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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题4.3三角函数的图象和性质(测).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版文】 【测】第四章 三角函数和解三角形 第 02 节 三角函数的图象和性质

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符 合题目要求的。 ) π? 1.函数 f(x)=2cos2? ?x+2?图象的一条对称轴方程可以为( π A.x= 4 3 C.x= π 4 【答案】 D π x+ ?=cos(2x+π)+1=1-cos 2x, 【解析】 ∵f(x)=2cos2? ? 2? kπ 由 2x=kπ(k∈Z),得 x= ,k∈Z. 2 故当 k=2 时,x=π,故选 D. 2.下列四个函数中,以 ? 为最小正周期,且在区间 ( A. y ? sin 2 x C. y ? cos 【答案】D B. y ? 2 cos x D. y ? tan(? x) π B.x= 3 D.x=π )

?
2

, ? ) 上单调递减函数的是(



x 2

3.在 3 sin x ? cos x ? 2a ? 3 中, a 的取值范围是(



1 5 ?a? 2 2 5 C. a ? 2
A. 【答案】A 【解析】

B. a ? D. ?

1 2

5 1 ?a?? 2 2

?? ? 3s i n x?co s x ? 2s i n ? x ? ? ? ?? 2,2? , 所 以 - 2 ? 2a ? 3 ? 2 , 解 得 : 6? ?

1 5 ?a? . 2 2
π? 4.(2015· 石家庄一模)函数 f(x)=tan? ?2x-3?的单调递增区间是( kπ π kπ 5π? A.? ? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) 【答案】 B 【解析】 π π π kπ π kπ 5π 由 kπ- <2x- <kπ+ (k∈Z)得 - <x< + (k∈Z),所以函数 f(x)= 2 3 2 2 12 2 12 kπ π kπ 5π? B.? ? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) π 5π? D.? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) )

π? ?kπ π kπ 5π? tan? ?2x-3?的单调递增区间为? 2 -12, 2 +12?(k∈Z),故选 B. 5. 【2016 河南豫北重点中学联考】已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象的相 邻两对称轴间的距离为 A. 1,[ ?

?

[?

?
12

,? ] 2 6

?

? ? ,则当 x ? [? , 0] 时, f ( x ) 的最大值和单调区间分别为( ) 2 2 ? ? ? B. 1,[ ? , ? ] C. 3 ,[? , 0] D. 3 , 2 12 6

, 0]

【答案】D

6. 【2016 河南省洛阳市模拟】 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图所示, 下面结论错误的是( )

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为

2? 3

B.函数 f ( x ) 的图象可由 g ( x) ? A cos(? x) 的图象向右平移 C.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? D.函数 f ( x ) 在区间 (

?
12

? 个单位得到 12

对称

? ? , ) 上单调递增 4 2

【答案】D

8. 【2016 河北邯郸市模拟】已知函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? 3? ) 是奇函数,其中 ? ? (0, 则函数 g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的图像( A.关于点 ( )

?
2

),

?
12

, 0) 对称

? 个单位得到 3 ? C.可由函数 f ( x ) 的图像向左平移 个单位得到 6 ? D.可由函数 f ( x ) 的图像向左平移 个单位得到 3
B.可由函数 f ( x ) 的图像向右平移 【答案】C 【 解 析 】 由 已 知 可 得 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 则 由 ? ? ( 0 ,

?
2

) 得??

?
6

,然后代入

y ? f ( x), y ? g ( x) 得到 f ( x) ? sin 2 x ? cos( 2 x ? f ( x) 的图象向左平移

?
2

), g ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

) ,进而可知函数

? 个单位可得函数 g ( x) 的图象,故应选 C. 6 ? ? 9. 【2016 广东省深圳市模拟】若直线 x ? 是函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? (其中 ? ? )的 3 2 图象的一条对称轴,则 ? 的值为( )
A. ?

?
3

B. ?

?
6

C.

? 6

D.

? 3

【答案】B 【解析】 f ?

? ?? ? ? 2? ? ? ? ? ? 1, ? ? ? . ? ? sin ? 6 ?3? ? 3 ?
1 sin 2 x ? 3 sin 2 x 有以下三种说法: 2

10. 【2016 陕西省黄陵中学模拟】对于函数 f ? x ? ? ①??

? ? ? , 0 ? 是函数 y ? f ? x ? 的图象的一个对称中心; ? 6 ?

②函数 y ? f ? x ? 的最小正周期是 ? ; ③函数 y ? f ? x ? 在 ?

? ? 7? ? 上单调递减. , ?12 12 ? ?
) D.3

其中说法正确的个数是( A.0 B.1 C.2

【答案】C

11 . 【 2015 江西省一模】 已知函数f ( x) ? a sin x ? 3 cos x的一条对称轴为x=-

?
6

,且

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?4, 则 x1 ? x2 的最小值为(
A.

) D. ?

? 3

B.

? 2

C. ?

2 3

4 3

【答案】C 【解析】由题可知, f ( x) ? a sin x ? 3 cos x ? 由于一条对称轴为 x??

a 2 ? 3 sin(x ? ? ) (其中tan? ?

3 ), a

?
6

,即有 ?

?
6

?? ?

?

2 ? k? , 于 是 ? ? ? ? ? k? , 2 3

? 2 3 , 于 是 有 a ? 1 , 原 式 化 简 为 f ( x ) ? 2 sin( x ? ) , 由 于 tan(? ? ? k? ) ? 3 3 a

? ? ? ? x1(? ) s i n x2(? ) ? ?1 , 即 有 x1 ? ? 2k? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?4, 因 此 s i n , 3 2 3 3 ? ? 5 ? 2 2 x2 ? ? 2k? ? ,即 | x1 ? x2 |?| 2k? ? ? ? 2k? ? |?| 4k? ? ? |? ? ; 3 2 6 6 3 3
12. (2016 全国乙理 12)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ?

? ?

π π? ? , x ? ? 4 为 f ( x) 2?

的零点, x ? 为( A. 11 【答案】B ).

π ? π 5π ? 为 y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x ) 在 ? , ? 上单调,则 ? 的最大值 4 ? 18 36 ?

B. 9

C. 7

D. 5

二、填空题 13.(2016 上海理 7)方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2π? 上的解为 【答案】 解析 .

π 5π , 6 6
,即 2sin 2 x ? 3sin x ? 2 ? 0 , 22 sx in

3sin x? ? 2

所以 ? 2sin x ? 1??sin x ? 2? ? 0 ,故 sin x ? 由于 x ? ?0,2π? ,故 x ?

1 . 2

π 5π , . 6 6

14.已知 x 为三角形中的最小角,则函数 y ? sin( x ? 为___________. 【答案】 ? 3 ? 1,3?

?

) ? sin( x ? ) ? 3 cos x ? 1 的值域 3 3

?

?

?
解 析 】



y ?s

?

?
3

?

?

?

i x ? ?

?1 ? ? 3

n

? ?

? x? ? ?

? ?? ( ?

2

? ?? 2 ? ? ?? ? x 为三角形中的最小角? x ? ? 0, ? ? x ? ? ? , ? ? ,所以值域为 ? ? 3 ? 1,3? 3 ?3 3 ? ? 3?
15 . 【 2015 届浙江宁 波二模 】已知函 数 f ? x ? ? 2sin ? x (其中常数 ? ? 0 ) ,若 存在

? 2? ? ? ?? x1 ? ? ? , 0 ? , x2 ? ? 0, ? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 ? 的取值范围为 ? 3 ? ? 4?
【答案】 ?



?3 ? , ?? ? ?2 ?

16. 【2016 宁夏模拟】已知 O 是坐标原点,A. B 分别是函数 y ? sin ?x 以 O 为起点的一个周 期内的最大值点和最小值点,则 tan ?OAB ? 【答案】 .

4 3 1 2 3 2

【解析】因 A ? ( ,1), B ? ( ,?1) ,故 AB ?

5 , OA ?

3 5 13 ,则 cos ?OAB ? , , OB ? 5 2 2

sin ?OAB ?
三、解答题

4 4 ,所以 tan ?OAB ? . 5 3

17. 【2015 高考重庆,理 18】 已知函数 f ? x ? ? sin ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)讨论 f ? x ? 在 ? 【解析】 (1) f ( x) ? sin ?

?? ? ? x ? sin x ? 3 cos 2 x ?2 ?

? ? 2? ? 上的单调性. , ?6 3 ? ?

3 ?? ? ? x ? sin x ? 3 cos2 x ? cos x sin x ? (1 ? cos 2 x) 2 ?2 ?

1 3 1 = sin x 2(+ 1 co xs 2 =) 2 2 2
因此 f ( x ) 的最小正周期为 p ,最大值为 (2)当 x ? [ 当 0 ? 2x ?

3 x s in2 2 22 3
.

3 x c-o s 2 = 2

p 3 , x s - i n ( -2 3 2

)

? 2?
6 ,

5? 时, f ( x ) 单调递增, 3 2 6 12 ? ? 5? 2? ?x? 当 ? 2 x ? ? ? 时,即 时, f ( x ) 单调递减, 2 3 12 3 ? 5? 5? 2? ] 上单调递增; f ( x) 在 [ , ] 上单调递减. 综上可知, f ( x ) 在 [ , 6 12 12 3 ?
时,即

?

3

] 时,有 0 ? 2 x ?

?
3

? ? ,从而

?

?

?x?

18. (2016 天津理 15)已知函数 f ? x ? ? 4 tan x sin ? (1)求 f ? x ? 的定义域与最小正周期; (2)讨论 f ? x ? 在区间 ? ?

π? ?π ? ? ? x ? cos ? x ? ? ? 3 . 3? ?2 ? ?

? π π? , 上的单调性. ? 4 4? ?

(2)令 z ? 2 x ?

π π ? π ? ,函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ? ? 2kπ, ? 2kπ ? ? k ? Z ? . 3 2 ? 2 ?
π π ? 2kπ ,得 ? ? kπ 剟x 2 12 5π ? kπ , k ? Z . 12

由?

π π ? 2kπ 剟2 x ? 2 3
? π π?

设 A ? ? ? , ? , B ? ? x ? ? kπ 剟x ? 4 4? ? 12

?

π

5π ? ? π π? ? kπ, k ? Z ? ,易知 A ? B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ?

又?

π ? π? π T ? π π? ? π π? ??? ? ? ? , 所以当 x ? ? ? , ? 时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在 12 ? 4 ? 6 2 ? 4 4? ? 12 4 ?

? 区间 ? ? ,

? π ? 4

π? 上单调递减. 12 ? ?

? ? ? ? 19.已知向量: a ? (2 cos x,1) , b ? cos x , 3 sin 2 x ,函数 f ( x) ? a ? b .

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求 y ? f ? x ? 的对称轴并作出 y ? f ? x ? 在 ? ?

? ? ? , ? ? 的图象. ? 6 ?

解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1, ?T ? ? . 由 6?

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

? k ? Z ? ,则 f ? x ? 的单调递增区

间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? .
? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

??

? ? ? ? 1, 令 2 x ? 6 ? k? ? 2 , k ? Z , 解得 6?

x? x?

k? ? ? , k ? Z . 所以 y ? f ? x ? 的所有对称轴为 2 6

?? k? ? ? ? ? ? ? , k ? Z . f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 在 ? ? , ? ? 的图象如下图所示 2 6 6? ? ? 6 ?
y
4

2

π 2

π 3

π 6

O

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

x

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

2

4 m ? (cos 2 x, a), n ? (a, 2 ? 3 sin 2 x) ,函 20. 【高考冲刺关门卷新课标全国卷】已知向量

?

?

6 ? n ? 5( a ? R, a ? 0) 数 f ( x) ? m

? ?

f ( x)在[0, ] 上的最大值为 3 时,求 a 的值; (Ⅰ) 当函数 8 2
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若对任意的 t ? R , 函数 y ? f ( x), x ? (t , t ? b] 的图像与直线 y ? ?1 有 10 且仅有两个不同的交点,试确定 b 的值,并求函数 y ? f ( x)在(0, b] 上的单调递减区间.

?

【解析】(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 5 ? a cos2 x ? 3a sin 2 x ? 2a ? 5

u r r

? 2a sin( 2 x ?

?
6

) ? 2a ? 5

? ? ? 7? ? 1 x ? [0, ]时, 2 x ? ? [ , ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 2 6 6 6 6 2
当 a ? 0 时, f ( x ) 的最大值为 4a ? 5 ? 3 ,所以 a ? 2 ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的最大值为 a ? 5 ? 3 ,故 a ? 8 (舍去) 综上:函数 f ( x)在[0, ] 上的最大值为 3 时, a ? 2

?

2


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