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人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程章末复习课

数学 学习目标 1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知 识解决问题的能力,能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程,能解决直线与圆的综合问 题,并学会运用数形结合的数学思想. 1.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 2.点和圆的位置关系 设点 P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2. (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2?点 P 在圆外. (2)(x0-a)2+(y0-b)2<r2?点 P 在圆内. (3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点 P 在圆上. 3.直线与圆的位置关系 设直线 l 与圆 C 的圆心之间的距离为 d,圆的半径为 r,则 d>r→相离;d=r→相切;d<r→ 相交. 4.圆与圆的位置关系 设 C1 与 C2 的圆心距为 d,半径分别为 r1 与 r2,则 位置关系 图示 d 与 r1 , r2 的关系 相离 外切 相交 内切 内含 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 5.求圆的方程时常用的四个几何性质 数学 6.与圆有关的最值问题的常见类型 y-b (1)形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. x-a (2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 8.空间中两点的距离公式 空间中点 P1(x1,y1,z1),点 P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2. 类型一 求圆的方程 例 1 根据条件求下列圆的方程. (1)求经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上的圆的方程; (2)求半径为 10,圆心在直线 y=2x 上,被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2的圆的方程. 解 (1)由题意知,线段 AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0, ?3x+2y-15=0, ? ∴由? ?3x+10y+9=0, ? ?x=7, ? 解得? ? ?y=-3, ∴圆心 C(7,-3),半径为 r=|AC|= 65. ∴所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65. 数学 (2)方法一 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则圆心坐标为(a,b),半径为 r= 10, 圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离为 d= |a-b| . 2 由半弦长,弦心距,半径组成直角三角形,得 4 22 2 d2+( ) =r , 2 即 ?a-b?2 +8=10,∴(a-b)2=4. 2 又∵b=2a, ∴a=2,b=4 或 a=-2,b=-4, ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10 或(x+2)2+(y+4)2=10. 方法二 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10, ∵圆心 C(a,b)在直线 y=2x 上,∴b=2a. 由圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2, 将 y=x 代入(x-a)2+(y-b)2=10, 得 2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 设直线 y=x 交圆 C 于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 2[?x1+x2?2-4x1x2]=4 2, ∴(x1+x2)2-4x1x2=16. ∵x1+x2=a+b,x1x2= a2+b2-10 , 2 ∴(a+b)2-2(a2+b2-10)=16,即 a-b=± 2. ?a=2, ?a=-2, ? ? 又∵b=2a,∴? 或? ? ? ?b=4 ?b=-4. ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10 或(x+2)2+(y+4)2=10. 反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解,采用 待定系数法求圆的方程的一般步骤为: 第一步:选择圆的方程的某一形式. 第二步:由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组). 第三步:解出 a,b,r(或 D,E,F). 第四步:代入圆的方程. 数学 注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经 过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共 弦;当两圆相切时,连心线过切点等. 跟踪训练 1 如图所示,圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2,则圆 C 的标准方程为________. 答案 (x-1)2+(y- 2)2=2 解析 取 AB 的中点 D,连接 CD,AC,则 CD⊥AB. 由题意知,|AD|=|CD|=1,故|AC|= |CD|2+|AD|2= 2,即圆 C 的半径为 2.又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),所以圆心 C(1, 2),故圆的标准方程为(x-1)2+(y- 2)2=2. 类型二 直线与圆的位置关系 例 2 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长

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