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2013年北京东城区高三二模【数学理试题】答案


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北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案(理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)A (4)D (5)D (6)B (7)D (8)C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 3 1 15 ? 2 2 2 (9) (10) 1 (11) (12) 2
2 7

(13) 150

(14)① ③

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: )因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) (Ⅰ
? 3 sin x cos x ? sin 2 x

1 (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2 = 1 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2.
的最小正周期 2? 0? x? 3 , (Ⅱ 因为 ) ? ? 3? ? 2x ? ? 6 2 . 所以 6 所以 (16) (共 13 分)
f ( x)

所以

f ( x)

T?

2? ?? ? .

3 1 (? , ] 的取值范围是 2 2 .

………………………………13 分

50 30 ? 解: )设该年级共 n 人,由题意得 n 180 ? 120 ,所以 n ? 500 . (Ⅰ
则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 . (Ⅱ )依题意, X 所有取值为 0,1, 2 .
P( X ? 0) ?
2 C2 1 ? 2 C5 10



P( X ? 1) ?

1 1 C2C3 3 ? C52 5



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P( X ? 2) ? C32 3 ? C52 10

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X 的分布列为: X P
0

1 10

1 3 5

2 3 10

1 3 3 6 ?1 ? 2 ? ? ? 10 5 10 . 5 (17) (共 14 分) EX ? 0 ?
(Ⅰ )证明:因为 ?BAD ? 90 w
?

………………………………………13 分

所以 AD ? AB , 又因为 C B ? AD ,且 AB ? C B ? B ,
'

'

z
' 所以 AD ? 平面 C AB ,

C

' ' 因为 AC ? 平面 C AB ,

' 所以 AD ? AC .

N A D y M B x

(Ⅱ )因为△ BCD 是等边三角形,

AB ? AD , ?BAD ? 90 ,
?

不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 2 ,
' 又因为 M , N 分别为 BD , C B 的中点,

由此以 A 为原点, AB , AD , AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz .
'

则有 , , ???? ? 1 1 ???? 1 1 AM ? ( , ,0) AN ? ( ,0, ) 2 2 2 2 . 所以 ,

A(0,0,0)

B(1,0,0)

D(0,1,0)

' , C (0,0,1) ,

1 1 1 1 M ( , ,0) N ( ,0, ) 2 2 , 2 2 .

设平面 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) .



???? ? ? AM ? m ? 0 , ? ????? ? AN ? m ? 0. ?

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1 ?1 ? 2 x ? 2 y ? 0, ? ? ? 1 x ? 1 z ? 0. ? 2 即 ?2

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令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 . 所以 m ? (1, ?1, ?1) . 又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0,0,1) .
cos ? m, n ?? m ? n ?1 3 ? ?? m n 3 3 .

所以

3 所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 3 .

………………………………14 分

(18) (共 14 分)

a x ,定义域为 (0, ??) , 解:(Ⅰ ) 1 a x?a f | ( x) ? ? 2 ? 2 x x x . 则 f ( x) ? ln x ?

k B1.c om

? ? 因为 a ? 0 ,由 f ( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ( x) ? 0, 得 x ? (0, a) ,

所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) . (Ⅱ )由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
k ? f ?( x0 ) ? x0 ? a 1 ? 2 x0 2

( x0 ? 0 ) ,

1 a ? ? x02 ? x0 2 所以 对 x0 ? 0 恒成立. 1 1 ? x 2 ? x0 ? x0 ? 0 时, 2 0 2, 又当 1 a 的最小值为 2 . 所以

f ( x) ?
(Ⅲ )由题意,方程

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 2x 2 化简得

1 1 b ? ln x ? x2 2 + 2 x ? (0, ??) 1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) h( x) ? ln x ? x2 ? b ? h?( x) ? ? x ? 2 2 ,则 x x 令 .
? 当 x ? (0,1) 时, h ( x) ? 0 ,

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? 当 x ? (1, ??) 时, h ( x) ? 0 ,

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所以 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为

1 1 h(1) ? ln1 ? ?12 ? b ? ? ?b 2 2 .

所以 当 ?b ? 0 , 即 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点,

方程

f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 2x 2 有两个实根,

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点,

方程

f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 2x 2 有一个实根,

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点,

方程

f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 2x 2 无实根.

……14 分

(19) (共 13 分)
c 3 ? 2 , a 2 ? b2 ? c2 , 解: (Ⅰ )因为 a

所以 a ? 2b .
ab 4 5 x y d? ? ? ?1 2 2 5 a ?b 因为原点到直线 AB : a b 的距离 ,

解得 a ? 4 , b ? 2 .

x2 y ? ?1 故所求椭圆 C 的方程为 16 4 .
(Ⅱ )因为点
? y0 ?x ? 0 ? ? y0 ? 所以 ?

2

P ? x0 , y0 ?

关于直线 y ? 2 x 的对称点为

P ? x1 , y1 ? 1



? y1 ? 2 ? ?1, ? x1 ? y1 x ?x ? 2? 0 1 . 2 2

解得

x1 ?

4 y0 ? 3x0 3 y ? 4x0 y1 ? 0 5 5 , .

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2 2 2 2 所以 x1 ? y1 ? x0 ? y0 .

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x2 y ? ?1 P x ,y 因为点 ? 0 0 ? 在椭圆 C : 16 4 上,
2 2 x12 ? y12 ? x0 ? y0 ? 4 ? 2 3 x0 4 .

2

所以

2 2 因为 ?4 ? x0 ? 4 , 所以 4 ? x1 ? y1 ? 16 . 2 2 4, 16? 所以 x1 ? y1 的取值范围为 ? .

(Ⅲ )由题意
? y ? kx ? 1, ? 2 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4 消去 y ,整理得

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ?12 ? 0 .
可知 ? ? 0 . 设 E ( x2 , y2 ) , F ( x3 , y3 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) ,



xM ?

x2 ? x3 ?4k 1 ? yM ? kxM ? 1 ? 2 2 1 ? 4k , 1 ? 4k 2 .
yM ? 2 1 ?? xM k

k BM ?

所以



所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 .

?4k k ? ? 2k ? 0 2 2 即 1 ? 4k 1 ? 4k .
又因为 k ? 0 ,

所以

k2 ?

2 1 k?? 4 . 8 .所以

………………………………13 分

(20) (共 13 分) 解: ) a4 ? a2 ? a1 ? 1 ; (Ⅰ
a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ )假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an .

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则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 则

a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1? 2T ? a4(n?t )?1 ? 0



与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 则 a2n?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . (Ⅲ )若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n ? N0 ,有 an?T ? an . 与(Ⅱ )同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 当 4n ? 1 ? N0 时,有

a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1? 2T ? a4(n?t )?1 ? 0



与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 当 n ? N0 时,有 a2n?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数. ……………………………………………………13 分

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