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河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学(理)试题+Word版含答案


2017—2018 学年度上学期高三年级二调考试 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ? x | A. ?

? ?

1 1 ? ? ? ? 2 x ? 2? , B ? ? x | ln( x ? ) ? 0? ,则 A ? (?R B) ? ( 2 2 ? ? ?
B. ( ?1, ]



1 2

C. [ ,1)

1 2

D. (?1,1] )

2.已知 i 为虚数单位, z 为复数 z 的共轭复数,若 z ? 2 z ? 9 ? i ,则 z ? ( A. 1 ? i B. 1 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i

3.设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 则 S4 ? ( A.63 或 120 4. ( ? x )(1 ? A.1 ) B.256

an?1 ? 1 ,若 a3 ? a5 ? 20 , a3a5 ? 64 , an

C.120 ) C.3

D.63

2 x

x ) 4 的展开式中 x 的系数是(
B.2

D.12 )

5.已知 ?ABC 中, tan A(sin C ? sin B) ? cos B ? cos C ,则 ?ABC 为( A.等腰三角形 C.等腰三角形或 ?A ? 60? 的三角形 B. ?A ? 60? 的三角形 D.等腰直角三角形

6.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 ,a3 ,a15 成等比数列,若 a1 ? 1 ,Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 4



A. 3

C. 2 3 ? 2

D.

9 2

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体 积为( )

A.

8 3

B.

16 3

C.

32 3

D. 16

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ( a 为常数, x ? R )的图像关于直线 x ? 数 g ( x) ? sin x ? a cos x 的图像( A.关于直线 x ? C.关于点 ( ) B.关于点 (

?
6

对称,则函

?
3

对称

?
3

2? , 0) 对称 3

, 0) 对称

D.关于直线 x ?

?

6

对称

? ax ? y ? 2 ? 0, ? 9.设 a ? 0 , 若关于 x ,y 的不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的可行域与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 存 ? x ? 2 ? 0, ?
在公共点,则 z ? x ? 2 y 的最大值的取值范围为( A. ?8,10? B. (6, ??) ) D. [8, ??) ) ,其图像与直线 y ? ?1 相邻两个 )

C. (6,8]

10.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? 1 ( ? ? 1 , | ? |? 交点的距离为 ? ,若 f ( x) ? 1 对于任意的 x ? (? A. ?

?
2

, ) 恒成立,则 ? 的取值范围是( 12 3

? ?

?? ? ? , ?12 3 ? ?

B. ?

?? ? ? , ?12 2 ? ?

C. ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D. (

? ? , ] 6 2

11.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,当 x ? 0 时, f ( x ) 满足

2 f ( x) ? xf '( x) ? xf ( x) ,则 f ( x) 在 R 上的零点个数为(
A.5 B.3 C.1 或 3

) D.1

? x ln x ? 2 x, x ? 0, ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 3 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y ? ?1 x ? x, x ? 0 ? ? 2

的对称点在 y ? kx ? 1 的图像上,则实数 k 的取值范围是( A. ( ,1)

) D. ( , 2)

1 2

B. ( , )

1 3 2 4

C. ( ,1)

1 3

1 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
12 11 2? ? ? ? ) ? 2sin( ? ? ? ) ? 0 ,则 tan( ? ? ) ? . 5 10 5 ? ? ? ?? ? ? ? ? 14.已知锐角 ?ABC 的外接圆的半径为 1,?B ? ,则 BA ?BC 的取值范围为 6 n? | ?1) an ? 2n ,则数列 ?an ? 的前 100 项和为 15.数列 ?an ? 满足 an ?1 ? (2 | sin 2
13.已知 sin(

. .

16.函数 y ? f ( x) 图象上不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处切线的斜率分别是 k A , kB ,规 定 ? ( A, B) ?

| k A ? kB | ( | AB | 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与 B 之间的 | AB |

“弯曲度” ,给出以下命题: ①函数 y ? x3 ? x 2 ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ( A, B) ? 3 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A , B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ;
2

④设曲线 y ? e ( e 是自然对数的底数)上不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,
x

若 t ? ? ( A, B) ? 1 恒成立,则实数 t 的取值范围是 (??,1) . 其中真命题的序号为 . (将所有真命题的序号都填上)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.如图,在 ?ABC 中, ?B ?

?
3

, D 为边 BC 上的点, E 为 AD 上的点,且 AE ? 8 ,

AC ? 4 10 , ?CED ?

?
4



(1)求 CE 的长; (2)若 CD ? 5 ,求 cos ?DAB 的值. 18.如图所示, A , B 分别是单位圆与 x 轴、 y 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上,

?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ) , C 点坐标为 (?2, 0) ,平行四边形 OAQP 的面积为 S .

(1)求 OA ? OP ? S 的最大值; (2)若 CB / /OP ,求 sin(2? ?

??? ? ??? ?

?
6

) 的值.

19.已知数列 ?an ? 满足对任意的 n ? N * 都有 an ? 0 ,且

a13 ? a23 ? ?? an3 ? (a1 ? a2 ? ?? an )2 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?

1 1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,不等式 S n ? log a (1 ? a ) 对任意的正整数 n 恒成 3 ? an an? 2 ?

立,求实数 a 的取值范围. 20.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax , a ? R . 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? (a ? 1) x ? 1恒成立,求整数 a 的最小值. 21.已知函数 f ( x) ? axex ? (a ?1)( x ? 1)2 (其中 a ? R , e 为自然对数的底数,

e ? 2.718281 ?) .
(1)若函数 f ( x ) 仅有一个极值点,求 a 的取值范围; (2)证明:当 0 ? a ?

1 时,函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 ?3 ? x1 ? x2 ? ?2 . 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 ?

? x ? 2 cos ? , 1 ( ? 为参数)上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 , 2 ? y ? 2sin ?

得到曲线 C . (1)求曲线 C 的普通方程; (2)设 A , B 是曲线 C 上的任意两点,且 OA ? OB ,求 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a | , a ? R . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若存在 x0 满足 f ( x0 )? | x0 ? 2 |? 3 ,求 a 的取值范围.

1 1 ? 的值. 2 | OA | | OB |2

2017—2018 学年度上学期高三年级二调考试数学(理科)试卷答案 一、选择题
1-5: BDCCC 6-10: BBADC 11、12: DA

二、填空题
13. 2 14. (3,

3 ? 3] 2

15.5100

16.②③

三、解答题
17.解: (1)因为 ?AEC ? ? ?

?
4

?

3? ,在 ?AEC 中,由余弦定理得 4

AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE cos ?AEC ,
所以 160 ? 64 ? CE ? 8 2CE ,
2

所以 CE ? 8 2CE ? 96 ? 0 ,
2

所以 CE ? 4 2 . (2)在 ?CDE 中,由正弦定理得 所以 5sin ?CDE ? 4 2 ? 所以 sin ?CDE ?

CE CD ? , sin ?CDE sin ?CED

2 , 2

4 . 5

因为点 D 在边 BC 上,所以 ?CDE ? ?B ?

?
3





4 3 ? , 5 2

所以 ?CDE 只能为钝角, 所以 cos ?CDE ? ?

3 , 5

所以 cos ?DAB ? cos(?CDE ?

?
3

) ? cos ?CDE cos

?
3

? sin ?CDE sin

?
3

3 1 4 3 4 3 ?3 ?? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

18.解: (1)由已知得 A , B , P 的坐标分别为 (1, 0) , (0,1) , (cos ? ,sin ? ) ,因为四边形

OAQP 是平行四边形,
所以 OQ ? OA ? OP ? (1,0) ? (cos? ,sin ? ) ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , 所以 OA ? OQ ? 1 ? cos? , 又因为平行四边形 OAQP 的面积为 S ?| OA | ? | OP | sin ? ? sin ? , 所以 OA ? OQ ? S ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 又因为 0 ? ? ? ? , 所以当 ? ?

????

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ? ????

2 sin(? ? ) ? 1 . 4

?

?
4

时, OA ? OQ ? S 的最大值为 2 ? 1 .

??? ? ????

(2)由题意知, CB ? (2,1) , OP ? (cos? ,sin ? ) , 因为 CB / /OP ,所以 tan ? ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 0 ? ? ?

??? ?

??? ?

1 , 2

?

2



2 2 由 cos ? ? 2sin ? , cos ? ? sin ? ? 1 ,

得 sin ? ?

2 5 5 , cos ? ? , 5 5
4 3 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? , 5 5

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 所以 sin(2? ?

?
6

) ? sin 2? cos

?
6

? cos 2? sin

?

4 3 3 1 4 3 ?3 ? ? ? ? ? . 6 5 2 5 2 10

19.解: (1)由于 a13 ? a23 ? ?? an3 ? (a1 ? a2 ? ?? an )2 ,① 则有 a13 ? a23 ? ?? an3 ? an?13 ? (a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 )2 ,② ②—①,得 an?1 ? (a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 ) ? (a1 ? a2 ? ?? an ) ,
3 2 2

由于 an ? 0 ,所以 an?1 ? 2(a1 ? a2 ? ?? an ) ? an?1 ,③
2

同样有 an ? 2(a1 ? a2 ? ?? an?1 ) ? an (n ? 2) ,④
2

③—④,得 an?1 ? an ? an?1 ? an ,
2 2

所以 an?1 ? an ? 1 ( n ? 2 ) . 由 a13 ? a12 , a13 ? a23 ? (a1 ? a2 )2 ,得 a1 ? 1 , a2 ? 2 . 由于 a2 ? a1 ? 1 ,即当 n ? 1 时都有 an?1 ? an ? 1 , 所以数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an ? n . (2)由(1)知 an ? n , 则

1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? an an ? 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2

所以 Sn ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? a1a3 a2 a4 a3a5 an ?1an ?1 an an ? 2

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ( ? ) 2 3 2 2 4 2 3 5 2 n ?1 n ? 1 2 n n ? 2 1 1 1 1 3 1 1 1 ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ). 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2

因为 Sn ?1 ? Sn ?

1 ? 0, (n ? 1)(n ? 3)
1 . 3

所以数列 ?Sn ? 单调递增,所以 ( S n ) min ? S1 ? 要使不等式 S n ?

1 1 1 log a (1 ? a ) 对任意正整数 n 恒成立,只要 ? log a (1 ? a) . 3 3 3 因为 1 ? a ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 , 1 所以 1 ? a ? a ,即 0 ? a ? . 2 1 所以,实数 a 的取值范围是 (0, ) . 2
20.解: (1) f '( x) ?

1 1 ? ax 2 ? ax ? , x x

函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在区间 (0, ??) 内单调递增; 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,则 x ?

1 1 或? (舍去负值) , a a

当0 ? x ?

1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数, a

当x?

1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数. a

所以当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, (2)由 ln x ?

1 1 ) ,单调递减区间为 ( , ??) . a a

1 2 ax ? (a ? 1) x ? 1 ,得 2(ln x ? x ? 1) ? a(2x ? x2 ) , 2 2(ln x ? x ? 1) 因为 x ? 0 ,所以原命题等价于 a ? 在区间 (0, ??) 内恒成立. x2 ? 2x
令 g ( x) ?

2(ln x ? x ? 1) ?2( x ? 1)(2ln x ? x) ,则 g '( x) ? , 2 x ? 2x ( x 2 ? 2 x) 2

令 h( x) ? 2ln x ? x ,则 h( x) 在区间 (0, ??) 内单调递增,

1 1 ?0, 2 2 1 所以存在唯一 x0 ? ( ,1) ,使 h( x0 ) ? 0 ,即 2ln x0 ? x0 ? 0 , 2
由 h(1) ? 1 ? 0 , h( ) ? ?2 ln 2 ? 所以当 0 ? x ? x0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 为增函数, 当 x ? x0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 为减函数, 所以 x ? x0 时, g ( x)max ?

2(ln x0 ? x0 ? 1) x0 ? 2 1 1 ? ? ,所以 a ? , 2 x0 ? 2 x0 x0 ( x0 ? 2) x0 x0

又 x0 ? ( ,1) ,则

1 2

1 ? (1, 2) , x0

因为 a ? Z ,所以 a ? 2 , 故整数 a 的最小值为 2. 21.解: (1) f '( x) ? ae ? axe ? 2(a ?1)( x ? 1) ? ( x ? 1)(ae ? 2a ? 2) ,
x x x

由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 ae ? 2a ? 2 ? 0 (*) .
x

由于 f ( x ) 仅有一个极值点, 所以关于 x 的方程(*)必无解. ①当 a ? 0 时, (*)无解,符合题意;

x ②当 a ? 0 时,由(*)得 e ?

故由

2a ? 2 ? 0 ,得 0 ? a ? 1 . a

2a ? 2 , a

由于这两种情况都有当 x ? ?1 时,f '( x) ? 0 , 于是 f ( x ) 为减函数, 当 x ? ?1 时,f '( x) ? 0 , 于是 f ( x ) 为增函数,所以仅 x ? ?1 为 f ( x ) 的极值点. 综上可得 a 的取值范围是 ?0,1? .

1 时, x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点, 2 2a 2 1 又因为 f (?2) ? ? 2 ? (a ? 1) ? (? 2 ? 1)a ? 1 ? 0 对于 0 ? a ? 恒成立, e e 2 a 1 f (?1) ? ? ? 0 对于 0 ? a ? 恒成立, e 2 1 f (0) ? ?(a ? 1) ? 0 对于 0 ? a ? 恒成立, 2
(2)证明:由(1)得,当 0 ? a ? 所以当 ?2 ? x ? ?1 时, f ( x ) 有一个零点 x1 , 当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x ) 有另一个零点 x2 , 即 ?2 ? x1 ? ?1 , ?1 ? x2 ? 0 且 f ( x1 ) ? ax1e 1 ? (a ?1)( x1 ? 1)2 ? 0 ,
x

, f ( x2 ) ? ax2ex2 ? (a ?1)( x2 ?1)2 ? 0 (**) 所以 ?3 ? x1 ? x2 ? ?1 . 下面再证明 x1 ? x2 ? ?2 ,即证 x1 ? ?2 ? x2 , 由 ?1 ? x2 ? 0 ,得 ?2 ? ?2 ? x2 ? ?1 , 由于 x ? ?1 时, f ( x ) 为减函数, 于是只需证明 f ( x1 ) ? f (?2 ? x2 ) ,也就是证明 f (?2 ? x2 ) ? 0 ,

f (?2 ? x2 ) ? a(?2 ? x2 )e?2?x2 ? (a ?1)(?x2 ?1)2 ? a(?2 ? x2 )e?2? x2 ? (a ?1)( x2 ?1)2 ,
借助(**)式代换可得
?2 ? x2 ? x2e x2 ? f (?2 ? x2 ) ? a(?2 ? x2 ) ? e?2?x2 ? ax2ex2 ? a ? ?(?2 ? x2 )e ?,

令 g ( x) ? (?2 ? x)e

?2? x

? xe x (?1 ? x ? 0) ,

则 g '( x) ? ( x ? 1)(e?2? x ? e x ) , 因为 h( x) ? e?2? x ? e x 在区间 (?1, 0) 内为减函数,且 h(?1) ? 0 , 所以 g '( x) ? ( x ? 1)(e?2? x ? e x ) ? 0 在区间 (?1, 0) 内恒成立,于是 g ( x) 在区间 (?1, 0) 内为 减函数, 即 g ( x) ? g (?1) ? 0 , 所以 f (?2 ? x2 ) ? 0 ,这就证明了 x1 ? x2 ? ?2 . 综上所述, ?3 ? x1 ? x2 ? ?2 . 22.解: (1)设 ( x1 , y1 ) 为圆上的任意一点,在已知的变换下变为 C 上的点 ( x, y ) ,则有

? x ? x1 , ? ? 1 y ? y1. ? 2 ?
因为 ?

? x1 ? 2 cos ? , ? x ? 2 cos ? , x2 ? y 2 ? 1. ( ? 为参数) ,所以 ? ( ? 为参数) ,所以 y ? 2sin ? 4 ? 1 ? y ? sin ?

(2)以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,在极坐标系中,曲线 C 的 普通方程化为极坐标方程得 设 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 , ? ?

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1 .

?
2

) ,则 | OA |? ?1 , | OB |? ?2 ,
2

cos 2 (? ? ) 1 1 1 1 cos ? 2 2 ? sin 2 (? ? ? ) ? 5 . ? ? 2? 2 ? ? sin ? ? 则 2 2 | OA | | OB | ?1 ?2 4 4 2 4
23.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| . 由 f ( x) ? 5 ,得 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? 5 . 当 x ? 2 时,不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ? 2 ;

?

1 ? x ? 2 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ?? ; 2 1 4 4 当 x ? ? 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? . 2 3 3
当?

故原不等式的解集为 ? x | x ? ? (2)

? ?

4 ? 或x ? 2? . 3 ?

f ( x)? | x ? 2 |? 2 | x ? 2 | ? | 2 x ? a |?| 2 x ? 4 | ? | 2 x ? a | ?| 2 x ? a ? (2 x ? 4) |?| a ? 4 | ,
因为原命题等价于 ? f ( x)? | x ? 2 |?min ? 3, 所以 | a ? 4 |? 3 ,所以 ?7 ? a ? ?1 .


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