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人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程4.2.3


数学 4.2.3 学习目标 直线与圆的方程的应用 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系,利用直线与圆 的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 .3.会用“数形结合”的数学思想解决问 题. 知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示 问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 类型一 直线与圆的方程的应用 例 1 某圆拱桥的圆拱跨度为 20 m,拱高为 4 m.现有一船,宽 10 m,水面以上高 3 m,这 条船能否从桥下通过? 解 建立如图所示的坐标系.依题意,有 A(-10,0),B(10,0), P(0,4),D(-5,0),E(5,0). 设所求圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ?a+10? +b =r , ? ? 于是有??a-10? +b =r , ? ?a +?b-4? =r , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解此方程组,得 a=0,b=-10.5,r=14.5, 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 数学 x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4). 把点 D 的横坐标 x=-5 代入上式,得 y≈3.1. 由于船在水面以上高 3 m,3<3.1, 所以该船可以从桥下通过. 反思与感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知. (2)建系:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 跟踪训练 1 如图为一座圆拱桥的截面图, 当水面在某位置时, 拱顶离水面 2 m, 水面宽 12 m, 当水面下降 1 m 后,水面宽为________米. 答案 2 51 解析 如图,以圆拱桥顶为坐标原点,以过圆拱顶点的竖直直线为 y 轴,建立直角坐标系. 设圆心为 C, 圆的方程设为 x2+(y+r)2=r2(r>0), 水面所在弦的端点为 A, B, 则 A(6, -2). 将 A(6,-2)代入圆的方程,得 r=10, ∴圆的方程为 x2+(y+10)2=100.当水面下降 1 米后,可设点 A′(x0,-3)(x0>0),将 A′(x0, -3)代入圆的方程,得 x0= 51, ∴当水面下降 1 米后,水面宽为 2x0=2 51(米). 类型二 坐标法证明几何问题 例 2 如图所示,在圆 O 上任取 C 点为圆心,作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于点 D,圆 C 与 圆 O 交于点 E,F,且 EF 与 CD 相交于 H,求证:EF 平分 CD. 数学 证明 以 AB 所在直线为 x 轴, O 为坐标原点,建立直角坐标系, 如图所示,设|AB|=2r,D(a,0), 则|CD|= ∴C(a, r2-a2, r2-a2), ∴圆 O:x2+y2=r2, 圆 C:(x-a)2+(y- r2-a2)2=r2-a2. 两方程作差,得直线 EF 的方程为 2ax+2 r2-a2y=r2+a2. r2-a2, 1 令 x=a,得 y= 2 1 ∴H(a, 2 r2-a2),即 H 为 CD 中点, ∴EF 平分 CD. 反思与感悟 (1)平面几何问题通常要用坐标法来解决,具体步骤如下: ①建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程

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