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新人教A版必修一 1.2.1函数的概念(1)


学习过程

一、【回忆过去】

思考? 1、初中学习的函数概念是什么?

设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于 x的每一个值,y都有惟一的值与它对应,则称x是自变 量,y是x的函数;其中自变量x的取值的集合叫做函数 的定义域,和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

2、请问:我们在初中学过哪些函数?
正比例函数:y ? kx(k ? 0)
k 反比例函数:y ? (k ? 0) x

一次函数:y ? kx ? b(k ? 0)

二次函数:y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

3、请同学们考虑以下两个问题:
(1) y ? 1是函数吗? x2 ( )y ? x与y ? 2 是同一个函数吗? x

显然,仅用初中函数的概念很难回答这些 问题。因此,需要从新的高度认识函数。

P15:通过实例引人函数概念
(1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随 时间t(单位:s)变化的规律是
h=130t-5t2
(*)

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距 地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845} 从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间 t,按照对应关系(*),在数集B中都有惟一的高度h和它 对应。

(2) 近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因而出现 了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧 空洞的面积从1979~2001年的变化情况:

根据下图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围 是数集B ={S|0≤S≤26}.并且,对于数集A中的每一 个时刻t,按照图中的曲线,在数集B中都有惟一确定 的臭氧层空洞面积S和它对应.

(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。下表中 恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划 以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照(1)、(2)描述恩格尔系数 和时间(年)的关系。

问题: 三个实例有什么共同点和不同点? 不同点 实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系, 实例(2)是用图象刻画变量之间的对应关系, 实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系;

共同点
(1)都有两个非空数集

(2)两个数集之间都有一种确定的对应关系

归纳以上三个实例,我们看到,三个实例中变量之 间的关系可以描述为: 对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在 数集B中都有惟一确定的y和它对应,记作 f: A→B.

函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照 某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数 (function)
记作

y=f(x) , x∈A

其中 x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义 域(domain);与x的值相对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)。

回顾已学函数

初中各类函数的对应法则、定义域、值 域分别是什么?

函数

对应法则

定义 域

值域

正比例 函数
反比例 函数

y ? kx( k ? 0)

R

R
{ y | y ? 0}

k y ? ( k ? 0) {x | x ? 0} x
y ? kx ? b ( k ? 0)

一次函数

R

R
4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a 4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a

y ? ax 2 ? bx ? c
二次函数 (a ? 0)

R

问题: (1)试说明函数定义中有几个要素?
定义域、值域、对应法则 ①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素,是 一个整体; ②值域由定义域、对应法则惟一确定;

③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示 “y等于f与x的乘积。

判断正误,强化概念

1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应 √ 2、函数的定义域和值域一定是无限集合

×

3、定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定 √ 4、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一 个元素 √ 5、对于不同的x , y的值也不同

×

6、f (a)表示当x = a时,函数f (x)的值,是一个常量√

注意: 函数关系必定是一对一或多对一,一对多 不是函数.

判断下列对应能否表示y是x的函数
(1) y=|x| (3) y=x 2 (2)|y|=x (4)y2 =x

(5) y2+x2=1

(6)y2-x2=1

(1)能 (4)不能

(2)不能

(3)能 (6)不能

(5)不能

区间的概念 请阅读课本P17关于区间的内容

设a,b是两个实数,而且a<b, 我们规定:
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为 [a,b]

(2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为 (a,b) (1)、满足不等式a≤x<b和a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间,分别表示为 [a,b)和(a,b]

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合 分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).

注意:①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值 域经常用区间表示③实用实心点表示包括在区间内的 端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集

(1){x|2 ≤ x<3}
(2) {x|x ≥15}

(3) {x|x ≤ 0} ∩{x| -3 ≤ x<8}
(4) {x|x < -10}∪{x| 3< x<6}

例题1、已知:f(x)=x2-x+1
2 f (1)求 ( ?3)、f ( ) 3

的值

(2)求 f (a )、f (a ? 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a 时,对 应的函数值用符号 f (a )表示。

要点小结】
1.函数的概念:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集 合 B的函数。 定义域 定义域 决定 值域 2.函数的三要素 ? 值域 对应法则 对应法则f 3.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式表示的数集转 化为区间。

作业
1、P19练习2 2、试用区间表示下列实数集 (1){x|5 ≤ x<6} (2) {x|x ≥9} (3) {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (4) {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}


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