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初等代数研究(1)


绪言
“代数学” 一、 代数学”的起源及几种历史观点 ⒈“代数学”的起源 公元 820 年前后时,花剌子模数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子 模的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》 ,意思是“整理”和“对比” 。到 14 世纪,aljabr 演 变成了 algebra,这就是拉丁文的“代数学” 。其中 Algoritmi 是花拉子模的拉丁译名,现代 术语“算法” (Algorithm)即源于此。代数的基础就是脱离了具体数字在一般形态上形式地 加以考察的关于算术的学说。 代数的课题首要就是字母表示的式的变换和解方程的规则和方 法。所以,代数这个名称的起源完全符合这门科学本身的内容。 算术→初等代数→高等代数→近世代数。

⒉历史观点 ⑴Ⅰ16 世纪后期,视为普遍化的算术; Ⅱ17 世纪 60 年代,各种量的计算理论; ⑵18 世纪末至 19 世纪初,代数方程的解法; ⑶19 世纪至今,研究各种代数结构。

“代数学” 二、 代数学”的定义 “代数学”的定义——初等代数学(或称古典代数学)是更古来的算术的推广和发展; 抽象代数学(曾称近世代数学)则是在初等代数学的基础上发生、发展,而于 20 世纪形成 的。

“初等代数学”——研究数字和文字的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开 方)的理论和方法;更确切点说,研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理 论和方法。

三、为什么数应专业学生要学习本门课程
中学数学教师的历史使命

第一章 第一章

自然数 自然数

一、数系的历史发展 ⑴数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。 在人类开始数数之前, 人类是根据物体 样子的差别来判断物体是多还是少。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成,是 一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别,逐 渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西,即他们的单位性。 数:一定物群所共有的抽象性质。

“数”概念的形成可能与火的使用一样古老,大约是在 30 万年以前。 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息。 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据,是 1937 年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨,其上有 55 道刻痕。

历史途径扩展: *自然数 { ,2,3L} →正有理数→简单的代数无理数(如 2 , 1 年左右,印度)与负有理数→复数→严格的实数系。 逻辑扩展:

2 + 3 等)→零(公元 650

自 然 数 ?添加负数和零 → 整 数 系 ?作分数域 → 有 理 数 系 ?作柯西序列等价类 → 实 数 系 ??? ? ?? ? ???? ?

?作2次代数扩展 → 复数系。 ??? ?
自然数是人类最早认识的数。我们研究初等代数就从这最基本的对象开始。

二、自然数系和 0 ⑴自然数的基数理论和序数理论 ①建立自然数理论的几种方案 Ⅰ康托尔以集合论为基础,建立自然数基数理论; Ⅱ皮亚诺以公理法为基础,建立自然数序数理论; Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础,建立自然数理论。

②自然数的基数理论 ⑴康托尔简介 德国人。1846 年 3 月 3 日出生于俄国彼得堡。康托尔曾先后就学于苏黎世大学、哥廷 根大学、法兰克福大学和柏林大学,主要学习数学、物理、哲学等课程。1867 年获得柏林 大学的哲学博士学位。 康托尔是集合论的创始人。 为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷几何, 他以一 一对应为原则,提出了集合等价的概念。康托尔在深入研究集合的势这个概念时,引进了基 数与序数的理论。

⑵定义 分别给出 《现代汉语词典》 以及小学数学课本中对于自然数的定义: “正整数, 1, 3, 即 2, …” 以及“表示物体个数的一种数” 。 找出定义自然数的关键:把“物体”“个数”这两个词形式化 、 物体:集合(具有某种属性的一些对象组成的一个整体) 物体:集合(具有某种属性的一些对象组成的一个整体) 个数:基数(等价集合在数量上所具有的共同特征) 个数:基数(等价集合在数量上所具有的共同特征)

有限集的基数叫做自然数。

φ 所有等价于 { }的集合的基数,用符号 1 表示,

在集合论中,若集合 A 和 B 的元素之间可以建立一 一对应关系,就称集合 A 和 B 等价,记作 A~B。

类似地,

{φ , {φ }} = 2 {φ , {φ }, {{φ }}} = 3
………… 一切自然数组成的集合,叫做自然数集,记为 N

Ⅱ顺序。
(a ) 顺序定义

如果有限集 A, B 的基数分别为 a, b 。那么, 当 A ~ B 时,说 a 等于 b ,记作 a = b ; 当 A ~ B ′ ? B 时,就说 a 小于 b ,记作 a < b ; 当 A ? A′ ~ B 时,就说 a 大于 b ,记作 a > b 。
(b) 顺序性质
?相等。反身性、对称性、传递性(Th1) ? ?对逆性 ? ? a与 b ? 大小(全序性)传递性 Th 2) ( ? ? ?三歧性 ? ? ? Th1⑴?a ∈ N , 有a = a ⑵?a, b ∈ N , 若a = b, 则b = a ⑶?a, b, c ∈ N , 若a = b, b = c, 则a = c Th 2⑴?a, b ∈ N , 当且仅当a < b时,b > a ⑵?a, b, c ∈ N , 若a < b, b < c, 则a < c ⑶?a, b ∈ N , 在a < b, a = b, a > b中有且只有一个成立。

证:⑴设A, B都是有限集。 = a, B = b。则存在B ′ ? B, 则A ~ B ′ ? B.即 A 当B ? B ′ ~ A时,b > a;同理,当b > a时,a < b。 ⑵设A、B、C都是有限集, = a, B = b, = c。根据定义,存在集合B ′、C ′,使得 A C A ~ B ′ ? B, B ~ C ′ ? C,这就有集合C ′′ ? C ′,且C ′′ ? B ′,于是 A ~ C ′′ ? C ′ ? C,即a < c。

Ⅲ运算
(a ) 运算定义

加法定义:设 A, B 都是有限集。 A = a, B = b, 且A ∩ B = φ ,则 A ∪ B 的 基数为 a 加上 b 的和,记作 a + b 。 乘法定义:若 b 个有限集 A1 , A2 ,L, Ab 彼此之间没有公共元素, 则称 A1 ∪ A2 ∪ L ∪ Ab 的基数为 a 乘以 b 的积, 它们的基数都是 a , 记作 a × b 。
(b) 运算性质
Th3 自然数的加法满足交换律和结合律。 Th 4 (乘法交换律) ?a, b ∈ N恒有ab = ba 。 Th5 (乘法结合律) ?a, b, c ∈ N恒有a(bc) = (ab)c。 Th6























?a, b, c ∈ N , 总有a(b + c ) = ab + ac, (b + c )a = ba + ca。

(b 析: + c )a = (b + c ) + (b 4c ) 44+ (b +3 + c) 14444 2 + L 444
=(b + 4+ L +3 + (c + 4+ L +3 b b) c c) 14 244 14 244
a个 a个 a个

= ba + ca

③自然数的序数理论 Ⅰ提出原因 基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义,也没有 给出自然数加法、乘法运算的具体方法。 Ⅱ定义

集合 N 的元素叫做自然数。如果 N 的元素间有一个基本 关系“后继” (用“+”表示) ,并满足
(a ) 1 ∈ N (b) ?a ∈ N , 有唯一的a + ∈ N (c ) ?a ∈ N , a + 不是1 (d ) ?a, b ∈ N , 若a + 与b + 相同,则a = b (e) (归纳公理) 若M
? N , 且1°1 ∈ M;°?a ∈ M , 有a + ∈ M。则M = N。 2

注:归纳公理是数学归纳法的理论依据。 Ⅲ顺序
(a ) 顺序定义

等于: ?a, b ∈ N , 若a + 与b + 相同,则a = b 。 小于: 若a, b ∈ N,且存在k ∈ N,使得a = b + k , 则称a大于b,记为a > b。
(b) 顺序性质

自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。 Ⅳ运算
(a ) 运算定义

加法:自然数的加法是一种对应关系“+” ,由于它,对任何
a, b ∈ N ,有唯一确定的 a + b ∈ N ,并且 (1)a + 1 = a + ; (2 )a + b + = (a + b) + 。

乘法:自然数的乘法是一种对应关系“·,由于它,对任何 ”
a, b ∈ N ,有唯一确定的 a + b ∈ N ,并且 (1)a ? 1 = a; (2 )a ? b + = a ? b + a 。

减法:设 a, b ∈ N ,若存在 x ∈ N ,使 b + x = a ,则称 x 为 a 减去 b 的差,记作 a ? b ,这里 a 叫做被减数,b 叫做减数。求两数差

的运算叫做减法。 除法:设 a, b ∈ N ,若存在 x ∈ N ,使 bx = a ,则称 x 为 a 除以 b 的商,记作 a | b ,这里 a 叫做被除数,b 叫做除数。求两数商 的运算叫做除法。 例1
证 Q ∴

证明 2 + 3 = 5
2 + 1 = 2 + =3,+ 2 = 2 + 1+ = (2 + 1) + = 3+ = 4, 2 2 + 3 = 2 + 2 + = (2 + 2) + = 4 = = 5

例2
证 Q

证明 2 ? 3 = 6
2 ? 1 = 2,? 2 = 2 ? 1+ = 2 ? 1+ + 2 = 4, 2 2 ? 3 = 2 ? 2+ = 2 ? 2 + 2 = 4 + 2 = 6



(b) 运算性质

加法的唯一性、结合律、交换律;乘法的唯一性、结合律、 交换律。 自然数列的离散性:任意两个相邻的自然数 a 与 a + 之间不存 在自然数 b ,使 a < b < a + 。 阿基米德性:对任意 a, b ∈ N ,必有 n ∈ N , ? na > b 。 (右分配律)对任何 a,b,c ∈ N ,总有 (a + b ) ? c = ac + bc
证 设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 Q (a + b ) ? 1 = a + b = a ? 1 + b ? 1, 假定c ∈ M,则 (a + b) ? c + = (a + b)c + (a + b) = ac + bc + a + b = (ac + a ) + (bc + b) = ac + + bc + 于是c + ∈ M, 因此,M = N .又由a、b的任意性,得证。 ∴1 ∈ M

⑵关于自然数系的几点说明 ⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统。 ⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容 性,也就是说必须保证从公理出发不会推导出两个矛盾的命 题。 ⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 ⑶自然数和 0 扩大的自然数集:含 0 在基数理论中,把空集的基数定义为“零”,在序数理论中把 “零”作为 1 的先行数,这样便构成了扩大的自然数集。 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。 我国数学教科书中在 20 世纪 90 年代之前一直没有把 0 作为自然数。1993 年《中华人民共和国国家标准》中《量和 单位》311 页规定自然数包括 0。 从集合论的角度看,把 0 作为自然数比较合理。
φ , {φ }, {φ , {φ }}, (φ , {φ }, {φ , {φ }},L)

将这一系列集合所对应的基数看成自然数列

数学归纳法 ⒈数学归纳法的几种形式

⑴(第一数学归纳法)设 P(n) 是关于自然数 n 的命题,若 Ⅰ P(n) 在 n = 1 时成立 Ⅱ P(k( k 是任意自然数) ) 成立的假设下可以推出 P(k + 1) 成 立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。

证明:设 M 是使命题成立的所有自然数组成的集合,则由 Ⅰ1 ∈ M ; Ⅱ若 k ∈ M ,则 k + ∈ M 由归纳公理,得证。

⑵第一数学归纳法的一种变形(移动起点)设 P(n) 是关于自 然数 n 的命题,若 Ⅰ P(n) 在 n = n0 时成立。其中 n0 为任何一个具体的自然数。 Ⅱ P(k ) ( k ≥ n0 )成立的假设下可以推出 P(k + 1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n ( n ≥ n0 )都成立。

⑶第二数学归纳法(串值归纳法)设 P(n) 是关于自然数 n 的命 题,若 Ⅰ P(n) 在 n = 1 时成立。 则 Ⅱ假设 P(m) 对于所有适合 m < k 的自然数 m 成立, P(k ) 成

立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。

⑷第二数学归纳法的一种变形(增多起点)设 P(n) 是关于自 然数 n 的命题,若 Ⅰ P(n) 在 n = 1 , n = 2 时成立。 Ⅱ假设 P(k ), P(k + 1) 真,则 P(k + 2) 真。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。

⑸跳跃式归纳法(加大跨度)设 P(n) 是关于自然数 n 的命题, 若 Ⅰ P(1), P(2),L, P(l ) 为真命题。 Ⅱ在 P(k( k 是任意自然数) ) 成立的假设下可以推出 P(k + l ) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。

⑹(反向归纳法)设 P(n) 是关于自然数 n 的命题,若 Ⅰ有无限多个值使 P(n) 成立。 Ⅱ在 P(k( k 是任意自然数) ) 成立的假设下可以推出 P(k ? 1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 (7) 参变归纳法或二重归纳法

⒉在数学归纳法的教学中应注意 ⑴要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归纳法的 区别。 观察——归纳——证明。 归纳法是通过观察、试验、推理或猜测,得出一个关于 全体对象的判断,属于归纳。 数学归纳法是对给定结论予以证明,属于证明。

⑵帮助学生正确理解数学归纳法。 ①数学归纳法中的两个步骤,缺一不可。 例如不要Ⅰ(奠基) 。证明所有正整数都相等。 证:假设 n = k 时,第 k 个整数等于第 k + 1 个整数,即 k = k + 1 ; 两边都加上 1,得到 k + 1 = k + 2 ,即第 k + 1 个整数等于第 k + 2 个 整数 所以, n = k + 1 时命题也成立。 例如不要Ⅱ(递推步骤)法·费尔马(1601-1665)
Fn = 2 2 + 1, F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537,
n

F5 = 4294967297 = 641 × 6700417

②防止“貌合神离” 例如,若
2 2

a i > 0(i = 1,2, L , n)
2

,且

a1 + a 2 + L + a n = 1

。求证:

a1 + a 2 + L + a n ≥

1 ( n ≥ 2) 。 n

错证:

1° 当 n = 2 时,命题成立。 (反证法)
2° 假设当 n = k 时,命题成立。即 a1 + a 2 + L + a k ≥
2 2 2

1 k

当 n = k + 1 时, a1 2 + a 2 2 + L + a k 2 + a k +1 2 ≥ 1 + a k +1 2 > 1 >
k k

1 k +1

综合 1° 、 2° ,命题对于不小于 2 的所有自然数成立。 剖析:当
n = k +1

时,条件为

a1 + a2 + L + ak + ak +1 = 1

,其中

a i > 0(i = 1,2, L , n) 。所以,不能套用 a1 + a 2 + L + a k = 1 的结论。

证明:
1° 当 n = 2 时,命题成立。 (反证法)
1 2 2 2 2°假设n = k时(k ≥ 2)成立,即a i > 0, i = 1,2, L , k,且a1 + a 2 + L + a k = 1。a1 + a 2 + L + a k ≥ 。 k 当n = k + 1时,由ai > 0, i = 1,2, L , k + 1,且a1 + a 2 + L + a k + a k +1 = 1 ak ai a a2 得, 1 + +L+ = 1,且 >0 1 ? a k +1 1 ? a k +1 1 ? a k +1 1 ? a k +1 ? ak ? ? a1 ? ? a 2 ? 1 由归纳假设,得? ? ? ? ? ? ?1? a ? + ?1? a ? + L + ?1? a ? ≥ k , k +1 ? k +1 ? k +1 ? ? ? ? ∴ 要证 k ? a1 + a 2 + L + a k + a k +1 ≥
2 2 2 2 2 2 2

(1 ? a k +1 )2
k

+ a k +1

2

(1 ? a k +1 )

2

+ a k +1 ≥
2

1 ,即 k +1

(k + 1)(1 ? a k +1 )2 + k (k + 1)a k +1 2 ≥ k ,

(k + 1)2 a k +1 2 ? 2(k + 1)a k +1 + 1 ≥ 0

⒊例题 例1 证明: 用票面为 3 角和 5 角的邮票可以支付任何 n(n > 7 )

角的邮资。 分析

1° 当 n = 8 时,命题成立。 8 = 3 + 5 ) (
2° 设 n = k (k > 7, k ∈ N ) 时命题成立。

k 角邮资可能是:⑴完全用

3 角的邮票来支付;⑵至少

用一张 5 角的邮票来支付。 在⑴下,3 角的邮票至少有 3 张。把它们换成两张 5 分 的邮票便可支付 k + 1 角的邮票。 在⑵下,把一张 5 角的邮票换成两张 3 角的邮票便可以 支付 k + 1 角的邮票。 综合 1° 、 2° ,命题对于不小于 8 的所有自然数成立。 例 2 已知 f (x ) 是定义在 N 上,又在 N 上取值的函数,且 ⑴ f (2) = 2 ⑵ ?m, n ∈ N , 有f (mn) = f (m) f (n ) ⑶ 当m > n时,f (m ) >
f (n)。

求证: f (x ) = x在N上恒成立。

证法一(串值归纳法)
1°当x = 1时,由f (2) = f (2 ? 1) = f (2) ? f (1),可得f (1) = 1。
若k + 1为偶数,设为2 s,则f (k + 1) = f (2 s ) = 2 f ( s ) = 2 s = k + 1; 若k + 1为奇数,设为2 s + 1,则2 s = f (2 s ) < f (2 s + 1) < f (2 s + 2) = 2 f ( s + 1) = 2( s + 1), Q f在N上取值, f (2 s + 1) = 2 s + 1,即f (k + 1) = k + 1。 ∴ 由串值归纳法,f ( x) = x对一切x ∈ N都成立。 2°假定当x = 1,2, L , k时,f ( x) = x。则当x = k + 1时,

证法二(反向归纳法)

1° f 2 m = 2 m (分析:①f 21 = f (2 ) = 2;②f 2 k +1 = f 2 k ? 2 = f 2 k ? f (2 ) = 2 k ? 2 = 2 k +1 )

( )

( )

( )

(

)

( )

2°若f ( x) = x( x > 1), f ( x ? 1) < f ( x ), f ( x ? 1) ≤ x ? 1。而x ? 1 > x ? 2, Q ∴ ∴ 所以, 这样, f ( x ? 1) ≥ f ( x ? 2 ) + 1 ≥ f ( x ? 3) + 2 ≥ L ≥ f (1) + x ? 2 = x ? 1。 f ( x ? 1) = x ? 1。

f ( x ? 1) > f ( x ? 2)。

由反向归纳法,f ( x ) = x对一切x ∈ N都成立。


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