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2.1《离散型随机变量的分布列》(新人教选修2-3)


2.1.2离散型随机变 量的分布列(1)

一、复习引入:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,(或随着
试验结果变化而变化的变量),那么这样的变量叫做随机 变量. 随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。

1. 随机变量

2、离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离 散型随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切 值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.

在随机试验掷一枚骰子中,我们可以定义一个随机 变量X , X 的值分别对应试验所得的点数. X 取每个值的概率分别是多少? 解:X的取值有1、2、3、4、5、6
1 1 P ( X ? 2) ? 则 P ( X ? 1) ? 6 6 1 1 P ( X ? 4) ? P ( X ? 5) ? 6 6 1 P ( X ? 3) ? 6 1 P ( X ? 6) ? 6

列成 X 1 2 3 4 5 表的 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 形式 该表不仅列出了随机变量X的所有取值. 而且列出了X的每一个取值的概率.

6
1 6

分布列

若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数, 请把X取不同值的概率填入下表,并求判断下列事件发生 的概率是多少? (1){X是偶数};(2) {X<3};
X
P

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 解:P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) ? 2 1 P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) ? 3

离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为: x1,x2,…,xi,…,xn X取每一个xi (i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表:
X P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … …

为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 有时为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=Pi i=1,2,…,n 来表示X的分布列

离散型随机变量的分布列应注意问题:
X
P

x1
P1

x2
P2




xi
Pi




1、分布列的构成: (1)列出了离散型随机变量X的所有取值; (2)求出了X的每一个取值的概率; 2、分布列的性质:

(1)pi ? 0, i ? 1, 2, ? ? ?

(2) pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1 ?
i ?1

n

2.概率分布还经常用图象来表示.可以看出 ? 的取值 范围{1,2,3,4,5,6}, p 0.2 它取每一个值的概 1 率都是 。
0.1

6
1 2 3 4 5 6 7 8

O

?

(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。 (2)函数可以用解析式、表格或图象表示,离散型随 机变量可以用分布列、等式或图象来表示。

例1、随机变量X的分布列为
X P -1 0.16 0 a/10 1 a2 2 a/5 3 0.3

(1)求常数a;(2)求P(1<X<4)

解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有

a a 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 10 5
9 3 a 解得: ? ? (舍)或 a ? 10 5
(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42

课堂练习:
1、某一射手射击所得环数 ? 分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

0.88 则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______

例2、在掷一枚图钉的随机试验中,令

?1,针尖向上 X ?? ?0,针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列。 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p),于是, 随机变量X的分布列是
X P 0 1-p 1 p

像上面这样的分布列称为两点分布列。

如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称 X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。

课堂练习:
1、设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量 去 描述1次试验的成功次数,则失败率p等于( C ) A.0 B.

?

1 2

C. 1 3
?

2 D. 3
2 3

2、判断以下分布列是否为两点分布?
P 0.2 0.8

说明:两点分布可以用来研究只有两个结果的随机试验 的概率分布规律,也可以用来研究某一随机事件是否发 生的概率分布规律。

思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。 解:因为同时取出3个球,故X的取值只能是1,2,3 当X=1时,其他两球可在剩余的4个球中任选
2 C4 3 故其概率为 P ( X ? 1) ? 3 ? C5 5

当X=2时,其他两球的编号在3,4,5中选,
2 C3 3 故其概率为 P ( X ? 2) ? 3 ? C5 10

当X=3时,只可能是3,4,5这种情况,

1 概率为 P ( X ? 3) ? 10

思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。

∴随机变量X的分布列为

X P

1

2

3

3 5

3 10

1 10

求离散型随机变量分布列的基本步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值xi (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi (3)列出表格

定值

求概率

列表

练习3、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球 除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到 黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1

1 2 1 ? P ( X ? 1) ? , P ( X ? 0) ? ? , 6 6 3 3 1 P ( X ? ?1) ? ? 6 2
∴从袋子中随机取出一球

X P

1

0

-1

所得分数X的分布列为:

1 6

1 3

1 2

先思考一个例子: 思考 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,求取到的次品数 X 的分布列.
解:∵ X 的可能取值为 0,1,2,3. k 3 C5 C95? k 又∵ P ( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2, 3) 3 C100 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 C5 C95 C 5 C 95 C 5 C 95 C 5 C 95 P 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100

超几何分布: 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任 取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发

C C 生的概率为 P ( X ? k ) ? C

k M

其中 m ? min? M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * . 称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机 变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n

n? k N ?M n N

(k ? 0,1, 2,? , m )

例 3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏, 在一 个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球,这些球除颜色 外完全相同.游戏者一次从中摸出 5 个球.至少摸到 3 个红球就中奖,求中奖的概率.
解:设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几何分 布,其中 N ? 30, M ? 10, n ? 5 ,于是由超几何分布 模型得中奖的概率 P( X ≥ 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)
3 2 4 1 5 0 C10C20 C10C20 C10C20 ≈0.191 ? ? ? 5 5 5 C30 C30 C30

若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右,应如何设计 中奖规则? 至少摸到2个红球就中奖.

小结:
一、随机变量的定义: 二、随机变量的分类: 三、随机变量的分布列:
1、分布列的性质:

(1)pi ? 0, i ? 1, 2, ? ? ?

(2) pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1 ?
i ?1

n

2、求分布列的步骤:

定值

求概率

列表

课堂练习:
1、随机变量 ? 的所有等可能取值为 1, 2,3,…, n , 若 P ?? ? 4 ? ? 0.3 ,则( A. n ? 3 B. n ? 4

C

) D.不能确定

C. n ? 10

作业:
课本P49 A组第1、5题


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