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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式习题 理 选修4-5


选修 4-5
[基础达标]

不等式选讲 第一节

绝对值不等式

一、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若不等式 A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则 A∩B=

.

【解析】解不等式|3x+2|>1 得 3x+2<-1 或 3x+2>1,解得 x<-1 或 x>- ,

则 A=

;解不等式|x-2|≤3 得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则 B={x|-

1≤x≤5},所以 A∩B=

.

2. (2015·肇庆统测) 不等式|x-2|+|x+1|≤5 的解集为

.

[-2,3] 【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5? 得-2≤x<-1 或-1≤x≤2 或 2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5 的解集为[-2,3].



3. (2015·重庆巴蜀中学三诊) 已知关于 x 的不等式|x+2|+|x-2|≤a 解集为空集,则 a 的取 值范围为

2

.
2

(-2,2) 【解析】由关于 x 的不等式|x+2|+|x-2|≤a 解集为空集,得关于 x 的不等式

|x+2|+|x-2|>a2 解集为 R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以 a2<4,-2<a<2.
4.若关于 x 的不等式|x-a|+|x-1|≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

【解析】由题意可得 (|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,

则 a-1≤-a,a≤ .

5. (2015·长沙三模) 若对于实数 x,y 有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值 为

.

7 【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为 7.

1

二、解答题(每小题 10 分,共 50 分) 6. (2015·江苏高考) 解不等式 x+|2x+3|≥2.

【解析】原不等式可化为

解得 x≤-5 或 x≥- .

综上,原不等式的解集是

.

7. (2015·东北三省四市二模) 设函数 f(x)=|2x+2|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集;

(2)若对于? x∈R,f(x)≥t - t 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

【解析】(1)f(x)=

当 x<-1 时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;

当-1≤x<2 时,3x>2,x> ,∴ <x<2;

当 x≥2 时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.

综上所述

.

(2)易得 f(x)min=f(-1)=-3,

若对于? x∈R,f(x)≥t2- t 恒成立,

则只需 f(x)min=-3≥t2- t? 2t2-7t+6≤0? ≤t≤2,综上所述 ≤t≤2.

2

8. (2015·河南实验中学质检) 设函数 f(x)=|x-1|+ |x-3|.

(1)求不等式 f(x)>2 的解集;

(2)若不等式 f(x)≤a

的解集非空,求实数 a 的取值范围.

【解析】(1)函数 f(x)=

方程 f(x)=2 的根为 x1= ,x2=3,

由函数 f(x)的图象知 f(x)>2 的解集为

.

(2)设 g(x)=a

,g(x)表示过点

,斜率为 a 的直线,

f(x)≤a
点,

的解集非空,即 y=f(x)的图象在 g(x)图象下方有图象,或与 g(x)图象有交

由图象可知 a<- 或 a≥ .

9.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且 f(x)≥m 恒成立. (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式|x-3|-2x≤2m-8.

3

【解析】(1)f(x)=

当- ≤x≤ 时,函数有最小值 6,所以 m≤6.

(2)当 m 取最大值 6 时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,

等价于

可得 x≥3 或- ≤x<3.

所以原不等式的解集为

.

10. (2015·抚顺模拟) 已知函数 f(x)=|x-1|+|x+a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4; (2)若 a>0,且? x∈R,f(x)≥5 恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=2 时,f(x)=|x-1|+|x+2|, 由 f(x)≥4 得|x-1|+|x+2|≥4.

当 x≤-2 时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为

.

当-2<x≤1 时,不等式化为 x+2-x+1≥4,其解集为? .

当 x>1 时,不等式化为 x+2+x-1≥4,其解集为

.

综上得 f(x)≥4 的解集为

.

(2)因为 a>0,

4

所以 f(x)=|x-1|+|x+a|=

因此 f(x)的最小值为 a+1,由 f(x)≥5 恒成立,即 a+1≥5 恒成立,解得 a≥4, 所以当 a>0 时,对于? x∈R,使 f(x)≥5 恒成立的 a 的取值范围是[4,+∞).

[高考冲关] 1.(5 分)集合 A=[1,5],集合 B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且 A? B,则实数 a 的取值范围 是

.

[9,+∞) 【解析】由题意可得当 x∈[1,5]时,关于 x 的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2 恒成立, 则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|= 时,|x+3|+|x-2|取得最大值 11,故 a+2≥11,解得 a≥9. 所以当 x=5

2.(5 分) (2015·重庆调研) 设函数 f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于 x 的不等式 f(x)≥ a2+1 对

x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

[-2,0] 【解析】当 <1,a<2 时,f(x)=

f(x)min=f

=-

a+1≥ a2+1,解得-2≤a≤0;当 >1,a>2 时,f(x)=

f(x)min=f
2,0].

a-1≥ a2+1,无解;当 a=2 时,不成立.综上可得实数 a 的取值范围是[-

3.(10 分) (2015·包头测试) 设函数 f(x)=|x-1+a|+|x-a|. (1)若 a≥2,x∈R,证明 f(x)≥3;
5

(2)若 f(1)<2,求 a 的取值范围.

【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|, 又 a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时 f(x)≥3. (2)f(1)=|a|+|1-a|, 当 a≤0 时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,

由 f(1)<2,得 1-2a<2,即- <a≤0;

当 0<a≤1 时,f(1)=a+(1-a)=1<2 恒成立,故 0<a≤1; 当 a>1 时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,

由 f(1)<2,得 2a-1<2,解得 1<a< .

综上 a 的取值范围是

.

4.(10 分) (2015·贵阳监测)(1)已知 a 和 b 是任意非零实数.证明:

≥4;

(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)- 恒成立,求实数 k 的取值范围.

【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,



≥4.

(2)记 h(x)=|2x+1|-|x+1|=

6

如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)- 恒成立,

则函数 h(x)的图象在直线 g(x)=k(x-1)- 的上方,又 g(x)的图象恒过定点

,

即 g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得 k∈

.

5.(10 分) (2015·银川二中二模) 已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,

∴-7<|x-1|<3,-2<x<4, ∴不等式|g(x)|<5 的解集为(-2,4).
(2)∵对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,

∴{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)},
又 f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,

g(x)=|x-1|+2≥2,
则|a+3|≥2, 解得 a≥-1 或 a≤-5, 即实数 a 的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).

7


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