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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第二章 数列单元测试(含解析)新人教版必修5


第二单元:数列
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 2011 是等差数列:1,4,7,10,…的第几项( (A)669 (B)670 (C)671 (D)672 ) )

2.数列{an}满足 an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第 5 项是( (A)15 (B)255 (C)20 (D)8 )

3.等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 为( (A)4 (B)

3 2

(C)

16 9

(D)2 )

4.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=( (A)-1 (C)3 (B)1 (D)7

5.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=( (A)40 (C)43 (B)42 (D)45

)

6.记等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=( (A)2 (B)3 (C)6 (D)7



7.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是( (A)90 (B)100 (C)145 (D)190 )



8.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则 a101 的值为( (A)49 (B)50 (C)51

(D)52

9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一” ,如 (1101)2 表示二进制的数,将它转化成十进制的形式是 1×2 +1×2 +0×2 +1×2 =13,那么将二进制数
3 2 1 0

11???1 转换成十进制数的形式是(
16位



(A)2 -2 (C)2 -2
16

17

(B)2 -1 (D)2 -1 )
15

16

10.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=32,a11+a1 2+a13=118,则 a4+a10=( (A)45 (B)50 (C)75 (D)60

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 11.(2011·江西高考)已知数列{an}的前 n 项和 S n 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10=_______

12.等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5·a2n-5=2 (n≥3),则 当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=____ 13.等差数列{an}前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则它的前 3m 项的和为______. 14.(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=______. 15.两个等差数列{an}, {bn},

2n

a a1 ? a 2 ??? a n 7n ? 2 ,则 5 ? ______. ? b1 ? b2 ??? bn n ?3 b5

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 17.(10 分)已知数列{an}是等差数列,a2=3,a5=6,求数列{an}的通项公式与前 n 项的和 Mn. 18.(12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 19.(12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2) ,若 an+Sn=n,cn=an-1. (1)求证:数列{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. 20. (12 分) 如果有穷数列 a1,a2,a3,…,a ( 满足条件 a1=am, a2=am-1,…,am=a1,即 ai=am-i+1(i=1,2,…, m m 为正整数) m),我们称其为“对称数列”.例如,数列 1,2,5,2,1 与数列 8,4,2,2,4,8 都是“对称数列”. (1)设{bn}是 7 项的“对称数列” ,其中 b1,b2,b3,b4 是等差数列,且 b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项; (2)设{cn}是 49 项的“对称数列” ,其中 c25,c26,…,c49 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求{cn}各项的 和 S. 2 1.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,Sn ? b1+b2+b3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前 n 项和 Tn.

1 n 3 ? 1? ( n ? N* ),等差数列{bn}中,bn>0( n ? N* ),且 ? 2

(选做题) 22.(12 分)某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择, 家用电器价格为 2 150 元.第一种付款方式:购买当天先付 150 元,以后每月这一天都交付 200 元,并加付欠 款利息,每月利息按复利计算,月利率为 1%; 第二种付款方式: 购买当天先付 150 元, 以后每个月付款一次,

10 个月付清,每月付款金额相同,每月利息按复利计算,月利率 1%.试比较两种付款方法,计算每月所付 金额及购买这件家用电器总共所付金额.

答案解析 1.【解析】选 C.∵2011=1+(n-1)×(4-1),∴n=671. 2.【解析】选 B.由 an=4an-1+3,a1=0,依次求得 a2=3,a3=15,a4=63,a5=255. 3.【解析】选 A.等比数列{ an}中,a3,a6,a9 也成等比数列,∴a6 =a3a9,∴a3=4. 4.【解析】选 B.a1+a3+a5=105,∴a3=35,同理 a4=33, ∴d=-2,a1=39,∴a20=a1+19d=1. 5.【解析】选 B.设公差为 d,由 a1=2,a2+a3=13,得 d=3,则 a4+a5+a6= (a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d) =(a1+a2+a3)+9d=15+27=42. 6.【解析】选 B.S4-S2=a3+a4=20-4=16,∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)=4d=16-4=12,∴d=3. 7.【解析】选 B.设公差为 d,∴(1+d) =1×( 1+4d), ∵d≠0,∴d=2,从而 S10=100. 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选 D.∵2an+1-2an=1,∴ a n ?1 ? a n ? ∴数列{an}是首项 a1=2,公差 d ? ∴ a101 ? 2 ?
2 2

1 , 2

1 的等差数列, 2

1 ?101 ? 1? ? 52 . 2
15 14 13 1 0 16

9.【解析】选 B.形式为:1×2 +1×2 +1×2 +…+1×2 +1×2 =2 -1. 10.【解析】选 B.由已知 a1+a2+a3+a11+a12+a13=150,∴3(a1+a13)=150,∴a1+a13=50,∴a4+a10=a1+a13=50. 11.【解题提示】结合 Sn+Sm=Sn+m,对 m,n 赋值,令 n=9,m=1,即得 S9+S1=S10,即得 a10=1. 【解析】选 A.∵Sn+Sm=Sn+m,∴令 n=9,m=1,即得 S9+S1=S10,即 S1=S10-S9=a10, 又∵S1=a1,∴a10=1. 12.【解题提示】由已知可先求得通项公式,再由对数的性质进行运算. 【解析】选 C.a5·a2n-5=2 (n≥3), ∴an =2 ,an>0, ∴an=2 ,log 2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n . 13.【解题提示】利用等差数列前 n 项和的性质 【解析】由题意可知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列,2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m ∴S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 答案:210
2 n 2 2n 2n

14.【解题提示】由等比数列的通项公式,可得关于公比 q 的方程,从而求出 q. 【解析】由 a4-a3=4 得 a2q -a2q=4,即 2q -2q=4,解得 q=2 或 q=-1(由数列是递增数列,舍去). 答案:2 15.【解题提示】利用等差数列的前 n 项和的有关性质进行运算.
2 2

9 ? a1 ? a 9 ? a5 A 7 ? 9 ? 2 65 2 ? ? 9 ? ? 【解析】设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 An,Bn.则 . b5 9 ? b1 ? b9 ? B9 9?3 12 2
答案:

65 12

三、解答题: 16.【解析 (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a1=1×(a1+2), 即 a1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>a1+8a1 , 即 a1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 故 a1 的取值范围为( -5,2). 17.【解析】设{an}的公差为 d, ∵a2=3,a5=6,∴ ? ∴a1=2,d=1, ∴an=2+(n-1) =n+1.
2 2 2 2

?a1 ? d ? 3 , ?a1 ? 4d ? 6

n ? n ? 1? n 2 ? 3n M n ? na1 ? d? . 2 2
18.【解析】 (1)依题意有
2 2 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q )由于 a1≠0,故 2q +q=0,又 q≠0,从而 q ? ?

1 . 2

1 2 ) =3, 2 1 4[ 1 ? ( ? ) n] 8 1 n 2 故 a1=4 从而 Sn ? . ? [ 1? (? ) ] 1 3 2 1? (? ) 2
(2)由已知得 a1-a1( ? 19.【解析】 (1)∵a1=S1,an+Sn=n,①

∴a1+S1=1,得 a1 ? 又 an+1+Sn+1=n+1

1 . 2


①②两式相减得 2(an+1-1)=an-1, 即

a n ?1 ? 1 1 c 1 ? ,也即 n ?1 ? , a n ?1 2 cn 2

故数列{cn}是等比数列. (2)∵ c1 ? a1 ? 1 ? ? ∴ cn ? ?

1 , 2

1 1 , a n ? cn ? 1 ? 1 ? n , n 2 2 1 a n ?1 ? 1 ? n ?1 . 2 1 1 1 故当 n≥2 时, b n ? a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n ? n . 2 2 2 1 1 又 b1 ? a 1 ? ,即 b n ? n . 2 2
20.【解题提示】利用等比数列的前 n 项和公式进行计算. 【解析】 (1)设数列{bn}的公差为 d,则 b4=b1+3d=2+3d=11,解得 d=3, ∴数列{bn}为 2,5,8,11,8,5,2. (2)S=c1+c2+…+c49 =2(c25+c26+…+c49)-c25 =2(1+2+2 +…+2 )-1 =2(2 -1)-1=2 -3. 21.【解析】 (1)a1=1,an=Sn-Sn-1=3 ,n>1, ∴an=3 ( n ? N ),∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,
n-1 n-1 25 26 2 24

*

∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中, ∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. 又因 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,设等差数列{bn}的公差为 d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0( n ? N ),
*

∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1= 3. ∴bn=2n+1( n ? N ).
*

(2)由(1)知 ∴Tn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn =(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)

?

1 ? 3n n ? 3 ? 2n ? 1? ? 1? 3 2 3n 1 ? n 2 ? 2n ? . 2 2

?

22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型,第二种付款方式是等比数列模型,分别计算出实际共 付金额,再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付 150 元,欠 2 000 元,按要求知 10 次付清,则 第 1 次付款金额为 a1=200+2 000×0.01=220(元); 第 2 次付款金额为 a2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) …… 第 n 次付款金额为 an=200+[2 000-(n-1)×200]×0.01=220 -(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金 额顺 次构成以 220 为首项,-2 为公差的等差数列,所以 10 次付款总金额为 S10 ? 10 ? 220 ? (元),实际共付 2 260 元. 第二种方式:购买时先付 150 元,欠 2 000 元,则 10 个月后增值为 2 000×(1+0.01) =2 000×(1.01) (元). 设每月付款 x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01) x,(1.01) x,…,x, 其构成等比数列,
9 8 10 10

10 ? 9 ? ? ?2 ? ? 2 110 2

1 ? ?1.01? 和为 S10 ? x . · 1 ? 1.01
10

应有 S10 ? 2 000 ? ?1.01? ,
10

所以 x≈211.2,每月应付 211.2 元,10 次付款总金额为 2 112 元,实际共付 2 262 元,所以第一种方式更省 钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题 解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型, 即明确是等差数列问题还是等比数列问题, 是求 an 还是求 Sn, 特别要弄清项数为多少,试题中常见的数列类型有: (1)构造等差、等比数列模型,然后再应用数列的通项公式及求和公式求解; (2)先求出连续的几项,再归纳出 an,然后用数列知识求解.


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