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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文


第四节 基本不等式: a+b ab≤ (a,b∈R+) 2 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大?小?值问题. 知识梳理 一、算术平均数与几何平均数的概念 a+b 若 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数是 ,几何平均数是 ab. 2 二、常用的重要不等式和基本不等式 1.若 a∈R,则 a2≥0,|a|≥0(当且仅当 a=0 时取等号). 2.若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取等号). 3.若 a,b∈R+,则 a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时取等号). a2+b2 ?a+b?2 4.若 a,b∈R+,则 ≥ 2 ? 2 ? (当且仅当 a=b 时取等号). 三、均值不等式(基本不等式) a+b 两个正数的均值不等式:若 a,b∈R+,则 ≥ ab(当且仅当 a=b 时取等号). 2 变式: ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R+). 四、最值定理 设 x>0,y>0,由 x+y≥2 xy,有: (1)若积 xy=P(定值),则和 x+y 最小值为 2 P. S?2 (2)若和 x+y=S(定值),则积 xy 最大值为? ?2? . 即积定和最小,和定积最大. 运用最值定理求最值应满足的三个条件:“一正、二定、三相等”. 五、比较法的两种形式 第 1 页 共 4 页 一是作差,二是作商. 基础自测 1 1. (2012· 深圳松岗中学模拟)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=n 处有最小值, 则 n=( x-2 A.1+ 2 C.4 B.1+ 3 D.3 ) 1 1 1 +2≥2 ?x-2?· +2=4,当且仅当 x-2= ,即 x-2 x-2 x-2 x-2 =1,x=3 时,f(x)有最小值.故选 D. 解析:f(x)=x-2+ 答案:D 为( 2.(2013· 广州二模)已知 0<a<1,0<x≤y<1,且 logax· logay=1,那么 xy 的取值范围 ) A.(0,a2] 1 C.(0, ] a B.(0,a] 1 D.(0 2] a 解析:因为 0<a<1,0<x≤y<1,所以 logax>0,logay>0, 所以 logax+logay=loga(xy)≥2 logax· logay=2,当且仅当 logax=logay=1 时取等号.所 2 以 0<xy≤a .故选 A. 答案:A 3.(2012· 合肥重点中学联考)若直线 2ax-by+2=0(a,b>0)始终平分圆 x2+y2+2x-4y 1 1 +1=0 的周长,则 + 的最小值是________. a b 答案:4 1 4.当 x>2 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. x-2 解析:因为 x+ 1 ≥a 恒成立, x-2 1 所以 a 必须小于或等于 x+ 的最小值. x-2 第 2 页 共 4 页 因为 x>2,所以 x-2>0. 1 1 所以 x+ =(x-2)+ +2≥4. x-2 x-2 所以 a≤4. 答案:(-∞,4] 1.(2013· 福建卷)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) B.[-2,0] D.(-∞,-2] ) 解析:因为 1=2x+2y≥2 2x×2y,即 2x y≤2 2,又因为 2x y 是增函数,所以 x+y≤- 2,当且仅当 2x=2y,即 x=y 时取等号. + - + 答案:D 2.某车间分批生产某种产品,每

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