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[新课标]2012高考第一轮复习【理科数学】第1单元第2讲


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理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题
及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种 命题的相互关系,理解必要条件、充分条件与 充要条件的意义.

1.   命题“若x 2 ? 1,则-1 ? x ? 1”的逆否命题是 ? A.若x 2 ? 1,则x ? 1或x ? -1 B.若-1 ? x ? 1,则x 2 ? 1 C.若x ? 1或x ? -1,则x ? 1
2

?

D.若x ? 1或x ? -1,则x 2 ? 1

解析: 由逆否命题的定义可知选D.

  2.如果一个命题的逆命题是真命题,则该命题的? A.原命题必是假命题 B.否命题必是假命题 C.逆否命题必是真命题 D.否命题必是真命题

?

解析:由于逆命题与否命题互为逆否命题, 真假性相同,故选D.

3.对于x,y ? R,则“xy=0”是“x 2+y 2=0”的? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

?

解析:由x +y =0,得x=0且y=0,则xy=0, 即必要条件成立.而xy=0,取x=0,y=1, 则x +y =1 ? 0,即充分条件不成立,故选B.
2 2

2

2

易错点:由xy=0,得x=0,y=0,误认为 x=0,y=0同时成立,而得x 2+y 2=0,错选C.

  4.命题: “若m ? 0,则x 2+x-m=0有实根 的 否定是  .  

解析:命题的否定只要求否定结论,从而 原命题的否定是“若m ? 0,则x 2+x-m=0 无实根”.

易错点:将命题的否定与否命题概念混淆.

  5.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的充分不必要 条件,丙是乙的必要不充分条件,则甲是丙的  要”或“必要不充分” )条件.   (填“充分”、“必要”、“充分必要”、“充分不必

解析: 由题设甲 ? 乙,但乙 ? 甲,乙 ? 丙, 但丙 ? 乙,从而甲 ? 丙,故可知甲是丙的充分 条件,而必要条件无法确定.故填“充分”.

易错点:乙 ? 甲,丙 ? 乙,不能判定丙 ? 甲,易 误填“充分不必要”.

1.   命题及四种命题的相互关系

?1? 可以判断真假的语句叫命题,由① ______
两部分构成.

? 2 ? 命题的四种形式:
原命题:若p,则q; 逆命题:若② _______ ,则③ ________ ; 否命题:若④ _______ ,则⑤ ________ ; 逆否命题:若⑥ _____ ,则⑦ ________ .

?3?四种命题的关系:

?3?四种命题的关系:

⑧ __________ 的命题互为等价命题,它们 同真同假.

2.充分条件与必要条件 ?1? 若p ? q,则称 p为q的⑨ ______ ,同时q是p的⑩ ______ ;

? 2 ? 若 _______ 且 ______ ,则称p是q的充要条件.
【要点指导】 ①题设和结论;②q;③p;④?p;⑤?q;⑥?q; ⑦?p;⑧互为逆否;⑨充分条件; ⑩必要条件; p ? q; q ? p

题型一

命题及其相互关系

例1. ?1? 命题“若函数f ? x ?=log a x( a ? 0,且a ? 1) 在其定义域内是减函数,则log a 2 ? 0”的逆否 命题是
x

.

x 2 已知函数 f x = e ? ? ? ? -mx非常数函数,则命题

“若函数f ? x ?=e -mx在[0,+?)上是增函数, 则m ? 1 ”的否命题是 ;该命题的逆命题, 个. 否命题,逆否命题中,真命题共有

解析: ?1?由逆否命题的含义可知,原命题的 逆否命题是“若log a 2 ? 0,则函数f ? x ?=log a x (a ? 0,a ? 1)在其定义域上是增函数”.

? 2 ?由否命题的含义可知,原命题的否命题是 “若函数f ? x ?=e x-mx在[0,+?)上是减函数,
则m ? 1”.

因为f ? ? x ?=e -m,当x ? [0,+?)时,e ? 1,
x x

因此可知,若f ? x ? 在[0,+?)上是增函数, 即x ? [0,+?),m ? e 恒成立,故m ? 1,
x

从而可知原命题是真命题.若f ? x ?=e -mx
x

在[0,+?)上是减函数时,f ? ? x ?=e -m ? 0,
x

即m ? e x,又x ? [0,+?)时,e x ? 1,所以m ? 1.

从而可知否命题是真命题.由四种命题 的相互关系可得,逆否命题是真命题, 逆命题和否命题是真命题,填3个.

评析:(1)已知原命题,写出它的其他三种 命题,首先把命题改写成“若p,则q”的形式, 然后找出其条件p和结论q,再根据四种命题的 定义写出其他命题.对写出的命题也可简洁表 述;对于含有大前提的命题,在改写命题形式 时,大前提不要动. (2)判断命题的真假,可直接判断,如果不易判 断,可根据互为逆否命题的两个命题是等价命 题来判断;原命题与逆否命题是等价命题,否 命题与逆命题是等价命题.

素材1: (2010 ?山东模拟)分别写出下列命题的 逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的 真假: ?1? 若b -4ac=0,则方程ax +bx+c=0
2 2

(a ? 0)有两个相等的实根;

? 2 ? 若A

B=I,则A=?I B

解析: ?1? 逆命题:若方程ax +bx+c=0(a ? 0)
2

有两个相等的实根,则b -4ac=0,为真命题. 否命题:若b -4ac ? 0,则方程ax +bx+c=0
2 2

2

(a ? 0)没有两个相等实根,为真命题. 逆否命题:若方程ax +bx+c=0(a ? 0)没有两个
2

相等实根,则b -4ac ? 0,为真命题.
2

? 2 ? 逆命题:若A=?I B,则A

B=I,为真命题.

否命题:若A B ? I,则A ? ?I B,为真命题. 逆否命题:若A ? ?I B,则A B ? I,为假命题.

题型二

充分条件、必要条件的判断

例2.?1? 设a、b是实数,则“lg(a 2+1) ? lg(b 2+1)” 是“a ? b”的(    ) A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充要不必要条件 D.既不充分也不必要条件

? 2 ?已知集合A={x | a-2 ? x ? a+2},B={x |
( x+2)( x-4) ? 0},则A B=?的充要条件是(    ) A. 0?a?2 B.-2 ? a ? 2 C. 0?a?2 D. 0?a?2

解析: ?1?由函数y=lgx是增函数可知,lg(a +1) ? lg(b +1)
2 2

? a +1 ? b +1 ? a ? b .易知a ? b ? a ? b,
2 2 2 2 2 2

且a ? b ? a ? b ,故“lg(a +1) ? lg(b +1)”是“a ? b”
2 2 2 2

的既不充分也不必要条件,故选D. ?a-2 ? 2 ? 2 ? B={x | x ? -2或x ? 4},由A B=? ? ? ?a+2 ? 4 ? 0 ? a ? 2,故选A.

评析:有关充要条件的判断问题的求解程 序是:①辨明试题表述的语句是“定义形式” 还是“倒装形式”;②由充要条件的定义确定 命题推导的顺序;③依定义确定充要性.

素材2.下列各小题中,p是q的充要条件的是 ? 不同的零点; f ?-x ? ②p: =1,q:y=f ? x ? 是偶函数; f ? x? ③p:cos?=cos?,q:tan?=tan?; ④p:A B=A,q:痧 uB ? u A A.①② B.②③ C.③④ D.①④

?

①p:m ? -2或m ? 6,q:y=x 2+mx+m+3有两个

解析: ①中?=m 2-4m-12 ? 0 ? (m-2) 2 ? 42 ? m ? 6或m ? -2,即p ? q; ④中A B=A ? A ? B ? 痧 uB ?
u

A.故选D.

题型三 充要条件的证明与探究

例2.证明:方程ax +2x+1=0有且只有一个负实数 根的充要条件是a ? 0或a= 1.

2

证明: (充分性) 1 当a=0时,原方程为2x+1=0,其根为x=- ; 2 当a=1时,原方程为( x+1) 2=0,其根为x=-1; 当a ? 0时,?=4(1-a) ? 0,原方程有两不等实根, 1 其两根积等于 ? 0,因此方程的根一正一负. a 综上可知,a ? 0或a=1时,方程ax 2+2x+1=0有且 只有一个负实数根.

(必要性) 若方程ax 2+2x+1有且只有一个负实数根,则a=0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 或 ??=4-4a=0 或 ??=4-4a ? 0, ? 2 ?1 ?- ? 0 ? ?0 ? a ?a 因此a=0或a=1或a ? 0,即a ? 0或a=1.故方程 ax 2+2x+1=0有且仅有一个负实数根的充要条件 是a ? 0或a=1.

评析:(1)有关充要条件的证明必须分“充 分性”和“必要性”两个环节分别进行推理论 证. (2)证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情 形,因此论证时必须依“定义”弄清.

素材3.设命题p: | 4x-3 |? 1;命题q:x -(2a+1) x+
2

a(a+1) ? 0.若 ? p是 ? q的必要而不充分条件,求实 数a的取值范围.

1 解析:由 | 4x-3 |? 1得-1 ? 4x-3 ? 1,故 ? x ? 1. 2 由x 2-(2a+1)x+a ( a+1) ? 0,得( x-a )( x-a- 1) ? 0, 故a ? x ? a+1.因为 ? p是 ? q的必要而不充分条件, 1 所以p是q的充分而不必要条件,即[ , 1??? a,a+1], 2 1 ? 1 ?a ? 所以 ? 2 ,解得0 ? a ? .故所求的实数a的取值 2 ? a + 1 ? 1 ? 1 范围是[0, ]. 2

备选例题(2010 ? 江西模拟)已知抛物线C: y=-x +mx-1和点A ? 3,0 ?、B ? 0,3?,求
2

抛物线C与线段AB有两个不同交点的 充要条件.

解析:由已知得线段AB的方程为x+y=3(0 ? x ? 3), 因为抛物线C与线段AB有两个不同的交点,所以 ? y=x 2+mx-1 方程组 ? 有两个不同的实数解. ? x+y=3? 0 ? x ? 3? 将y=3-x代入y=-x 2+mx-1, 得x 2-(1+m) x+4=0(0 ? x ? 3),即关于x的方程 x -(1+m) x+4=0在?0,3? 上有两个不同的实数解.
2

反过来,若方程x 2-(1+m) x+4=0在? 0,3? 上有两个 不同的实数解x1、x2,分别代入x+y=3可得到y1和y2, 故抛物线C与线段AB有两个不同的交点( x1,y1 )和( x2,y2 ) 于是问题转化为求关于x的方程x 2-(1+m) x+4=0在

?0,3?上有两个不同的实数解的充要条件. 令f ? x ?=x 2-(1+m) x+4(如图所示).

??1+m ? -4 ? 4 ? 0 2 2 ? ??1+m ? ? 4 ? f ? 3 ? ? 0 ? ? ? ?   则有 ? m+1 ,即?-3m+10 ? 0 ?, ?3 ?0 ? ?0 ? 1+m ? 6 ? 2 ? ? ? ? ? f ? 0? ? 0 10 10 解得3 ? m ? .故所求的充要条件是3 ? m ? . 3 3
2

1.充分条件、必要条件是高考重点考查的考点,常与 其他知识综合在一起.命题表达形式有:①“若p,则q” 为真;②p ? q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件, 这四种表述实质意义相同. 2.充分条件、必要条件常用的判断方法: (1)定义法:判断B是A的什么条件,实际上就是判断B ?A或A ? B是否成立,只要把题目中所给条件按逻辑关 系画出箭头示意图,再利用定义即可判断.

(2)集合法:在对命题的条件和结论间的关系判断
有困难时,有时可以从集合的角度来考虑, 记条件p、q对应的集合分别为A、B,则: 若A ? B,则p是q的充分条件; 若A ? B,则p是q的充分非必要条件; 若A ? B,则p是q的必要条件; 若A=B,则p是q的必要非充分条件; 若A=B,则p是q的充要条件; 若A 刭B,且A 也非必要条件. B,则p是q的既非充分条件

(3)用命题的等价性判断:判断p是q的什么条件,其实 质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真还是 假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件; 原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件; 原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题 为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条 件.同时要注意反例法的运用. 注意:确定条件为不充分或不必要的条件时,常用构造 反例的方法来说明. 3.探求充要条件可以先求充分条件,再验证必要性; 或者先求必要条件,再验证充分性;或者等价转换条 件.

已知p:“f ? 0 ?=0”,q:“函数f ? x ? 为奇函数”, 则p是q的(    ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

错解:若f ? x ? 是奇函数,则f (-x)=-f ? x ?. 令x=0,得f ? 0 ?=0.从而p是q的必要条件. 但若f ? x ?=x ,有f ? 0 ?=0,此时f ? x ? 为偶函数,
2

从而p不是q的充分条件,故应选B.

错误分析:f ? x ? 是奇函数 ? f (-x)=-f ? x ?, 1 但若x=0时,f ? x ? 无意义,例如f ? x ?= , x 就不能推出f ? 0 ?=0,因此必要性不成立.

正解:一方面,f ? x ? 是奇函数,若0不属于其 1 定义域,如函数f ? x ?= ,当x=0时,f ? 0 ? x 无意义,从而f ? 0 ?=0不成立; 另一方面,若f ? 0 ?=0,且设f ? x ?=x 2,从而 可知f ? x ? 不是奇函数,故应选D.


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