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2017苏教版高一数学函数的表示法.doc


第 3 课时 函数的表示法
教学目标:
使学生掌握函数的三种常用表示方法,了解初等函数图象的几种情形,理解分段函数的意 义,初步学会用函数的知识解决具体问题的方法;通过本节课的教学,使学生认识到知识无止 境,对客观世界的认识也是永无止境的,树立终身学习的思想.

教学重点:
函数的表示方法,函数的应用.

教学难点:
函数的应用.

教学过程:
Ⅰ.复习回顾 [师]上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法,哪位同学来回答一下如何判定两 个函数是否相同呢? [生]判定两个函数是否相同,一要看其定义域是否相同,二要看其对应关系是否相同, 当两者完全一致时,这两个函数就是相同的函数,当两者有一不同或两者完全不同时,这两个 函数就不是相同的函数. [师]很好!我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个 函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢?这节课我们就来研究这个问 题(板书课题). Ⅱ.指导自学 [师]课下同学们已经进行了自学,函数的表示方法常用的有哪几种,各有什么优点? [生]函数的表示方法常用的有三种,分别是解析法、列表法、图象法. 解析法是用解析式表示两个变量的函数关系,它的优点是关系清楚,容易求函数值,便于 研究函数的性质. 列表法是用表格表示两个变量的函数关系,它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值 时的函数值. 图象法是用图象表示两个变量的函数关系,它的优点是表示函数的变化情况形象直观. [师]好!(再举些例子对各种表示方法进行说明,并强调:中学里研究的函数主要是用解 析式表示的函数) [师]下面请同学们看课本 P30 例 1、例 2. (学生看课本、教师巡视) [师]例 1、例 2 的图象有什么特点呢? [生]例 1 的图象是一些孤立的点,例 2 的图象是几条线段. [师]回答完全正确,在初中,我们学过的函数图象通常是一条光滑的(不打折)曲线(或 直线).例 1、例 2 告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成,以后我们 还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成,从例 2 看到,有些函数在它的定义域中, 对于自变量 x 的不同取值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数. 注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数. [师]例 3 是生活中的实际问题,对实际问题的解决,要求我们认真分析题意,将其抽象, 转化成数学问题,通过解答数学问题,使实际问题得以解决,因此,解决应用问题的关键是将

实际问题分析,抽象,转化成数学问题,即将实际问题数学化. 下面我们一起对例 4 进行分析,请大家再仔细看一遍题. [例 4]经市场调查,某商品在近 100 天内,其销售量和价格均是时间 t 的函数,且销售量 1 109 1 近似地满足关系g(t)=- t + (t∈N*,0<t≤100),在前 40 天内价格为 f(t)= t 3 3 4 1 +22(t∈N*,0≤t≤40) ,在后 60 天内价格为 f(t)=- t+52(t∈N*,40<t≤100),求这 2 种商品的日销售额的最大值(近似到 1 元). 分析:弄清“日销量” “价格” “日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式. 解:前 40 天内日销售额为: 1 1 109 1 7 1 S=( t+22) (- t+ )=- t2+ t+779 4 3 3 12 4 3 1 37849 ∴S=- (t-10.5)2+ 12 48 后 60 天内日销售额为: 1 1 109 1 213 5668 S=(- t+52) (- t+ )= t2- t+ 2 3 3 6 6 3 1 25 ∴S= (t-106.5)2- 6 24 ∴得函数关系式

?-12 (t-10.5) + 48 (0<t≤40且t∈N ) S=? 1 25 ?6 (t-106.5) -24 (40<t≤100且t∈N )
2 + 2 +

1

37849

由上式可知:对于 0<t≤40 且 t∈N*,有当 t=10 或 11 时,Smax≈809 对于 40<t≤100 且 t∈N*,有当 t=41 时,Smax=714,综上所述得:当 t=10 或 11 时,Smax ≈809 答:第 10 天或 11 天日售额最大值为 809 元 [例 5]某中学高一年级学生李鹏,对某蔬菜基地的收益作了调查,该蔬菜基地种植西红 柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图 一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示,试解答下列 问题. (1)写出图一表示的市场售价间接函数关系 P=f(t).写出图二表示的种植成本与时间的函 数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注:市场售价和种植成本的单位:元/102 kg,时间单位:天)
?300-t(0≤t≤200) 解:(1)由图一可得市场售价间接函数关系为,f(t)=? ?2t-300(200<t≤300)

由图二可得种植成本间接函数关系式为 g(t)= 1 (t-150)2+100 0≤t≤300 200 1 1 175

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)=f(t)-g(t)

?-200 t +2 t + 2 (0≤t≤200) 即 h(t)=? 1 2 1025 ?-200 t +7 t - 2 (200<t≤300)
2 2

1 当 0≤t≤200 时,得 h(t)=- (t-50)2+100 200 ∴当 t=50 时,h(t)取得在 t∈[0,200]上的最大值 100 1 当 200<t≤300 时,得 h(t)=- (t-350)2+100 200 ∴当 t=300 时,h(t)取得在 t∈(200,300]上的最大值 87.5 综上所述由 100>87.5 可知,h(t)在 t∈[0,300]上可以取得最大值是 100,此时 t=50,即 从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿收益最大. 评述: (1)以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力,注意 其中关键词的理解,正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法. (2)应用题是高考热点问题,且应用题的具体内容可以多种多样,千变万化,而抽象其数 量关系,并建立函数关系式是具有普遍意义的方法. (3)数学应用题因其具有没有固定的背景与题型,难以摸拟分类的特点,也就更接近于我 们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型, 同时也不 失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以,我们广大师生应加强这一方面的训练, 清除心理负面影响,以积极的姿态,迎接数学应用题的挑战,以适应高考的改革要求. [例 6]季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元, 并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时, 平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式. (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t ∈N*试问该服装第几周每件销售利润 L 最大?

?10 ? 2t ? 解: (1)P= ?20 ?40 ? 2t ?

t ? [0,5) 且t ? N * t ? [5,10]且t ? N * t ? [10,16]且t ? N *

(2)因每件销售利润=售价-进价,即 L=P-Q 1 故有:当 t∈[0,5)且 t∈N*时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12= t2+6 8 即,当 t=5 时,Lmax=9.125 当 t∈[5,10)时 t∈N*时,L=0.125t2-2t+16 即 t=5 时,Lmax=9.125 当 t∈[10,16]时,L=0.125t2-4t+36 即,t=10 时,Lmax=8.5 由以上得,该服装第 5 周每件销售利润 L 最大. Ⅲ.课堂练习 课本 P31 练习 1,2,3,4 Ⅳ.课时小结 [师]本节课我们学习了哪些知识呢?请同学们总结一下. [生甲]函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线,还可以是一些弧立的点. [生乙]还可以是若干条线段. [生丙]学习了函数知识的应用. [生丁]应用数学知识解决实际问题,关键是将实际问题数学化. [生戊]实际问题数学化就是要认真分析题意,将实际问题抽象,转化成数学问题. [师]好!同学们总结了本节课所学习的知识,重要的在于掌握尤其是函数知识的应用,更要 多练,才能运用自如. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P32 习题 2.2 1~12. (二)1.预习内容:函数的单调性. 2.预习提纲: (1)增函数、减函数的定义是什么? (2)函数单调区间的定义是什么? (3)证明函数单调的方法步骤是怎样的? (4)单调性是个整体概念还是个局部概念?


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