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人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程4.2.2

数学 4.2.2 学习目标 圆与圆的位置关系 1.理解圆与圆的位置关系的种类 .2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几 何判定方法,能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的 方法和它的优越性. 知识点 两圆位置关系的判定 思考 1 圆与圆的位置关系有几种?如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系? 答案 圆与圆的位置关系有五种,分别为:相离、外切、相交、内切、内含. 几何方法判断圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为 d,两圆的半径分别为 r1,r2(r1≠r2),则 (1)当 d>r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 相离; (2)当 d=r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 外切; (3)当|r1-r2|<d<r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 相交; (4)当 d=|r1-r2|时,圆 C1 与圆 C2 内切; (5)当 d<|r1-r2|时,圆 C1 与圆 C2 内含. 思考 2 已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何通过 代数的方法判断两圆的位置关系? 答案 联立两圆的方程,消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程,当判别式 Δ>0 时,两圆 相交,当 Δ=0 时,两圆外切或内切,当 Δ<0 时,两圆外离或内含. 梳理 (1)用几何法判定圆与圆的位置关系 已知两圆 C1:(x-x1)2+(y-y1)2=r2 1, C2:(x-x2)2+(y-y2)2=r2 2, 则圆心距 d=|C1C2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 两圆 C1,C2 有以下位置关系: 位置关系 圆心距与半 径的关系 图示 相离 d>r1+r2 内含 d<|r1-r2| 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 外切 d=r1+r2 数学 (2)用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆:C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, ?x2+y2+D1x+E1y+F1=0, ? 将方程联立? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0, 消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程, 则①判别式 Δ>0 时,C1 与 C2 相交; ②判别式 Δ=0 时,C1 与 C2 外切或内切; ③判别式 Δ<0 时,C1 与 C2 相离或内含. 类型一 两圆的位置关系 命题角度1 两圆位置关系的判断 例 1 已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( A.内切 C.外切 答案 B 2 2 ? ?x +y -2ay=0, 解析 由? 得两交点分别为(0,0),(-a,a). ?x+y=0, ? ) B.相交 D.相离 ∵圆 M 截直线所得线段的长度为 2 2, ∴ a2+?-a?2=2 2, 又 a>0,∴a=2. ∴圆 M 的方程为 x2+y2-4y=0, 即 x2+(y-2)2=4,圆心为 M(0,2),半径为 r1=2. 又圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为 N(1,1),半径为 r2=1, ∴|MN|= ?0-1?2+?2-1?2= 2. 数学 ∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3, ∴两圆相交. 反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式,此步骤不需要). (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长 r1,r2. (3)求两圆的圆心距 d. (4)比较 d 与|r1-r2|,r1+r2 的大小关系. (5)根据大小关系确定位置关系. 跟踪训练 1 已知圆 C1:x2+y2-2x+4y+4=0 和圆 C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两 个圆的公切线的条数为( ) A.1 或 3 B.4 C.0 D.2 答案 D 1 解析 由圆 C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆 C2:(x-2)2+(y+1)2= , 4 得 C1(1,-2),C2(2,-1), ∴|C1C2|= ?2-1?2+?-1+2?2= 2. 1 又 r1=1,r2= , 2 则 r1-r2<|C1C2|<r1+r2, ∴圆 C1 与圆 C2 相交. 故这两个圆的公切线共 2 条. 命题角度2 已知两圆的位置关系求参数 例 2 当 a 为何值时,两圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3 =0: (1)外切;(2)相交;(3)相离. 解 将两圆方程写成标准方程,则 C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4. ∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为 d,则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. 数学 (1)当 d=5,即 2a2+6a+5=25 时,两圆外切, 此时 a=-5 或 a=2. (2)当 1<d<5,即 1<2a2+6a+5<25 时,两圆相交,此时-5<a<-2 或-1<a<2. (3)当 d>5,即 2a2+6a+5>25 时,两圆相离, 此时 a>2 或 a<-5. 反思与感悟 步骤: ①将圆的方程化成标准形式,写出圆心和半径. ②计算两圆圆心的距离 d. ③通过 d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围,必要时可借助于图 形,数形结合. (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆 半径的关系. 跟踪训练 2 若圆 C1:x2+y2=16 与圆 C2:(x-a)2+y2=1 相切,则 a 的值为( A.± 3 C.3 或 5 答案 D 解析 圆 C1 与圆 C2 的圆心距为 d=

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