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人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程4.2.3

数学 4.2.3 学习目标 直线与圆的方程的应用 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系,利用直线与圆 的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 .3.会用“数形结合”的数学思想解决问 题. 知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示 问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 类型一 直线与圆的方程的应用 例 1 某圆拱桥的圆拱跨度为 20 m,拱高为 4 m.现有一船,宽 10 m,水面以上高 3 m,这 条船能否从桥下通过? 解 建立如图所示的坐标系.依题意,有 A(-10,0),B(10,0), P(0,4),D(-5,0),E(5,0). 设所求圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ?a+10? +b =r , ? ? 于是有??a-10? +b =r , ? ?a +?b-4? =r , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解此方程组,得 a=0,b=-10.5,r=14.5, 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 数学 x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4). 把点 D 的横坐标 x=-5 代入上式,得 y≈3.1. 由于船在水面以上高 3 m,3<3.1, 所以该船可以从桥下通过. 反思与感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知. (2)建系:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 跟踪训练 1 如图为一座圆拱桥的截面图, 当水面在某位置时, 拱顶离水面 2 m, 水面宽 12 m, 当水面下降 1 m 后,水面宽为________米. 答案 2 51 解析 如图,以圆拱桥顶为坐标原点,以过圆拱顶点的竖直直线为 y 轴,建立直角坐标系. 设圆心为 C, 圆的方程设为 x2+(y+r)2=r2(r>0), 水面所在弦的端点为 A, B, 则 A(6, -2). 将 A(6,-2)代入圆的方程,得 r=10, ∴圆的方程为 x2+(y+10)2=100.当水面下降 1 米后,可设点 A′(x0,-3)(x0>0),将 A′(x0, -3)代入圆的方程,得 x0= 51, ∴当水面下降 1 米后,水面宽为 2x0=2 51(米). 类型二 坐标法证明几何问题 例 2 如图所示,在圆 O 上任取 C 点为圆心,作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于点 D,圆 C 与 圆 O 交于点 E,F,且 EF 与 CD 相交于 H,求证:EF 平分 CD. 数学 证明 以 AB 所在直线为 x 轴, O 为坐标原点,建立直角坐标系, 如图所示,设|AB|=2r,D(a,0), 则|CD|= ∴C(a, r2-a2, r2-a2), ∴圆 O:x2+y2=r2, 圆 C:(x-a)2+(y- r2-a2)2=r2-a2. 两方程作差,得直线 EF 的方程为 2ax+2 r2-a2y=r2+a2. r2-a2, 1 令 x=a,得 y= 2 1 ∴H(a, 2 r2-a2),即 H 为 CD 中点, ∴EF 平分 CD. 反思与感悟 (1)平面几何问题通常要用坐标法来解决,具体步骤如下: ①建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题的几何元素,将实际或平面问题转化 为代数问题; ②通过代数运算,解决代数问题; ③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论. (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则: 数学 ①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴; ②常选特殊点作为直角坐标系的原点; ③尽量使已知点位于坐标轴上. 建立适当的直角坐标系,会简化运算过程. 跟踪训练 2 如图,直角△ABC 的斜边长为定值 2m,以斜边的中点 O 为圆心作半径为 n 的 圆,直线 BC 交圆于 P,Q 两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2 为定值. 证明 如图,以 O 为坐标原点,以直线 BC 为 x 轴,建立直角坐标系, 于是有 B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0). 设 A(x,y),由已知,点 A 在圆 x2+y2=m2 上. 则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2 =(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值). 类型三 直线与圆位置关系的应用 例 3 为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路, 从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走 7 km 到达公路上的 点 B;从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路上的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一 点 D,修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离. 解 以 O 为坐标原点,OB,OC 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立直角坐标系,则圆 O 的 x y 方程为 x2+y2=1.因为点 B(8,0),C(0,8),所以直线 BC 的方程为 + =1,即 x+y=8. 8 8 数学 当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时,DE 为最短 距离.此时 DE 的最小值为 |0+0-8| -1=(4 2-1)km. 2 反思与感悟 针对这种类型的题目,即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题,关 键是用坐标法将实际问题转化为数学问题,最后再还原为实际问题. 跟踪训练 3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮 船正西 60 km 处,受影响的范围是半径长为 20 km

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