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2016届河北省衡水中学高三下学期六调考试数学(理)试题(A卷)


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
1 ? 2i 的共轭复数是( 2?i 3i 3i A. B. ? 5 5
1.复数 2.已知集合 A ? ? x ? R

共 60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意)
) C. i D. ?i

?

?

x?4 ? ? 0? , B ? x ? R ? x ? 2a ? ? x ? a 2 ? 1? ? 0 ,若 A ? B ? ? , x ?1 ?
) C. ?1? ? ? 2, ?? ? D. ?1, ?? ?

?

?

则实数 a 的取值范围是( A. ? 2, ???

B. ?2, ???

3.某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 k : 5 : 3 ,现用分层 抽样方法抽出一个容量为 120 的样本,已知 A 种型号产品共抽取了 24 件,则 C 种型号产品 抽取的件数为( A.24 4.如图给出的是计算 件是( A. i ? 8? ) B. i ? 9? C. i ? 10 ? D. i ? 11? ) B.30 C.36 D.40

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条 2 4 6 20

5.已知把函数 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x 的图像向右平移

? 个单位,再把横坐标扩大到原来 4


的 2 倍,得到函数 g ? x ? ,则函数 g ? x ? 的一条对称轴为(

A. x ?

?
6

B. x ?

7? 6

C. x ?

?
12

D. x ?

5? 6

6.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ? 2n?1 ? k ,则 f ? x ? ? x3 ? kx2 ? 2x ?1 的极大值 为( A.2 ) B.3 C.

7 2

D.

5 2

7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成 一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( A.48 种 8. 已知椭圆 B.72 种 C.78 种 ) D.84 种

x2 x2 x2 x2 ? ? 1 的左、 右焦点 F1 , F2 与双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点重合. 且 a b 16 7

直线 x ? y ? 1 ? 0 与双曲线右支相交于点 P ,则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为 (
2



x2 ?1 A. x ? 8

x2 x2 ? ?1 B. 6 3

x2 x2 ? ?1 C. 7 2

x2 x2 ? ?1 D. 5 4

9.一个长方体的四个顶点构成一个四面体 EFHG ,在这个长方体中把四面体 EFHG 截出 如图所示,则四面体 EFHG 的侧视图是( )

A.

B.
3 2

C.

D.

10. 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 1 的对称中心的横坐标为 x0 ? x0 ? 0? , 且 f ? x ? 有三个零点, 则实数 a 的取值范围是( A. ? ??,0? ) C. ? 0, ??? D. ? ??, ?1?

? 33 2 ? B. ? ??, ? ? ? 2 ? ? ?

11 .已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PA ? AB ? 2 , AC ? 1 ,

?BAC ? 120? ,且 PA ? 平面 ABC ,则球 O 的表面积为(
A.



40? 3

B.

50? 3

C. 12?

D. 15?

12. 已知函数 f ? x ? ? ?

?kx ? 1, x ? 0, 下列是关于函数 y ? f ? f ? x ?? ?1 的零点个数的四种判 ?log 2 x, x ? 0,

断:①当 k ? 0 时,有 3 个零点;②当 k ? 0 时.有 2 个零点;③当 k ? 0 时,有 4 个零点; ④当 k ? 0 时,有 1 个零点.则正确的判断是( A.③④ B.②③ ) D.①②

C.①④

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸的横线上)
13 .已知抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F , ?ABC 的顶点都在抛物线上,且满足

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 FA ? FB ? ? FC ,则 ? ? ? ______. k AB k BC kCA
n ?1 x ? N * 在 点 ?1, 1 14 . 设 曲 线 y ? x ? 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 xn , 则

?

?

的值为 ______ . log x ? ?5 ? ?3? ? l o gx 2 0 2015 1 l o g2 0x 1 5? 2 l o g x 201 15 20 14

C 的对边分别为 a 、 b、 15. 已知 ?ABC 中, 角 A 、B 、 已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos 2C , c,
则 cos C 的最小值为______. 16.若函数 f ? x ? 在定义域 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F ? x ? ?
x

f ? x? 在 I 上也是增 x

函数,则称 y ? f ? x ? 是 I 上的“完美函数” .已知 g ? x ? ? e ? x ? ln x ? 1 ,若函数 g ? x ? 是 区间 ?

?m ? ,则整数 m 的最小值为______. , ?? ? 上的“完美函数” ?2 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤,写在答题纸的相应位置)
17. (本小题满分 12 分)
n * 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an ?1 ? Sn ? 3 n ? N . n (1)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

?

?

(2)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙, 已知从城市甲到城市乙

只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路从城 市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频率分布如下表: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 通过公路 2 的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10

假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发,汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发(将频率视为概率) . (l)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车 A 和汽车 B 应如何 选择各自的路径; (2)若通过公路 1、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元(其他费用忽略不 计) ,此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次 性支付给生产商 40 万元,若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万 元;若在约定日期后送到,每迟到一天,生产商将支付给销售商 2 万元.如果汽车 A, B 按 (1)中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大. 19. (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC , AC ? BC , ?PAC 为等边三角形, PE ? BC ,过 BC 作 平面交 AP 、 AE 分别于点 N 、 M . (1)求证: MN ? PE ; (2)设

AN ? ? ,求 ? 的值,使得平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角的大小为 45 ? . AP

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 E : x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,点 F

?

3, 0 , P 是圆 E 上任意一点线段 PF 的垂

?

直平分线和半径 PE 相交于 Q . (1)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (2)设直线 l 与(1)中轨迹 ? 相交下 A, B 两点,直线 OA, l , OB 的斜率分别为 k1 , k , k2 (其

A B 中k ? 0) . ?O

的面积为 S ,以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S2 .若 k1 , k , k2 恰

好构成等比数列,求

S1 ? S2 的取值范围. S

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

x ?1 ? ln x ? a ? 0 ? . ax

(l)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值 ? 0.69 ? ln 2 ? 0.70? ; 2

?1 ?

? ?

e2 1 ? x ? (3)求证: ln . x x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知直线 AC 与圆 O 相切于点 B , AD 交圆 O 于 F 、 D 两点, CF 交圆于 E , F ,

BD ? CE , AB ? BC , AD ? 2 , BD ? 1 .
(1)求证: ?BDF ∽ ?FBC ; (2)求 CE 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos? ? a ? 0? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半 轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 1, ( t 为参数) ? y ? 4t ? 3

(1)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)设函数 f ? x ? ? x ? 求实数 a 的最大值; (2)已知正数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求

5 ? x ? a , x ? R ,若关于 x 的不等式 f ? x ? ? a 在 R 上恒成立, 2

3 2 1 ? ? 的最小值. x y z

河北省衡水中学 2016 届高三下学期六调考试数学(理)试题(A 卷) 参考答案
一、选择题
DCCCD DADDB AA

二、填空题
13.0 14. ?1 15.

1 2

16.3

三、解答题
17. 解: (1) 因为 an?1 ? Sn?1 ? Sn , 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 3n . ???????????????? 1分 ∴

Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 2Sn ? 2 ? 3n ? ? ? 2 .????????????????? Sn ? 3n Sn ? 3n Sn ? 3n
??4 分 且 a1 ? 3 ? 0 , 所 以

?S

n

? 3n ? 是 以 a1 ? 3 为 首 项 , 以

2

为 公 比 的 等 比 数

列.????????????????6 分 (2)由(1)得, Sn ? 3 ? ? a1 ? 3? ? 2
n n?1

,所以 Sn ? ? a1 ? 3? ? 2

n?1

? 3n .

当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? ? a1 ? 3? ? 2n?1 ? 3n ? ? a1 ? 3? ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? ? a1 ? 3? ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 .????8 分
若 ?an ? 为递增数列,则 an?1 ? an 对 n ? N 恒成立.
*

当 n ? 2 时, ? a1 ? 3? ? 2 则2
n?2

n?1

? 2 ? 3n ? ? a1 ? 3? ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ,

n?2 ? ? ?3? * ?12 ? ? ? ? a1 ? 3? ? 0 对 n ? 2, n ? N 恒成立, 2 ? ? ? ? ? ?



a1 ? ?9 ;??????????????????????????????????
???10 分 又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 所以 a1 的取值范围为 ?? 9,3? ? ?3,??? 18.解:(Ⅰ)频率分布表,如下: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 通过公路 2 的频数 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1

A 在约定日期前 11 天出发选择公路 1、 设A 2 将货物运往城市乙;B1 、B2 1, A 2 分别表示汽车
分别表示汽车 B 在约定日期前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙;

P ? A? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.6 , P ? A2 ? ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 , P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.8 , P ? B2 ? ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ,
所以汽车 A 选择公路,汽车 B 选择公路 2. (Ⅱ)设 X 表示汽车 A 选择公路 1 时,销售商付给生产商的费用,则 X ? 42, 40,38,36 .

X 的分布列如下: X
P
42 0.2 40 0.4 38 0.2 36 0.2

E ? X ? ? 42 ? 0.2 ? 40 ? 0.4 ? 38 ? 0.2 ? 36 ? 0.2 ? 39.2 .
∴表示汽车 A 选择公路 1 时的毛利润为 39.2 ? 3.2 ? 36.0 (万元). 设 Y 表示汽车 B 选择公路 2 时的毛利润, Y ? 42.4, 40.4,38.4,36.4 . 则 Y 的分布列如下:

X
P

42.4 0.1

40.4 0.4

38.4 0.4

36.4 0.1

E ?Y ? ? 42.4 ? 0.1? 40.4 ? 0.4 ? 38.4 ? 0.4 ? 36.4 ? 0.1 ? 39.4 .
∵ 36.0 ? 39.4 ,∴汽车 B 为生产商获得毛利润更大. 19. (1)如图以点 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz ,不妨设 CA ? 1 ,CB ? t ?t ? 0? ,

??? ? ??? ? PE ? ?CB ,
则 C ? 0,0,0? , A ?1,0,0 ? , B ? 0, t ,0 ? , P ? , 0,

?1 ?2 ?

?1 3? 3? , E ? , ?t, ? ? ?2 ?, 2 ? 2 ? ? ?



? ? 1 AM AN 3 ? ? 1 3 ? ???? ? ? ? ,得 M ? 1 ? ? , ?? t , ? , N 1 ? ? , 0, ? , MN ? ? 0, ??? t , 0 ? , ? ? ? ? 2 ? AE AP 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ???? ? ???? ? n0 ? ? 0,0,1? 是平面 ABC 的一个法向量,且 n0 ? MN ? 0 ,故 n0 ? MN ,

又∵ MN ? 平面 ABC ,即知 MN 又∵ B, C, M , N 四点共面,∴ MN

? 平面 ABC ,

? BC ? PE ;
1 3 ? ? , ??t , ??, 2 2 ? ?

(2) MN ? ? 0, ??? t , 0 ? , CM ? ?1 ? ?

???? ?

???? ?

? ?

设 平 面 CMN 的 法 向 量 n1 ? ? x , 1y , z 1

?

, 则 n1 ? MN ? 0, n1 ? CM ? 0 , 可 取 1

???? ?

???? ?

? ?2? ? n1 ? ?1,0, ?, 3? ? ?
又∵ n0 ? ? 0,0,1? 是平面 ABC 的一个法向量,

由 cos ? ?

n0 ? n1 n0 ? n1

,以及 ? ? 45? 可得

? ?2 3?
1?

? ? ? 2?
3? 2

2

?

2 , 2

即 2? ? 4? ? 4 ? 0 ,解得 ? ? 3 ? 1 (负值舍去) ,故 ? ? 3 ? 1 .
2

20.解: (Ⅰ)连结 QF ,根据题意, QP = QF , 则 QE ? QF ? QE ? QP ? 4 ?| EF |? 2 3 , 故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E , F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.2 分

设其方程为

x2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,可知 a ? 2, c ? a 2 ? b2 ? 3 ,则 b ? 1 ,3 分 a 2 b2

x2 ? y 2 ? 1.4 分 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为为 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 可得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4 ? m ? 1? ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
由韦达定理有:

8km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 2 ? x x ? 4 ? m ? 1? 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?
? ? 16 ?1 ? 4k 2 ? m 2 ? ? 0 ?????????????????????6 分



∵ k1 , k , k2 构成等比数列,∴ k ? k1k2 ?
2

? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ,
x1 x2

即: km ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 0 由 韦 达 定 理 代 入 化 简 得 :

k2 ?

1 4





k ?0





k?

1 ??????????????????8 分 2

2 此时 ? ? 16 2 ? m ? 0 ,即 m ? ? 2, 2 .又由 A 、 O 、 B 三点不共线得 m ? 0

?

?

?

?

从而 m ? ? 2, 0 ? 0, 2 . 故S ?

?

? ?

?

m 1 1 AB ? d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 2 1? k 2
2

?

1 2

? x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2 ? m ? 2 ? m 2 ? m 10 分

2 x12 x2 2 2 ? y1 ? ? y2 ?1 又 4 4

则 S1 ? S2 ?

?
4

2 2 ? ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ??

? ?3

3 2 ? ? ? x12 ? x2 ? 2? 4 ?4 4 ?

?


3? ? ? 5? 2 ? ? 为定值.12 分 ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? ? 16 2 4

S1 ? S2 5? 1 5? 当且仅当 m ? ?1 时等号成立. ? ? ? S 4 4 2 ? m2 ? m
S1 ? S2 ? 5? ? ? ? , ?? ? .14 分 S ? 4 ?

综上:

21. (Ⅰ)函数的定义域为 ? 0, ??? , ∵ f ? x? ?

x ?1 ? ln x , ax

∴ f ?? x? ?

1? ax ? a ? x ? 1?

? ax ?

2

?

1 1 ? ax ? ?? x ax 2 x

x?

1 a, 2

若 a ? 0 ,因 x ? 0 ,所以 x ? 若 a ? 0 ,当 x ? ? 0,

1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减; a

? ?

1? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; a?

当 x ??

?1 ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减. ?a ?

综上,若 a ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调减区间为 ? 0, ??? ; 若 a ? 0 , f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, (Ⅱ) a ? 1 时, f ? x ? ?

? ?

1? ?1 ? ? ,单调减区间为 ? , ?? ? . a? ?a ?

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ? ln x , x x 1 由(Ⅰ)可知, f ? x ? ? 1 ? ? ln x 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, x
故在 ? ,1? 上单调递增,在 ?1, 2? 上单调递减, 所以函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值为 f ?1? ? 1 ? ? ln1 ? 0 ; 1 2 而f?

?1 ? ?2 ?

?1 ?

? ?

1

1 1 1 ?1? ? ? 1 ? 2 ? ln ? ?1 ? ln 2 ; f ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ln 2 ? 2 ? ln 2 , 2 ?2?

3 ?1? 1 f ? 2 ? ? f ? ? ? ? ln 2 ? ? ?1 ? ln 2 ? ? ? 2ln 2 ? 1.5 ? 2 ? 0.7 ? 0.1 ? 0 , 2 ?2? 2
所以 f ? 2 ? ? f ?

?1? ?1 ? ? ,故函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最小值为 ?2? ?2 ?

?1? f ? ? ? ?1 ? ln 2 . ?2?

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数 f ? x ? ? 1 ?

1 ? ln x 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, x

故函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的最大值为 f ?1? ? 1 ?1 ? ln1 ? 0 ,即 f ? x ? ? 0 .

22 . (Ⅰ)因为 BD ? CE ,所以 ?DBF ? ?BFC ,因为 AC 与圆 O 相切于点 B ,所以

?CBF ? ?BDF ,所以 ?BDF ∽ ?FBC .

?2, DF ? ( Ⅱ ) 因 为 B D? C E , 且 A B? B C , 所 以 F C? 2 B D

AD ?2 ,因为

?BDF ∽ ?FBC , 所以


BD DF BF BD BF 1 BF ? ? ? ? , 即有 , 即 , 则 BF ? 2 , BF CB CF BF CF BF 2

BD DF 1 2 ? ,即 , 所以 CB ? 2 2 , 因为 AC 与圆 O 相 切于 点 B ,所 以 ? BF BC 2 BC

CB2 ? CF ? CE ,即 8 ? 2CE ,所以 CE ? 4 .

?t ? x ? 3t ? 1 ? x ?1 y ? 3 ? 3 ? ? 23.解: (1)由 ? 得? 3 4 ? y ? 4t ? 3 ? y ? 3 ? ? 4
l

? x ?1

?t







线















4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,???????????????????????2 分
由 ? ? 2a cos? ? ? ? 2a? cos?
2

又 ? ? x ? y , ? cos? ? x
2 2 2




2





C













? x ? a?
( 2

? y 2 ? a 2 ,??????????????????????5 分
) 因 为 直 线

l





C

















4a ? 5 42 ? ? ?3?
2

? a ,???????????????7 分
2

两边平方得 9a ? 40a ? 25 ? 0 ,∴ ?9a ? 5?? a ? 5? ? 0 所 以

a













a??

5 9



a ? 5 ……………??????????????????………10 分
24 . ( 1 ) 由 绝 对 值 的 性 质 得

f ? x? ? x ?

5 5? 5 ? ? x ? a ? ? x ? ? ? ? x ? a ? ? a ? ,??????3 分 2 2? a ?
5 5 5 ? a ,从而 ? a ? a ,解得 a ? , 4 2 2

所以 f ? x ? 的最小值为 因 此

a











5 .???????????????????????????????5 分 4

(2)由于 x, y, z ? 0 ,所以

?3 2 1? 3 2 1 ? ? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ? ? ? ? ? x y z ?x y z?
2

? 3 2 1? ?? x ? ? 2 y ? ? 3 z ? ? ? ? x y z? ? ?
当 且 仅 当

?

3 ?2? 3

?

2

? 16 ? 8 3 .

x 2 y 3z ? ? 3 2 1 x y z





x:

y :? z 3

: 时 3, : 等 1 号



立.??????????????8 分 ∴

3 2 1 ? ? x y z











16 ? 8 3 .?????????????????????????10 分


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