑨ ______ ，同时q是p的⑩ ______ ；

? 2 ? 若 _______ 且 ______ ，则称p是q的充要条件．
【要点指导】 ①题设和结论；②q；③p；④?p；⑤?q；⑥?q； ⑦?p；⑧互为逆否；⑨充分条件； ⑩必要条件； p ? q； q ? p

题型一

命题及其相互关系

例1. ?1? 命题“若函数f ? x ?＝log a x( a ? 0，且a ? 1) 在其定义域内是减函数，则log a 2 ? 0”的逆否 命题是
x

.

x 2 已知函数 f x ＝ e ? ? ? ? －mx非常数函数，则命题

“若函数f ? x ?＝e －mx在[0，＋?)上是增函数， 则m ? 1 ”的否命题是 ；该命题的逆命题， 个． 否命题，逆否命题中，真命题共有

解析： ?1?由逆否命题的含义可知，原命题的 逆否命题是“若log a 2 ? 0，则函数f ? x ?＝log a x (a ? 0，a ? 1)在其定义域上是增函数”．

? 2 ?由否命题的含义可知，原命题的否命题是 “若函数f ? x ?＝e x－mx在[0，＋?)上是减函数，
则m ? 1”．

因为f ? ? x ?＝e －m，当x ? [0，＋?)时，e ? 1，
x x

因此可知，若f ? x ? 在[0，＋?)上是增函数， 即x ? [0，＋?)，m ? e 恒成立，故m ? 1，
x

从而可知原命题是真命题．若f ? x ?＝e －mx
x

在[0，＋?)上是减函数时，f ? ? x ?＝e －m ? 0，
x

即m ? e x，又x ? [0，＋?)时，e x ? 1，所以m ? 1.

从而可知否命题是真命题．由四种命题 的相互关系可得，逆否命题是真命题， 逆命题和否命题是真命题，填3个．

评析：(1)已知原命题，写出它的其他三种 命题，首先把命题改写成“若p，则q”的形式， 然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的 定义写出其他命题．对写出的命题也可简洁表 述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式 时，大前提不要动． (2)判断命题的真假，可直接判断，如果不易判 断，可根据互为逆否命题的两个命题是等价命 题来判断；原命题与逆否命题是等价命题，否 命题与逆命题是等价命题．

素材1： (2010 ?山东模拟)分别写出下列命题的 逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的 真假： ?1? 若b －4ac＝0，则方程ax ＋bx＋c＝0
2 2

(a ? 0)有两个相等的实根；

? 2 ? 若A

B＝I，则A＝?I B

解析： ?1? 逆命题：若方程ax ＋bx＋c＝0(a ? 0)
2

有两个相等的实根，则b －4ac＝0，为真命题． 否命题：若b －4ac ? 0，则方程ax ＋bx＋c＝0
2 2

2

(a ? 0)没有两个相等实根，为真命题． 逆否命题：若方程ax ＋bx＋c＝0(a ? 0)没有两个
2

相等实根，则b －4ac ? 0，为真命题．
2

? 2 ? 逆命题：若A＝?I B，则A

B＝I，为真命题．

否命题：若A B ? I，则A ? ?I B，为真命题． 逆否命题：若A ? ?I B，则A B ? I，为假命题．

题型二

充分条件、必要条件的判断

例2.?1? 设a、b是实数，则“lg(a 2＋1) ? lg(b 2＋1)” 是“a ? b”的( 　　 ) A．充要条件 C．必要不充分条件 B．充要不必要条件 D．既不充分也不必要条件

? 2 ?已知集合A＝{x | a－2 ? x ? a＋2}，B＝{x |
( x＋2)( x－4) ? 0}，则A B＝?的充要条件是( 　　 ) A． 0?a?2 B．－2 ? a ? 2 C． 0?a?2 D． 0?a?2

解析： ?1?由函数y＝lgx是增函数可知，lg(a ＋1) ? lg(b ＋1)
2 2

? a ＋1 ? b ＋1 ? a ? b .易知a ? b ? a ? b，
2 2 2 2 2 2

且a ? b ? a ? b ，故“lg(a ＋1) ? lg(b ＋1)”是“a ? b”
2 2 2 2

的既不充分也不必要条件，故选D. ?a－2 ? 2 ? 2 ? B＝{x | x ? －2或x ? 4}，由A B＝? ? ? ?a＋2 ? 4 ? 0 ? a ? 2，故选A.

评析：有关充要条件的判断问题的求解程 序是：①辨明试题表述的语句是“定义形式” 还是“倒装形式”；②由充要条件的定义确定 命题推导的顺序；③依定义确定充要性．

素材2.下列各小题中，p是q的充要条件的是 ? 不同的零点； f ?－x ? ②p： ＝1，q：y＝f ? x ? 是偶函数； f ? x? ③p：cos?＝cos?，q：tan?＝tan?； ④p：A B＝A，q：痧 uB ? u A A．①② B．②③ C．③④ D．①④

?

①p：m ? －2或m ? 6，q：y＝x 2＋mx＋m＋3有两个

解析： ①中?＝m 2－4m－12 ? 0 ? (m－2) 2 ? 42 ? m ? 6或m ? －2，即p ? q； ④中A B＝A ? A ? B ? 痧 uB ?
u

A.故选D.

题型三 充要条件的证明与探究

例2.证明：方程ax ＋2x＋1＝0有且只有一个负实数 根的充要条件是a ? 0或a＝ 1.

2

证明： (充分性) 1 当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，其根为x＝－ ； 2 当a＝1时，原方程为( x＋1) 2＝0，其根为x＝－1； 当a ? 0时，?＝4(1－a) ? 0，原方程有两不等实根， 1 其两根积等于 ? 0，因此方程的根一正一负． a 综上可知，a ? 0或a＝1时，方程ax 2＋2x＋1＝0有且 只有一个负实数根．

(必要性) 若方程ax 2＋2x＋1有且只有一个负实数根，则a＝0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 或 ??＝4－4a＝0 或 ??＝4－4a ? 0， ? 2 ?1 ?－ ? 0 ? ?0 ? a ?a 因此a＝0或a＝1或a ? 0，即a ? 0或a＝1.故方程 ax 2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根的充要条件 是a ? 0或a＝1.

评析：(1)有关充要条件的证明必须分“充 分性”和“必要性”两个环节分别进行推理论 证． (2)证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情 形，因此论证时必须依“定义”弄清．

素材3.设命题p： | 4x－3 |? 1；命题q：x －(2a＋1) x＋
2

a(a＋1) ? 0.若 ? p是 ? q的必要而不充分条件，求实 数a的取值范围．

1 解析：由 | 4x－3 |? 1得－1 ? 4x－3 ? 1，故 ? x ? 1. 2 由x 2－(2a＋1)x＋a ( a＋1) ? 0，得( x－a )( x－a－ 1) ? 0， 故a ? x ? a＋1.因为 ? p是 ? q的必要而不充分条件， 1 所以p是q的充分而不必要条件，即[ ， 1??? a，a＋1]， 2 1 ? 1 ?a ? 所以 ? 2 ，解得0 ? a ? .故所求的实数a的取值 2 ? a ＋ 1 ? 1 ? 1 范围是[0， ]． 2

备选例题(2010 ? 江西模拟)已知抛物线C： y＝－x ＋mx－1和点A ? 3,0 ?、B ? 0,3?，求
2

抛物线C与线段AB有两个不同交点的 充要条件．

解析：由已知得线段AB的方程为x＋y＝3(0 ? x ? 3)， 因为抛物线C与线段AB有两个不同的交点，所以 ? y＝x 2＋mx－1 方程组 ? 有两个不同的实数解． ? x＋y＝3? 0 ? x ? 3? 将y＝3－x代入y＝－x 2＋mx－1， 得x 2－(1＋m) x＋4＝0(0 ? x ? 3)，即关于x的方程 x －(1＋m) x＋4＝0在?0,3? 上有两个不同的实数解．
2

反过来，若方程x 2－(1＋m) x＋4＝0在? 0,3? 上有两个 不同的实数解x1、x2，分别代入x＋y＝3可得到y1和y2， 故抛物线C与线段AB有两个不同的交点( x1，y1 )和( x2，y2 ) 于是问题转化为求关于x的方程x 2－(1＋m) x＋4＝0在

?0,3?上有两个不同的实数解的充要条件． 令f ? x ?＝x 2－(1＋m) x＋4(如图所示)．

??1＋m ? －4 ? 4 ? 0 2 2 ? ??1＋m ? ? 4 ? f ? 3 ? ? 0 ? ? ? ? 　　则有 ? m＋1 ，即?－3m＋10 ? 0 ?， ?3 ?0 ? ?0 ? 1＋m ? 6 ? 2 ? ? ? ? ? f ? 0? ? 0 10 10 解得3 ? m ? .故所求的充要条件是3 ? m ? . 3 3
2

1．充分条件、必要条件是高考重点考查的考点，常与 其他知识综合在一起．命题表达形式有：①“若p，则q” 为真；②p ? q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件， 这四种表述实质意义相同． 2．充分条件、必要条件常用的判断方法： (1)定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B ?A或A ? B是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关 系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．

(2)集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断
有困难时，有时可以从集合的角度来考虑， 记条件p、q对应的集合分别为A、B，则： 若A ? B，则p是q的充分条件； 若A ? B，则p是q的充分非必要条件； 若A ? B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的必要非充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A 刭B，且A 也非必要条件． B，则p是q的既非充分条件

(3)用命题的等价性判断：判断p是q的什么条件，其实 质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真还是 假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件； 原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件； 原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题 为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条 件．同时要注意反例法的运用． 注意：确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造 反例的方法来说明． 3．探求充要条件可以先求充分条件，再验证必要性； 或者先求必要条件，再验证充分性；或者等价转换条 件．

已知p：“f ? 0 ?＝0”，q：“函数f ? x ? 为奇函数”， 则p是q的( 　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

错解：若f ? x ? 是奇函数，则f (－x)＝－f ? x ?． 令x＝0，得f ? 0 ?＝0.从而p是q的必要条件． 但若f ? x ?＝x ，有f ? 0 ?＝0，此时f ? x ? 为偶函数，
2

从而p不是q的充分条件，故应选B.

错误分析：f ? x ? 是奇函数 ? f (－x)＝－f ? x ?， 1 但若x＝0时，f ? x ? 无意义，例如f ? x ?＝ ， x 就不能推出f ? 0 ?＝0，因此必要性不成立．

正解：一方面，f ? x ? 是奇函数，若0不属于其 1 定义域，如函数f ? x ?＝ ，当x＝0时，f ? 0 ? x 无意义，从而f ? 0 ?＝0不成立； 另一方面，若f ? 0 ?＝0，且设f ? x ?＝x 2，从而 可知f ? x ? 不是奇函数，故应选D.