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三角函数公式大全 2


三角函数公式大全 一谜槢痌激乼 2014-11-28 优质解答 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α ) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α )+cos^2(α )=1 tan α *cot α =1 一个特殊公式 (sina+sinθ )*(sina-sinθ )=sin(a+θ )*sin(a-θ ) 证明:(sina+sinθ )*(sina-sinθ )=2 sin[(θ +a)/2] cos[(a-θ )/2] *2 cos[(θ +a)/2] sin[(a-θ )/2] =sin(a+θ )*sin(a-θ ) 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母 i 表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如 i=1:5.如果把坡面与水 平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦: sin α =∠α 的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α =∠α 的邻边/∠α 的斜边 正切:tan α =∠α 的对边/∠α 的邻边 余切:cot α =∠α 的邻边/∠α 的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA?cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即 Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切
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tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A)) 三倍角公式 sin3α =4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3a = tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos?a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin?a) =4sina[(√3/2)?-sin?a] =4sina(sin?60°-sin?a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a) /2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos?a-3/4) =4cosa[cos?a-(√3/2)^2] =4cosa(cos?a-cos?30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 现列出公式如下: sin2α =2sinα cosα tan2α =2tanα /(1-tan^2(α )) co s2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) 可别轻视这些字符, 它们在数学学习中会起到重要作用.包括一些图像问题和函数问题中 三倍角公式 sin3α =3sinα -4sin^3(α )=4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α = 4cos^3(α )-3cosα =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3α =tan(α )*(-3 +tan(α )^2)/(-1+3*tan(α )^2)=tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a)
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半角公式 sin^2(α /2)=(1-cosα )/2 cos^2(α /2)=(1+cosα )/2 tan^2(α /2)=(1-co sα )/(1+cosα ) tan(α /2)=sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2( α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2 (α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 其他 sinα +sin(α +2π /n)+sin(α +2π *2/n)+sin(α +2π *3/n)+……+sin[α +2 π *(n-1)/n]=0 cos α +cos( α +2 π /n)+cos( α +2 π *2/n)+cos( α +2 π *3/n) +……+cos[α +2π *(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α )+sin^2(α -2π /3)+sin^2(α +2 π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) ta n4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A =tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^ 5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式 sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56* cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+ta nA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式 sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+ (160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA ^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角公式 sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9 A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA* (9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84* tanA^6+9*tanA^8) 十倍角公式 sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20* sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304 *cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^ 6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) N 倍角公式 根据棣美弗定理,(cosθ + i sinθ )^n = cos(nθ )+ i sin(nθ ) 为方便描 述,令 sinθ =s,cosθ =c 考虑 n 为正整数的情形: cos(nθ )+ i sin(nθ ) = (c + i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s) ^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^
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(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部 实部:cos(nθ )=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部):i*s in(nθ )=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n -5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数 n, 1. cos(nθ ): 公式中出现的 s 都是偶 次方,而 s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以 c(也就是 cosθ )表示. 2. sin(nθ ): (1)当 n 是奇数时: 公式中出现的 c 都是偶次方,而 c^2=1-s^2(平 方关系),因此全部都可以改成以 s(也就是 sinθ )表示. (2)当 n 是偶数时: 公 式中出现的 c 都是奇次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成 s,都至 少会剩 c(也就是 cosθ )的一次方无法消掉. (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5= c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 和差化积 sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式 tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα tanβ ) cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ 积化和差 sinα sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )] /2 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )]/2 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )]/2 双曲函数 sh a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα tan(2kπ +α )= tanα
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cot(2kπ +α )= cotα 公式二: 设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα 公式三: 任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )= -sinα cos(-α )= cosα tan(-α )= -tanα cot(-α )= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )= cosα cos(π /2+α )= -sinα tan(π /2+α )= -cotα cot(π /2+α )= -tanα sin(π /2-α )= cosα cos(π /2-α )= sinα tan(π /2-α )= cotα cot(π /2-α )= tanα sin(3π /2+α )= -cosα cos(3π /2+α )= sinα tan(3π /2+α )= -cotα cot(3π /2+α )= -tanα sin(3π /2-α )= -cosα cos(3π /2-α )= -sinα tan(3π /2-α )= cotα cot(3π /2-α )= tanα (以上 k∈Z)
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A?sin(ω t+θ )+ B?sin(ω t+φ ) = √{(A? +B? +2ABcos(θ -φ )} ? sin{ ω t + arcsin[ (A?sinθ +B?sin φ ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ -φ )} } √表示根号,包括{……}中的内容 三角函数的诱导公式(六公式) 公式一 sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (-α )=-tanα 公式二 sin(π /2-α ) = cosα cos(π /2-α ) = sinα 公式三 sin(π /2+α ) = cosα cos(π /2+α ) = -sinα 公式四 sin(π -α ) = sinα cos(π -α ) = -cosα 公式五 sin(π +α ) = -sinα cos(π +α ) = -cosα 公式六 tanA= sinA/cosA tan(π /2+α )=-cotα tan(π /2-α )=cotα tan(π -α )=-tanα tan(π +α )=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+(tan(α /2))?] cosα =[1-(tan(α /2))?]/[1+(tan(α /2))?] tanα =2tan(α /2)/[1-(tan(α /2))?] 其它公式 (1) (sinα )^2+(cosα )^2=1(平方和公式) (2)1+(tanα )^2=(secα )^2 (3)1+(cotα )^2=(cscα )^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα )^2,第二个除(cosα )^2 即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π -C tan(A+B)=tan(π -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ -tanC)/(1+tanπ tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=nπ (n∈Z)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
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(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2 幂级数展开式 sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞) cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞) arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) 无限公式 sinx=x(1-x^2/π ^2)(1-x^2/4π ^2)(1-x^2/9π ^2)…… cosx=(1-4x^2/π ^2)(1-4x^2/9π ^2)(1-4x^2/25π ^2)…… tanx=8x[1/(π ^2-4x^2)+1/(9π ^2-4x^2)+1/(25π ^2-4x^2)+……] secx=4π [1/(π ^2-4x^2)-1/(9π ^2-4x^2)+1/(25π ^2-4x^2)-+……] (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8…… (1/4)tanπ /4+(1/8)tanπ /8+(1/16)tanπ /16+……=1/π arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) 和自变量数列求和有关的公式 sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2) tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+ …… +sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x +……+cosnx) sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx) 编辑本段 内容规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会 发现三角函数各个公式之间有强大的联系.而掌握三角函数的内部规律及本质也 是学好三角函数的关键所在. 1.三角函数本质: [1] 根据右图,有 sinθ =y/ r; cosθ =x/r; tanθ =y/x; cotθ =x/y. 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来 ,比如 以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交 X 轴于 C,D,在单位圆上有任意 A,B 点.角 AOD 为α ,BOD 为β , 旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合,形成新 A'OD. A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),A'(cos(α -β ),sin(α -β ))
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OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α -β )-1]^2+[sin(α -β )]^2=(cosα -cosβ )^2+(sinα -sinβ )^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2 与(a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义 在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位 圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义 ,而不只是对于在 0 和 π /2 弧度之间的角.它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了. 根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角 .逆时针方向的度量是正角 ,而顺 时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ ,并与单 位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ .图象中的三角 形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为 1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1 的 一种查看无限个三角形的方式. 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 神降 6dm 2014-11-28

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