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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修2第一章 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)课件


1.1.2(二)

1.1.2

棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)

【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关

1.认识棱锥、棱台的结构特征. 2.掌握其定义及性质. 【学法指导】 通过直观感受空间物体,从实物中概括出棱锥、棱台的几 何结构特征,提高观察、讨论、归纳、概括的能力;感受 空间几何体存在于现实生活周围,增强学习的积极性,培 养空间想象能力.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.2(二)

1.棱锥:(1)棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有 一
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个公共顶点的三角形 .棱锥中有公共顶点的各三角形,
叫做棱锥的侧面 ; 各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点 ; 相邻两侧面的公共边叫做 棱锥的侧棱 ; 多边形叫做 棱锥

的底面 ;顶点到底面的距离,叫做 棱锥的高 .
(2)如果棱锥的底面是正多边形,它的顶点又在过底面中 心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做 正棱锥 .

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.2(二)

2.棱台:(1)棱锥被平行于底面的截面所截,截面和底面间 的部分叫做 棱台 .原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的
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下底面、上底面;其它各面叫做棱台的 侧面 ;相邻两侧 面的公共边叫做 棱台的侧棱;两底面间的距离叫做 棱台

的高 .
(2)由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台.正棱台各侧面都是

全等 的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.2(二)

[问题情境]
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观察下面的几何体,你可能会判定它们是一些棱锥.为什 么你会判定它们是棱锥呢?

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1.1.2(二)

探究点一 问题 1
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棱锥的结构特征 棱锥有哪些性质?哪些性质可以作为棱锥集合的特

征性质? 答 通过观察,我们可以得到棱锥的主要特征性质:棱锥
有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三 角形.

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1.1.2(二)

问题 2

类比棱柱,棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高分

别指什么? 答 如下图, 棱锥中有公共顶点的各三角形, 叫做棱锥的侧面;
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各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点; 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱; 多边形叫做棱锥的底面;
顶点到底面的距离,叫做棱锥的高.

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1.1.2(二)

问题 3 如何用字母表示棱锥?
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棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点

和底面的一条对角线端点的字母来表示.如问题 2 中图中 棱锥可表示为棱锥 S-ABCD 或者棱锥 S-AC.

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1.1.2(二)

问题 4 依据棱锥底面多边形的边数如何分类?
答 棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
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问题 5

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底

面的形状关系如何?
答 是相似多边形.

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1.1.2(二)

问题 6 类比正棱柱的概念,如何定义正棱锥?
答 如果棱锥的底面是正多边形, 且它的顶点在过底面中心
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且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.

问题 7 正棱锥与棱锥相比较,有什么特殊的性质?
答 正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形, 这些等腰三角形

底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.

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1.1.2(二)

例 1

设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底面都

是等边三角形的正三棱锥.

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因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等

边三角形,所以它的棱长都相等(如图).

于是作一个等边三角形及其三条中位线,如图所示.沿图中 的实线剪下这个三角形, 再以虚线(中位线)为折痕就可折成符 合题意的几何体.

小结

由于三棱锥有一个底面和三个侧面,共四个面组成,

所以三棱锥又叫四面体,三棱锥的各个面都是三角形.

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1.1.2(二)

跟踪训练 1 若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角 形,侧棱长为 2,底面周长为 9,求棱锥的高.
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3 3 在底面正三角形中,边长为 3,高为 3×sin 60° 2 , =

3 3 2 中心到顶点距离为 2 ×3= 3,则棱锥的高为 22-? 3?2= 1.

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1.1.2(二)

例 2 已知正四棱锥 V—ABCD, 底面面积为 16, 一条侧棱长 为 2 11,计算它的高和斜高.

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设 VO 为正四棱锥 V—ABCD 的高,作

OM⊥BC 于点 M,则 M 为 BC 中点.
连接 OM,OB,则 VO⊥OM,VO⊥OB.
因为底面正方形 ABCD 的面积为 16, 所以 BC=4,BM=OM=2, OB= BM2+OM2= 22+22=2 2. 又因为 VB=2 11,在 Rt△VOB 中,由勾股定理得 VO= VB2-OB2= ?2 11?2-?2 2?2=6.

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1.1.2(二)

在 Rt△VOM(或 Rt△VBM)中,由勾股定理得
VM= 62+22=2 10(或 VM= ?2 11?2-22=2 10).
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即正四棱锥的高为 6,斜高为 2 10.

小结 在正棱锥的有关计算中, 要注意寻找直角三角形,一 般有:正棱锥顶点与底面中心连线,相应的边心距和斜高组 成一个直角三角形;正棱锥顶点与底面中心连线,侧棱和底 面中心与底面多边形的顶点组成一个直角三角形.

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1.1.2(二)

跟踪训练 2 正四棱锥 S-ABCD 的高为 3,侧棱长为 7. (1)求侧面上的斜高; (2)求一个侧面的面积; (3)求底面的面积.
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(1)如图所示,在正四棱锥 S—ABCD 中,

高 SO= 3,侧棱 SA=SB=SC=SD= 7,
解 Rt△SOA,得 OA=2,则 AC=4,
∴AB=BC=CD=DA=2 2.
作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 的中点, 1 ∴OE=2BC= 2.连接 SE,则 SE 为斜高.
∵SO= 3,∴SE= 5,即侧面上的斜高为 5.

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1.1.2(二)

(2)由(1)知 SE= 5,AB=2 2,
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1 1 ∴S 侧面= · AB= × 5×2 2= 10. SE· 2 2
(3)S 底面=AB· BC=2 2×2 2=8.

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1.1.2(二)

探究点二 问题 1
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棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截

面之间的部分形成另一个多面体,这样的多面体叫做棱 台.那么棱台有哪些结构特征?
答 有两个面是互相平行的相似多边形,其余各面都是梯 形,每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点.

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1.1.2(二)

问题 2
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类比棱柱的说法,棱台的底面、侧面、侧棱、顶点

分别是什么含义?
答 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面, 其余各面叫做棱台的侧面, 相邻侧面的公共边叫做棱台的侧 棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.

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1.1.2(二)

问题 3
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三棱台、四棱台、五棱台……分别是什么含义?如

何用字母表示?
答 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做

三棱台、四棱台、五棱台……;与棱柱的表示一样棱台也 用上、下底面的各顶点的字母表示.

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1.1.2(二)

问题 4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构上 有哪些相同点和不同点?三者的关系如何?当底面发生变 化时,它们能否相互转化?
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它们在结构上的相同点是:它们都是由平面多边形围

成的几何体,它们都有底面且底面都是多边形;

不同点是:棱柱和棱台都有两个底面,而棱锥只有一个底 面,棱柱的两个底面是全等的,棱台的两个底面是相似的;
能够相互转化,棱台是由棱锥截取得到的,棱台的上底面 扩大,使上下底面全等,就是棱柱,棱台的上底面缩为一 个点就是棱锥.

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1.1.2(二)

例3

如图,在正三棱台 ABC—A1B1C1 中,已 20 3 知 AB=10,棱台一个侧面的面积为 , 3 O1、O 分别为上、下底面正三角形的中心, D1D 为棱台的斜高,∠D1DA=60° ,求上底面的边长.

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3 解 ∵AB=10,∴AD= 2 AB=5 3, 1 5 3 ∴OD=3×AD= 3 . 3 设上底面边长为 x,则 O1D1= 6 x.
过 D1 作 D1H⊥AD 于点 H, 5 3 3 则 DH=OD-OH=OD-O1D1= 3 - 6 x.

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?5 3 DH 3 ? ? ? 在△D1DH 中,D1D= =2? - x?, cos 60° ? 3 6 ?

1.1.2(二)

1 ∴在梯形 B1C1CB 中,S=2(B1C1+BC)· 1D, D
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?5 3 20 3 1 3 ? ? ? 即 3 =2(x+10)·? 2 - 6 x?, ? 3 ?

解得 x=2 15,∴上底面的边长为 2 15.
小结 在正棱台的有关计算中, 要注意寻找直角梯形,一般

有:正棱台两底面中心连线,相应的边心距和斜高组成一个 直角梯形;两底面中心连线,侧棱和两底面相应的外接圆半 径组成一个直角梯形.

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1.1.2(二)

跟踪训练 3 已知正四棱台的上、下底面面积分别为 4、16, 一侧面面积为 12,分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.
解 如图,设 O′,O 分别为上下底面的中
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心,即 OO′为正四棱台的高,E,F 分别为 B′C′,BC 的中点,
∴EF⊥B′C′,即 EF 为斜高.由上底面面积为 4,上底面 为正方形,可得 B′C′=2;同理,BC=4. ∵四边形 BCC′B′的面积为 12,
1 ∴ ×(2+4)· EF=12,∴EF=4. 2

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1.1.2(二)

过 B′作 B′H⊥BC 交 BC 于 H,

则 BH=BF-B′E=2-1=1,B′H=EF=4.
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在 Rt△B′BH 中,BB′= BH2+B′H2= 17. 同理,在直角梯形 O′OFE 中,计算出 O′O= 15. 综上,该正四棱台的侧棱长为 17,斜高为 4,高为 15.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.2(二)

1.给出下列几个命题:
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①棱柱的侧面都是平行四边形; ②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点; ③多面体至少有四个面; ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 其中,假命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.2(二)

解析 显然命题①、②均是真命题.
对于命题③,显然一个图形要成为空间几何体,则它至少需 要有四个顶点, 因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形, 当有四个顶点时,易知它可围成四个面,因而一个多面体至
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少应有四个面,而且这样的面必是三角形,故命题③是真命 题. 对于命题④,棱台的侧棱所在的直线就是被截原棱锥的侧棱
所在的直线,而棱锥的侧棱都有一个公共的点,它便是棱锥 的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故命 题④为真命题.
答案 A

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.2(二)

2.棱台不一定具有的性质为
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( C )

A.两底面相似 C.侧棱均相等

B.侧面均为梯形 D.侧棱延长后共点

1.1.2(二)

1.棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图 形, 棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱
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锥所得到的图形.应注意:若一个几何体是棱台,则其侧 棱延长后必交于同一点, 也就是说若一个几何体的各条侧 棱延长后不交于同一点, 则该几何体一定不是棱台. 掌握 好棱柱、棱锥、棱台的定义和性质,是解决问题的基础和 关键. 2. 棱台是由棱锥截得的, 在处理与棱台有关的问题时要注意 联系棱锥的有关性质, ”还台为锥”是常用的解题方法和 策略.


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