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2013年高中数学会考模拟试题(三)


2013 年高中数学模拟试题(三)
一、选择题(本题有 22 小题,每题 2 分,共 44 分) 1、若 M、N 是两个集合,则下列关系中成立的是 A. ? M B. (M ? N ) ? M C. ( M ? N ) ? N B. D.N ( )

(M ? N )
C. ac ? bc
2 2

2、若 a>b, c ? R ,则下列命题中成立的是 A. ac ? bc 3、不等式 x ? 1 ? 2 的解集是 4、直线 x ? 3 的倾斜角是 5、下列等式中,成立的是 C. sin(x ? 2? ) ? sin x A.x<3 B. A. sin( B.x>-1

a ?1 b

D. D.-1<x<3

1 1 ? a b

C.x<-1 或 x>3 C. ?

A.0

?
2

D.不存在 B. sin(2? ? x) ? ? sin x

?
2

? x) ? cos(

?
2

? x)

D. cos(? ? x) ? cos x A.3 或 1 B.3 C.2 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.1 D.既不充分也不

6、互相平行的三条直线,可以确定的平面个数是 7、 “a=0”是“ab=0”的 A.充分但不必要条件 必要条件 8、函数 f ( x) ? 9 、 函 数 f ( x) ? D. x ? 1( x ? 0)

x ?1 的定义域是 A.x<-1 或 x≥1 x ?1

B.x<-1 且 x≥1

C.x≥1

D.非-1≤x≤1 C . ( x ? 1) 2 ( x ? ?1)

x ? 1 的 反 函 数 f ?1 ( x) ? A . ( x ? 1) 2 B . ( x ? 1) 2 ( x ? R)

10、在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,各棱所在直线与棱 AA1 所在直线成异面直线的有( ) A.7 条 B.6 条 C.5 条 D.4 条 11、下列命题中,正确的是 ( ) A.平行于同一平面的两条直线平行 B.与同一平面成等角的两条直线平行 C.与同一平面成相等二面角的两个平面平行 D.若平行平面与同一平面相交,则交线平行 12、已知:点 M1(6,0) 2(0,-2) 、M ,占 M 在 M1M2 的延长线上,分 M1M2 的比为-2,由点 M 的坐标是 ( )A. (2, )

4 3

B. (-6,-4)

C. (-6,4)

D. (6,-4) B an ? n 2 ? 1 C an ? 5n ? (?1) n D.an ? 3n ? 1

13、 下列通项公式表示的数列为等差数列的是 A a n ? 14、若 sin ? ?

n n ?1 7 25

4 ? , ? ? (0, ) ,则 cos2 ? 等于 5 2

A.

B.-

7 25

C.1

D.

7 5

15、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 10 6
B. (0,-2)(0,2)C. , (0,-4)(0,4) , D. (-4,0)(4,0) ,

A. (-2,0)(2,0) ,

16、把直线 y=-2x 沿向量 a ? (2,1) 平行,所得直线方程是 A.y=-2x+5 B.y=-2x-5 C.y=-2x+4
1

D.y=-2x-4

17、直角边之和为 12 的直角三角形面积的最大值等于 A.16 B.18 18、 f(x)是周期为 4 的奇函数, (-5) 则 A. 若 且f =1, f(5)=1 B. f(-3)=1 19、直线 x-2y+2=0 与直线 3x-y+7=0 的夹角等于 20、若 log a A. ?

C.20 D.不能确定 C. f(1)=-1 D. f(1)=1 C.

?
4

B.

? 4
(

3? 4

D.arctan7

1 ? 0 ,则下列各式不成立的是 2 1 1 1 1 A. log a ? log a B. a ? 3 a C. log a ( ? a ) ? log a ( ? a ) 2 3 a a
21、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是

)

D. log a ( (

1 1 ? a ) ? log a ( ? a ) a a
)

?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? ? A. ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 B. ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ? ? ?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? ? C. ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 D. ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ? ?
x? | x | y 2 ? ? 1 的交点个数是 4 9 二、填空题(本题有 6 小题,每题 3 分,共 18 分) 23、点(-2,1)到直线 3x-4y-2=0 的距离等于_________。
22、 直线 y ? x ? 3 与曲线 ? 24、 ( x ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

1 7 ) 的展开式中,含 x3 项是_________ x

25、在 [ ?? , ? ] 内,函数 y ? sin( x ?

?

3

) 为增函数的区间是__________。

26、从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中,任选 3 名参加一场比赛,并任意排定他们的出场顺序,不同的方法 共有_______种。 27、从 1、2、3、4、5 这五个数字中,任取三个排成没有重复数字的三位数,所得三位数恰好是 5 的倍数的概率 是_________。 28、a、b 不共线且(a+3b) ? (7a-5b),(a-4b) ? (7a-2b),则 a 与 b 的夹角是 。 三、解答题(本题有 5 小题,共 38 分) 29、 (本题 6 分)化简:

sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan2 ? ? sin 2 ? cos2 ? tan2 ?

30(6 分)成等差数列的三个数之和为 15,此数列与数列 1、3、9 的对应项的和又成等比数列,求这三个数。 31、 (本题 8 分)如图,已知△ABC 的高 AD、BE 交于 O 点,连结 CO。 (1)用 AC、BC、BO 所示向量表示 AO 所示向量。 (2)用向量证明:CO⊥AB。 32、 (本题 8 分)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,M、N 分别为 AA1、BB1 的中点,E、F 分别 为 CM、D1N 的中点,求:①CM 与 D1N 所成角的余弦值;②线段 EF 的长。

2

33、 (本题 10 分)过点 A(-2,-2)的动直线与抛物线 y2=8x 交于 B、C 两点。求:线段 BC 的中点 P 的 轨迹方程。 数学试题参考答案和评分标准 一、选择题(共 20 个小题,其中第 1—15 小题每小题 2 分;第 16—20 小题每小题 3 分,共 45 分, 题号 答案 题号 答案 1 B 11 B 2 C 12 D 3 D 13 B 4 C 14 D 5 A 15 A 6 A 16 B 22、21x3 7 A 17 C 23、 [? 8 C 18 B 9 D 19 C 10 D 20 A

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)21、 三、解答题(共 5 题,满分 40 分) 26 、 解 : 原 式 =

12 5

? 5?
6 , 6

]

24、60 25、

1 5

(sin ? cos ? ? cos? sin ? )(sin? cos ? ? cos? sin ? ) sin 2 ? cos2 ?

+

sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? cos2 ?

?

sin 2 ? cos2 ? ?1 sin 2 ? cos2 ?

27、解:设此三数为 a-d,a,a+d,则 由(1)得 a=5

?a ? d ? a ? a ? d ? 15 ? 2 ?(a ? d ? 1)(a ? d ? 9) ? (a ? 3)
? AC ? CB ? BO

(1) ( 2)

把 a=5 代入(2) 解得:d=2 或 d=-10

∴此三数为 3,5,7 或 15,5,-5。

28、 (1)解: AO ? AB ? BO

(2)证明: ∵AD⊥BC,BE⊥AC∴ AO ? BC ? 0, BO ? AC ? 0 又∵ CO ? CB ? BO, AB ? AC ? CB ∴ CO ? AB ? (CB ? BO) ? ( AC ? CB)

? CB ? AC ? BO ? AC ? (CB ? BO) ? CB

? CB( AC ? CB ? BO) ? CB ? AO ? 0 ∴CO⊥AB
29、 (A)解法 1:∵VA⊥AB,VA⊥AC∴VA⊥平面 ABC ∴BC⊥VA 又∵BC⊥AB∴平面 VBC⊥平面 VAB ∴二面角 A-VB-C 的平面角为 90° (2)作 AB1 CB 连结 BB1、VB1,则 BB1 CA ∴BV 与 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CA 的夹角为∠VBB1,设为 ? ,由已知得 VB =b +c B1B =CA =a +b VB1 =AV +B1A =AV +BC =c2+a2 ∴ cos? ?

VB 2 ? B1 B 2 ? VB1 2 VB ? B1 B

2

?

b 2 (b 2 ? c 2 )( a 2 ? b 2 ) (b 2 ? c 2 )( a 2 ? b 2 )

9分

解法 2:以 B 为原点, BC, BA, AV 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立直角坐标系,则由已知得 B(0,0,0) ,C(a,0,0) ,A(0,b,0) ,V(0,b,c) 4分

3

(1) ∵ BC ? BV ? (a,0,0) ? (0, b, c) ? 0 ∴BC⊥BC 5 分 又∵BC⊥AB ∴平面 VBC⊥平面 VAB∴二面角 A-VB-C 的平面角为 90° (2) cos ? BV , CA ??

∴BC⊥平面 VAB 6 分 7分

BV ? CA BV ? CA

?

b 2 (b 2 ? c 2 )(a 2 ? b 2 ) (b 2 ? c 2 )(a 2 ? b 2 )

9分

解法 3: (1)同解法 2 得 B(0,0,0) ,C(a,0,0) ,A(0,b,0) ,V(0,b,c) 4 分 解 AD⊥VB 于 D,设 D(0,y,z)则 DA ? (0, b ? y,?z) ∵ BC ? BV =(a,0,0)(0,b,c)=0∴ BC ? BV · 又∵ BC ? 平面 ABC, DA ? BV , DA ? 平面 VAB∴ ? BC, DA ? 为二面角 A-VB-C 的平面角 6分 5分

cos ? BC, DA ??
(2)同解法 2 9 分

BC ? DA BC ? DA

?

(a,0,0) ? (0, b ? y,? z ) BC ? DA

?0

∴ ? BC, DA ? 90°

(B)解法 1:分别以 DA, DC, DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立直角坐标系,则 C(0,2,0) 1(0,0,2) ,D ,M(2,0,1) ,N(2,2,1) (1) cos ? CM , ND1 ?? (3 分) (4 分)

(1 分)

CM ? ND1 CM ? ND1
? 1 9

?

(2,?2,1) ? (?2,?2,1) 2 ? (?2) ? 1 ? (?2) ? (?2) ? 1
2 2 2 2

(5 分)

1 ,且未去负号,则扣 1 分) 9 1 1 1 (2) ∵ DE ? DM ? MC ? (2,0,1) ? (?2,2,?1) ? (1,1, ) (6 分) 2 2 2 1 1 3 DF ? DD1 ? D1 N ? (0,0,2) ? (2,2,?1) ? (1,1, ) (7 分) 2 2 2
(注:若考生得 cos ? CM , D1 N ?? ? ∴ EF ? DF ? DE ? (0,0,1) ∴ EF ? 1 ? 1 解法 2: (1)设 P 为 DD1 的中点,连结 PM,则 MP ∴MC 与 PB 相交,且交点为 E,则 EB=EC= BC (8 分) (9 分) 1分

1 1 3 MC ? CA 2 ? AM 2 ? 2 2 2

(3 分)

又∵PD1 BN ∴D1N PB ∴CM、D1N 所成角为∠BEC 或其补角 ∴ cos?BEC ?

(4 分)

EB 2 ? EC 2 ? BC 2 1 ? 2 ? EB ? EC 9

4

即 CM、D1N 所成角的余弦值为

1 9

(5 分) (同解法 1(1)注)

(2)设截面 ACC1A1 与截面 BDD1B1 交于 OO1,则 (6 分) 在矩形 ACC1A1 中∵O 为 AC 中点,O1 为 A1C1 中点, ∴OO1 AA1 同理 OO1 在△ACM 中,O 为 AC 中点,OO1 同理 O1F= AM∴OO1 过点 CM 中点 E,且 OE=

BB1

(7 分) (8 分)

1 1 AM ? 2 2

1 1 B1 N ? 2 2

∴EF= 2 ?

1 1 ? ?1 2 2

(9 分) (1 分)

30、解法 1:设 l:y=k(x+2)-2,P(x0,y0),c:y2=8x,则

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? 2 ? y ? 8x
由(1)得: x ?

(1) ( 2)

(2 分) (3 分)
2

当 k=0 时,l 与 c 只有一个交点,不合题意,∴k≠0

y?2 ?2 k
∴k ?

(3) (3)代入(2) y ? 8( : (4) (5)

y?2 ? 2) k

整理得:ky2-8y-16+16k=0 ∴ y0 ?

(5 分) (7 分)

8 4 ? 2k k

4 y0

(5)代入(3) ,整理得: ( y0 ? 1) 2 ? 4x0 ? 9

(8 分)

又∵当(4)有不相等的两个实数根时 64-4k(16k-16)>0 即 k2-k-1<0 ∴

1? 5 1? 5 又∴k≠0 ?k? 2 2



1? 5 1? 5 ? k ? 0或0 ? k ? 2 2

将(5)代入得

1? 5 4 4 1? 5 ∴ y0 ? ?2 ? 5或y0 ? 2 5 ? 2 10 分 ? ? 0或0 ? ? 2 y0 y0 2

(注:考生若得 y 定义域为“ y ? ?2 ? 2 5或y ? 2 5 ? 2 ” ,不扣分) 解法 2:设 l:y=k(x+2)-2,P(x0,y0),c:y2=8x,则 y0+2=k(x0+2) (1) 由? (1 分) (2 分)

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? y ? 8x
2

得[k(x+2)-2]2=8x (4 分) (5 分) (3) (6 分)

即:k2x2+(4k2+4k-8)x+4k2-8k+4=0 (2) ∵当 k=0 时,l 与 c 只有一个交点,不合题意,∴k≠0 ∴ x0 ?

4k 2 ? 4 k ? 8 2 k 2 ? 2 k ? 4 ? 整理得:k2(x0+2)=2k+4 2k 2 k2

(1)代入(3) :k(y0+2)=2k+4∴ k ?

4 y0

(4)

(7 分)

(4)代入(1) y 0 ? 2 ? :

4 ( x0 ? 2) 即: ( y0 ? 1) 2 ? 4x0 ? 9 y0
5

(8 分)

又∵当(2)有不相等的两个实数根时(4k2-4k-8)2-4k2(4k2-8k+4)>0 即(k2―k―2)2―k2(k―1)2>0[k2―k―2+k(k-1)][k2―k―2―k(k-1)]>0 ∴k2-k-1<0 下同解法 1。 (10 分)

6


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