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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练4]

双基限时练(四)
一、选择题 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( A.5 C.8 B.6 D.10 )

解析 由等差中项的性质,知 2a5=a1+a9, ∴a5=5. 答案 A

2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.-1 C.3 ) B.1 D.7

解析 由 a1+a3+a5=3a3=105,得 a3=35. 又(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=3d=-6, 得 d=-2,∴a20=a3+17d=35-34=1. 答案 B

3.{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列,若 an=2014,则序 号 n 的值为( A.670 C.674 ) B.672 D.668

解析 由题意得 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×3=3n-2,由 3n- 2=2014,n=672. 答案 B )

4.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则 a40 等于( A.40 B.70

C.80

D.90

解析 a10, a20, a30, a40 成等差数列, 公差为 20, ∴a40=a10+3×20 =90. 答案 D )

5.在等差数列{an}中,a1+2a8+a15=96,则 2a9-a10=( A.24 C.20 B.22 D.-8

解析 由 a1+2a8+a15=96=4a8,∴a8=24. 故 2a9-a10=2(a8+d)-(a8+2d)=a8=24. 答案 A

6.已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12) 的值为( A. 3 3 C.- 3 ) B.± 3 D.- 3

解析 ∵{an}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π. 4 8 2 ∴a7=3π,tan(a2+a12)=tan2a7=tan3π=tan3π=- 3. 答案 D

二、填空题 7.在等差数列{an}中,d>0,a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,则 an =________. 解析 由 a2+a5+a8=9,知 a5=3.由 a3a5a7=-21,知(3-2d)(3 +2d)=-7. 得 d=± 2,又 d>0,∴d=2. ∴an=2n-7.

答案 2n-7 8.在等差数列{an}中,a2=4,a6=8,则 a20=________. 解析 ∵{an}为等差数列,∴a2,a4,a6,a8,…,a20 为等差数列, 设其公差为 d,则 a6=a2+2d=4+2d 得 d=2,a20=a2+9d=4+9×2 =22. 答案 22 9.在等差数列{an}中,(1)若 a3+a4+a5+a6+a7=350,则 a2+a8 =________; (2)若 a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,且 a4<a2,则 an=________. 解析 (1)由已知得 a5=70,又 a2+a8=2a5=140.

? ? ?a2+a5=17, ?a2=13, ? (2)由已知得 又 a4<a2,∴? ? ? ?a2a5=52, ?a5=4,

∴d=-3,an=a2+(n-2)d=19-3n. 答案 (1)140 (2)19-3n

三、解答题 b+c a+c a+b 1 1 1 10.已知a,b,c成等差数列,求证 a , b , c 也成等差数 列. 证明 ∴ 1 1 1 2 1 1 ∵a,b,c成等差数列,∴b=a+c.

2?a+b+c? a+b+c a+b+c = a + c . b

b+c a+b 2?a+c? 化简得 a + c = b . b+c a+c a+b ∴ a , b , c 成等差数列. 11.已知等差数列{an}的前三项依次为 x-1,x+1,2x+3,求这个

数列的通项公式. 解 ∵这个数列的前三项依次为 x-1,x+1,2x+3,

∴2(x+1)=x-1+2x+3,得 x=0. ∴该数列的首项为-1,公差 d=1-(-1)=2, ∴其通项公式 an=a1+(n-1)d=-1+2(n-1)=2n-3. 12. 已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的 4 个根组成一个首项为 1 4的等差数列,求|m-n|. 解 1 1 1 1 设 a1=4,a2=4+d,a3=4+2d,a4=4+3d.

而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,方程 x2-2x+n=0 中两根 之和也为 2. 1 ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.∴d=2. 1 7 3 5 ∴a1=4,a4=4是一个方程的两个根,a2=4,a3=4是另一个方程 的两个根. 7 15 1 ∴16,16为 m 或 n,∴|m-n|=2. 思 维 探 究 13.数列{an}满足 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求 λ 及 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式; 若不可能,说明理由. 解 (1)由于 an+1=(n2+n-λ)an,且 a1=1.所以当 a2=-1 时,有

-1=2-λ,故 λ=3.从而 a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列,证明如下:由 a1=1,an+1=(n2+n -λ)an,得 a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在 λ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ) =1-λ,解得 λ=3. 故 a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾.所以,对任意 λ,{an}都不可能是等差 数列.


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