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【人教a版】高中数学:第二章2.1-2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用

第二章 2.1 2.1.2 基本初等函数(Ⅰ) 指数函数 指数函数及其性质 指数函数及其性质的应用 第 2 课时 A级 基础巩固 一、选择题 ?1?-1 ? ? 1.若 a=20.7,b=20.5,c=? ? ,则 a,b,c 的大小关系是( ?2? A.c>a>b C.a>b>c B.c>b>a D.b>a>c ) ?1?-1 ? ? 解析:由 y=2x 在 R 上是增函数,知 1<b<a<2,c=? ? =2,故 c>a>b. 2 ? ? 答案:A 2.已知函数 f(x)=ax(0<a<1),对于下列命题:①若 x>0,则 0<f(x)<1;② 若 x<1,则 f(x)>a;③若 f(x1)>f(x2),则 x1<x2.其中正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ) 解析:根据指数函数的性质知①②③都正确. 答案:D 3.要得到函数 y=23-x 的图象,只需将函数 ?1?x ? ? y=? ? 的图象( ?2? ) A.向右平移 3 个单位 B.向左平移 3 个单位 C.向右平移 8 个单位 D.向左平移 8 个单位 ?1?x-3 ?1?x ? ? ? ? 解析:因为 y=23-x=? ? ,所以 y=? ? 的图象向右平移 3 个单位得到 ?2? ?2? y=23-x 的图象. 答案:A 4.设函数 f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1),若 f(2)=4,则( A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 解析:f(2)=a-2=4,a= 答案:A ?1?x ? ? ?? ?2? -3,x≤0, 5. 设函数 f(x)=?? ? 已知 f(a)>1, 则实数 a 的取值范围是( ? ?x2,x>0. A.(-2,1) C.(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 1 B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2) ?1?-|x| ? ? ,f(x)=? ? =2|x|,则 f(-2)>f(-1). 2 2 ? ? ) ) ?1?a ? ? 解析:当 a≤0 时,因为 f(a)>1,所以? ? -3>1,解得 a<-2;当 a>0 时, ?2? a2>1,解得 a>1.故实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 答案:B 二、填空题 6.将函数 y=3x 的图象向右平移 2 个单位即可得到函数________的图象. 解析: 将函数 y=3x 的图象向右平移 2 个单位即可得到函数 y=3x-2 的图象. 答案:y=3x-2 7.指数函数 y=2x-1 的值域为[1,+∞),则 x 的取值范围是________. 解析:由 2x-1≥1 得 x-1≥0,即 x≥1.所以 x 的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞) 8.若函数 f(x)=a- 为奇函数,则实数 a=________. 2x+1 1 解析:因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即 a- 1 = 0 ,解得 a = . 20+1 2 1 2 1 答案: 三、解答题 9.求函数 y=3x2-4x-3 的单调递增、单调递减区间. 解:令 t=x2-4x+3,则 y=3t. (1)当 x∈[2,+∞)时,t=x2-4x+3 是关于 x 的增函数,而 y=3t 是 t 的增 函数 ,故 y=3x2-4x-3 的单调递增区间是[2,+∞). (2)当 x∈(-∞,2]时,t=x2-4x+3 是关于 x 的减函数,而 y=3t 是 t 的增 函数,故 y=3x2-4x-3 的单调递减区间是(-∞,2]. 10.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存 2 KB,然后每 3 min 自身复制一次,复制后所占据内存是原来的 2 倍,那么开机后,该病毒占据 64 MB(1 MB=210 KB)内存需要经过的时间为多少分钟? 解:设开机 x min 后,该病毒占据 y KB 内存, x 由题意,得 y=2×23=2 +1. 3 x x 令 y=2 +1=64×210, 3 又 64×210=26×210=216, x 所以有 +1=16,解得 x=45. 3 答:该病毒占据 64 MB 内存需要经过的时间为 45 min. B级 能力提升 ) 1.函数 y=-ex 的图象( A.与 y=ex 的图象关于 y 轴对称 B.与 y=ex 的图象关于坐标原点对称 C.与 y=e-x 的图象关于 y 轴对称 D.与 y=e-x 的图象关于坐标原点对称 解析:y=ex 的图象与 y=e-x 的图象关于 y 轴对称,y=-ex 的图象与 y=e -x 的图象关于原点对称. 答案:D 2.设 0<a<1,则使不等式 ax2-2x+1>ax2-3x+5 成立的 x 的集合是 ________. 解析:因为 0<a<1,所以 y=ax 为减函数, 因为 ax2-2x+1>ax2-3x+5,所以 x2-2x+1<x2-3x+5, 解得 x<4,故使条件成立的 x 的集合为(-∞,4). 答案:(-∞,4) -2x+a 3.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x 是奇函数. 2 +1 (1)求实数 a 的值; (2)用定义证明:f(x)在 R 上是减函数. (1)解:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 令 x=0,则 f(0)=0, a-1 1-2x 即 =0?a=1,所以 f(x)= . 2 1+2x 1-2x 2 (2)证明:由(1)知 f(x)= =- 1 + , 1+2x 2x+1 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)= 即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在 R 上是减函数.

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