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晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷(理科)


晋冀豫三省 2015 届高三上学期联考数学试卷(理科)
一.选择题本大题共 60 分,每小题 5 分 1. (5 分)已知复数 z1=1+ A.8 i,z2=2 ﹣2i,则 C. 4 ? 等于() ﹣4i
2

B.﹣4i
x

D.4

+4i

2. (5 分)已知集合 M={y|y=2 ,x>0},N={x|y=lg(2x﹣x )},则 M∩N 为() A.(1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) 3. (5 分) A.3 dx 等于() B. 6 C. 9 D.3e

4. (5 分)已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 C. 充要条件

”是“ ⊥ ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)在递增的等比数列{an}中,a1+an=34,a2an﹣1=64,且前 n 项和 Sn=42,则项数 n 等 于() A.6 B. 5 C. 4 D.3 6. (5 分)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧 视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为()

A.

B. 2

C. 4

D.

7. (5 分)具有性质:f( )=﹣f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,则下列函

数:①y=x﹣ ;②y=x+ ;③y=lnx;④y=

中所有满足“到负”交换的函数

是() A.①③

B.②④

C.①④

D.①③④

8. (5 分)如图,

= ,

= ,且 BC⊥OA,C 为垂足,设

=λ ,则 λ 的值为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知 m>0,n>0,且 2m, ,3n 成等差数列,则 m+ + + n 的最小值为() A. B. 5 C. D.15

10. (5 分)已知函数 f(x)=sin( x+θ)﹣ 则 y=f(x)在下列哪个区间上是减函数() A.(0, ) B. ( ,π)

cos( x+θ) (|θ|<

)的图象关于 y 中对称,

C.(﹣

,﹣

) D.(

,2π)

11. (5 分)如果变量 x,y 满足约束条件

,则

的取值范围是()

A.[ , D.[ , ]

B.(﹣∞, ]∪[ ,+∞)

C. (﹣∞, ]∪[ , +∞)

12. (5 分)设函数 列不等式必定成立的是() 2 2 A.x1+x2>0 B.x1 >x2

,若 f(x1)>f(x2) ,则下

C.x1>x2

D.x1<x2

二.填空题,共 20 分,每题 5 分 13. (5 分)已知 sin( +α)= ,则 cos2α=.

14. (5 分)已知|

|=4,|

|=3,且
x



夹角为

,则

?

=.

15. (5 分)已知函数 f(x)=2 ﹣kx ﹣2(k,α∈R)的图象经过点(1,0) ,设 g(x) = ,若 g(t)=2,则实数 t=.

α

16. (5 分) 已知等差数列{an}满足 a2=3, 点 (a4, a8) 在直线 2x+y﹣29=0 上, 设 bn=an+ 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则点(n,Sn)到直线 2x+y﹣24=0 的最小距离为.



三.解答题,共 70 分,6 小题. 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,sinA+sinB=2sinC,a=2b. (1)证明:△ ABC 为钝角三角形; (2)若 S△ ABC= ,求 c.

18. (12 分)在 R 上定义运算?:x?y=x(2﹣y) ,已知关于 x 的不等式(x+1)?(x+1﹣a) >0 的解集是{x|b<x<1}. (1)x 求实数 a,b 2 (2)对于任意的 t∈A,不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立,求实数 x 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)= (a>0,x>0)的图象过点(a,0) .

(1)判断函数 f(x)在(0.+∞)上的单调并用函数单调性定义加以证明; (2)若 a> 函数 f(x)在[ ,5a]上的值域是[ ,5a],求实数 a 的值.

20. (12 分)如图,四棱锥 A﹣BCDE 中,△ ABC 是正三角形,四边形 BCDE 是矩形,且平 面 ABC⊥平面 BCDE,AB=2,AD=4. (1)若点 G 是 AE 的中点,求证:AC∥平面 BDG; (2)试问点 F 在线段 AB 上什么位置时,二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为 .

21. (12 分)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 an =S2n﹣1,n∈N .数列{bn}满足 bn=
2 *

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(Ⅰ)求 a1,d 和 Tn; * n (Ⅱ)若对任意的 n∈N ,不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,求实数 λ 的取值范围.

22. (12 分)设函数 f(x)=



(1)求函数 f(x)在[ ,2]上的最值; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)﹣1<a 成立.

晋冀豫三省 2015 届高三上学期联考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题本大题共 60 分,每小题 5 分 1. (5 分)已知复数 z1=1+ A.8 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ ∴ ? = i,z2=2 ﹣2i,则 C. 4 ? 等于() ﹣4i D.4 +4i

B.﹣4i

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 求出两复数的共轭复数,然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解. 解:∵z1=1+ i,z2=2 ﹣2i, ,

= = . 故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题. 2. (5 分)已知集合 M={y|y=2 ,x>0},N={x|y=lg(2x﹣x )},则 M∩N 为() A.(1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 通过指数函数的值域求出 M,对数函数的定义域求出集合 N,然后再求 M∩N. 2 解答: 解:M={y|y>1},N 中 2x﹣x >0∴N={x|0<x<2}, ∴M∩N={x|1<x<2}, 故选 A 点评: 本题考查指对函数的定义域和值域,不要弄混.
x 2

3. (5 分) A.3

dx 等于() B. 6 C. 9 D.3e

考点: 定积分.

专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据定积分的计算法则计算即可. 解答: 解: dx=3lnx =3lne ﹣3ln1=6,
2

故选:B 点评: 本题主要考查了定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题

4. (5 分)已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 C. 充要条件

”是“ ⊥ ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求出 ⊥ 的充要条件是 x=±
2

,从而得到答案. ,

解答: 解: ⊥ ? ? =0?4﹣2x =0?x=± 故 x=± 是 ⊥ 的充分不必要条件,

故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,考查了向量垂直的性质,是一道基础题. 5. (5 分)在递增的等比数列{an}中,a1+an=34,a2an﹣1=64,且前 n 项和 Sn=42,则项数 n 等 于() A.6 B. 5 C. 4 D.3 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列{an}的公比为 q,由 a2an﹣1=64,可得 a1an=64.与 a1+an=34 联立,又递增 的等比数列{an},解得 a1,an.由前 n 项和 Sn=42,利用 公式即可得出. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,∵a2an﹣1=64,∴a1an=64. 又 a1+an=34,联立 解得 a1=2,an=32. ∵前 n 项和 Sn=42, ∴ ∴32=2×4
n﹣1

=42,解得 q.再利用通项

,又递增的等比数列{an},

=42,即 ,解得 n=3.

=42,解得 q=4.

故选:D. 点评: 本题考查了等比数列的性质、通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 6. (5 分)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧 视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为()

A.

B. 2

C. 4

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 三棱锥的正视图如图所示,即可得出该三棱锥的正视图面积= 解答: 解:三棱锥的正视图如图所示, ∴该三棱锥的正视图面积= 故选:B. =2. .

点评: 本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式,属于基础题.

7. (5 分)具有性质:f( )=﹣f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,则下列函

数:①y=x﹣ ;②y=x+ ;③y=lnx;④y=

中所有满足“到负”交换的函数

是() A.①③

B.②④

C.①④

D.①③④

考点: 进行简单的合情推理;函数的概念及其构成要素. 专题: 函数的性质及应用;推理和证明. 分析: 对所给的函数结合:f( )=﹣f(x) ,满足该“到负”交换的函数,进行验证即可. 解答: 解:显然,函数:①y=x﹣ ; 设 f(x)=y,则 f( )=﹣f(x)的函数,故满足“到负”交换的概念;

对于②:满足 f( )=f(x) ,不合乎题意, 对于③:y=lnx, 显然,f( )=﹣f(x) ,满足该“到负”交换的概念;

对于④:y=



当 0<x<1 时,f( )=﹣x=﹣f(x) , 当 x>1 时,0< <1,f( )= =﹣f(x) , 当 x=1 时, =1,∴x=1, ∴f( )=﹣f(x) ,满足该“到负”交换的概念; 故选:D. 点评: 本题重点考查了合情推理、函数的性质等知识,属于中档题,解题关键是理解“到负” 交换的函数这一个概念.

8. (5 分)如图,

= ,

= ,且 BC⊥OA,C 为垂足,设

=λ ,则 λ 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 分析: 利用向量垂直数量积为零找出 λ 满足的方程解之 解答: 解: ∴ ∴ 即 ∴λ= = = =0 , = ﹣ , ,

故选项为 A 点评: 向量垂直的充要条件.

9. (5 分)已知 m>0,n>0,且 2m, ,3n 成等差数列,则 m+ + + n 的最小值为() A. B. 5 C. D.15

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差中项的性质可得 2m+3n=5,化简式子 m+ + + n 后,由“乘 1 法”和基本不等 式求出它的最小值. 解答: 解:因为 2m, ,3n 成等差数列,所以 2m+3n=5, 所以 m+ + + n= + + 因为 m>0,n>0, 所以 = (2m+3n) ( )= (13+ ) 时取等号) , , = + ,

≥ (13+2 则

)=5(当且仅当 ,所以 m+ + + n≥5+ = ,

则 m+ + + n 的最小值为

故选:C. 点评: 本题考查等差中项的性质, “乘 1 法”和基本不等式求最值问题, 考查推理与计算能力, 属于中档题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=sin( x+θ)﹣ 则 y=f(x)在下列哪个区间上是减函数() A.(0, ) B. ( ,π)

cos( x+θ) (|θ|<

)的图象关于 y 中对称,

C.(﹣

,﹣

) D.(

,2π)

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先,结合所给函数图象关于 y 轴对称,得到该 θ=﹣ 解答: 解:∵函数 f(x)的图象关于 y 中对称, ∴当 x=0 时,函数 f(x)取得最大(或最小)值, 此时,f(x)=2sin(θ﹣ ) , ,然后,化简函数即可.

∵|θ|< ∴θ=﹣

, , )﹣ cos( x )

∴f(x)=sin( x﹣ =﹣2cos ,

∴函数 f(x)在区间(﹣

,﹣

)上为减函数,

故选:C. 点评: 本题重点考查了三角函数公式、三角恒等变换等公式、属于中档题.

11. (5 分)如果变量 x,y 满足约束条件

,则

的取值范围是()

A.[ , D.[ , ]

B.(﹣∞, ]∪[ ,+∞)

C. (﹣∞, ]∪[ , +∞)

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为动点与定点连线的斜率问题,数形结合得到 最优解,求得最优解的坐标,求出斜率得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,得 A(1,3) ,

联立

,得 C(1,6) ,

联立

,得 B(

) ,

令 z=

=



则 z+1=



表示可行域内的点(x,y)与点( 当连线过点(1,6)时,z﹣1 取最大值 ∴ 故选:A. 的取值范围是[ ].

)连线的斜率, ,当连线过点( )时,z﹣1 取最小值 .

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思 想方法,是中档题.

12. (5 分)设函数 列不等式必定成立的是() A.x1+x2>0 B.x1 >x2
2 2

,若 f(x1)>f(x2) ,则下

C.x1>x2

D.x1<x2

考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;证明题. 分析: 由题意可得:f(x)=f(|x|) ,结合导数可得 f′(|x|)>0,所以 f(|x|)在 上为增函数,又由 f(x1)>f(x2) ,得 f(|x1|)>f(|x2|) ,进而根据函数的单调性得到答案. 解答: 解:由题意可得:f(x)=f(|x|) , 因为当 时,f′(|x|)=sinx+xcosx>0,

所以此时 f(|x|)为增函数. 又由 f(x1)>f(x2) ,得 f(|x1|)>f(|x2|) , 故|x1|>|x2||, 2 2 所以 x1 >x2 . 故选 B. 点评: 本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题. 二.填空题,共 20 分,每题 5 分 13. (5 分)已知 sin( +α)= ,则 cos2α= .

考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先求得 sin( 解答: 解:sin( 则 cos2α=2cos α﹣1= 故答案为: .
2

+α)=cosα= ,则有 cos2α=2cos α﹣1= +α)=cosα= , .

2



点评: 本题主要考察了二倍角的余弦,运用诱导公式化简求值,属于基本知识的考查.

14. (5 分)已知|

|=4,|

|=3,且



夹角为

,则

?

=﹣10.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意根据向量数量积运算即可求得结论. 解答: 解: ? = ?( )= ﹣ =4×3×cos ﹣4 =6﹣16=﹣10.
2

故答案为﹣10. 点评: 本题主要考查向量的运算法则及数量积运算,属于基础题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=2 ﹣kx ﹣2(k,α∈R)的图象经过点(1,0) ,设 g(x) = ,若 g(t)=2,则实数 t=3.
x α

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件求出函数的解析式,通过 g(t)=2,利用分段函数列出方程,分别求 出 t 的值即可. x α 解答: 解:函数 f(x)=2 ﹣kx ﹣2(k,α∈R)的图象经过点(1,0) ,所以 2﹣k﹣2=0, 解得 k=0, 所以 g(x)= ,

∵g(t)=2, t ∴当 t≤0 时,g(t)=2 ﹣2=2,解得 t=2(舍去) ; 当 t>0 时,g(t)=log2(t+1)=2,解得 t=3. 综上,t=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查分段函数的解析式的求法,分段函数的应用,函数的零点,考查计算能力.

16. (5 分) 已知等差数列{an}满足 a2=3, 点 (a4, a8) 在直线 2x+y﹣29=0 上, 设 bn=an+ 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则点(n,Sn)到直线 2x+y﹣24=0 的最小距离为 考点: 数列与解析几何的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意,设等差数列{an}的公差为 d,则 .



,从而

求出等差数列{an},进而求数列{bn}的通项及前 n 项和公式,再由题意验证最小距离即可. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 解得,a1=1,d=2; 则 an=2n﹣1, bn=an+ =2 +2n﹣1,
n n



则 Sn=(1+2)+(3+4)+…+(2 +2n﹣1) n =(1+3+5+…+2n﹣1)+(2+4+8+…+2 ) =
2 n+1

+

=n +2 ﹣2, 易验证点(3,S3)即(3,23)到直线 2x+y﹣24=0 的距离最小, 即 d= = ,

即点(n,Sn)到直线 2x+y﹣24=0 的最小距离为 , 故答案为: . 点评: 本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前 n 项和的求法,用到了拆项求和 数列求和公式,属于中档题. 三.解答题,共 70 分,6 小题. 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,sinA+sinB=2sinC,a=2b. (1)证明:△ ABC 为钝角三角形; (2)若 S△ ABC= ,求 c.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)结合正弦定理和余弦定理即可证明:△ ABC 为钝角三角形; (2)根据三角形的面积公式即可求 c. 解答: 解: (1)∵sinA+sinB=2sinC,

∴由正弦定理得 a+b=2c, ∵a=2b, ∴3b=2c,即 c= 则 a 最大, ,

则 cosA=

=

=



则 A 为钝角, 故△ ABC 为钝角三角形; (2)∵cosA= ∵S△ ABC= 即 b = , = ,∴sinA= , , ,

解得 b= , 则 c= .

点评: 本题主要考查解三角形的应用,要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用. 18. (12 分)在 R 上定义运算?:x?y=x(2﹣y) ,已知关于 x 的不等式(x+1)?(x+1﹣a) >0 的解集是{x|b<x<1}. (1)x 求实数 a,b 2 (2)对于任意的 t∈A,不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由新定义得到不等式,求解不等式后结合不等式的解集列关于 a,b 的方程,则 答案可求; 2 (2)把不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立看作是关于 t 的一次不等式,然后由 t 取﹣1 和 1 时 对应的代数式大于 0 求得 x 的取值范围. 解答: 解: (1)由(x+1)?(x+1﹣a)>0,得(x+1) (a+1﹣x)>0, ∴(x+1) (x﹣a﹣1)<0, ∴﹣1<x<a+1, ∵不等式(x+1)?(x+1﹣a)>0 的解集是{x|b<x<1}, ∴b=﹣1,a+1=1, a=0; (2)由(1)知,A=(﹣1,1) , 2 令 g(t)=xt+(x ﹣2x+1) , 2 对于任意的 t∈(﹣1,1) ,不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立,

当 x=0 时,上式显然成立; 当 x≠0 时,则 ,即 ,

解得:



. .

∴实数 x 的取值范围是

点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了一元二次不等式的解法,训练了更换主元法思 想方法,是中档题.

19. (12 分)已知函数 f(x)=

(a>0,x>0)的图象过点(a,0) .

(1)判断函数 f(x)在(0.+∞)上的单调并用函数单调性定义加以证明; (2)若 a> 函数 f(x)在[ ,5a]上的值域是[ ,5a],求实数 a 的值.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)代入点的坐标,求得 f(x) ,再由单调性的定义,即可证得 f(x)在(0.+∞) 上为增函数; (2)由函数的单调性,即可得到最值,解方程,即可求得 a. 解答: 解: (1)函数 f(x)= 则 0= ,则 b=1,则 f(x)= (a>0,x>0)的图象过点(a,0) , = ,

f(x)在(0.+∞)上为增函数, 理由如下:设 0<m<n,则 f(m)﹣f(n)= = ﹣( )

,由于 0<m<n,则 m﹣n<0,mn>0,则 f(m)﹣f(n)<0,

则 f(x)在(0.+∞)上为增函数; (2)由于 f(x)在(0.+∞)上为增函数, 则函数 f(x)在[ ,5a]上的值域是[f( ) ,f(?5a)],

即有

,解得,a= .

点评: 本题考查函数的单调性的判断和运用,考查运算能力,属于基础题. 20. (12 分)如图,四棱锥 A﹣BCDE 中,△ ABC 是正三角形,四边形 BCDE 是矩形,且平 面 ABC⊥平面 BCDE,AB=2,AD=4. (1)若点 G 是 AE 的中点,求证:AC∥平面 BDG;

(2)试问点 F 在线段 AB 上什么位置时,二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为



考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明; (2)建立空间直角坐标系,求平面 BCE 和 CEF 的法向量,利用向量法求二面角的大小,解 方程即可得出. 解答: 解: (1)证明:连接 CE、BD,设 CE∩BD=O,连接 OG, 由三角形的中位线定理可得:OG∥AC, ∵AC?平面 BDG,OG?平面 BDG, ∴AC∥平面 BDG. (2)∵平面 ABC⊥平面 BCDE,DC⊥BC, ∴DC⊥平面 ABC, ∴DC⊥AC,则△ ACD 为直角三角形. ∵△ABC 是正三角形, ∴取 BC 的中点 M,连结 MO,则 MO∥CD, ∴MO⊥面 ABC, 以 M 为坐标原点,以 MB,M0,MA 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, ∵AB=2,AD=4,∴AM= , ∴B(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,A(0,0, ) , 在 Rt△ ACD 中,CD= ∴BE=CD= 则 ∵点 F 在线段 AB 上, ∴设 BF=xBA, (0≤x≤1) 则 ∴F(1﹣x,0, ) ,则 , , , ,即 E(1,2 , ,0) .

设面 CEF 的法向量为

则由

得,



令 a=

,则 b=﹣1,c=

,即 ,



平面 BCE 的法向量为

二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为











平方得

,解得:



解得 x=﹣1(舍去)或 x= . 即 F 是线段 AB 的中点时,二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为 .

点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理,以及利用向量法解决二面角的大小问题, 综合性较强,运算量较大. 21. (12 分)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 an =S2n﹣1,n∈N .数列{bn}满足 bn=
2 *

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(Ⅰ)求 a1,d 和 Tn; * n (Ⅱ)若对任意的 n∈N ,不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;数列的求和.

专题: 综合题. 分析: (I)在 由足 = 中,令 n=1,n=2,得 ,能求出 a1,d 和 Tn. 恒成立,即需不等式 恒成立.由此解得 λ<25;当 n 为奇数时,要使不等式 恒成立,需不等式 解得 λ<﹣21.由此能够求出 λ 的取值范围. 解答: 解: (I)在 中,令 n=1,n=2, 恒成立, ,解得 an=2n﹣1,

(II)当 n 为偶数时,要使不等式



,即



解得 a1=1,d=2, (3 分)

(II) (1)当 n 为偶数时,要使不等式 即需不等式 ∵ ,等号在 n=2 时取得. 恒成立.

恒成立,

∴此时 λ 需满足 λ<25. (8 分) (2)当 n 为奇数时,要使不等式 即需不等式 ∵ ∴ 是随 n 的增大而增大, 取得最小值﹣6. 恒成立, 恒成立.

∴此时 λ 需满足 λ<﹣21. (10 分) 综合(1) (2)可得 λ<﹣21 ∴λ 的取值范围是{λ|λ<﹣21}. (12 分)

点评: 本题考查等差数列的首项、公差的求法,考查数列前 n 项和的求法,考查实数的取 值范围的求法, 考查数列与不等式的综合运用. 解题时要认真审题, 注意迭代法、 裂项求和法、 等价转化法的合理运用.

22. (12 分)设函数 f(x)=



(1)求函数 f(x)在[ ,2]上的最值; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)﹣1<a 成立. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)f′(x)= ,令 h(x)=(x﹣1)e +1,则 h′(x)=x?e ,从而
x x

由导数的正负确定函数的单调性,从而求最值; (2)化简不等式 f(x)﹣1<a 为 e ﹣(a+1)x﹣1<0,求导讨论函数的单调性,从而求函数 的最小值,证明最小值小于 0 即可. 解答: 解: (1)f′(x)=
x x x



令 h(x)=(x﹣1)e +1,则 h′(x)=x?e , x 故 h(x)=(x﹣1)e +1 在(0,+∞)上是增函数, 又∵h(0)=0, 故 f(x)= 在(0,+∞)上是增函数, ﹣ 2,

则函数 f(x)在[ ,2]上的最小值为 f( )=2 最大值为 f(2)= e ﹣ ;
2

(2)证明:f(x)﹣1=
x



不等式 f(x)﹣1<a 可化为 e ﹣(a+1)x﹣1<0, x x 令 g(x)=e ﹣(a+1)x﹣1,则 g′(x)=e ﹣(a+1) , x 令 e ﹣(a+1)=0 解得,x=ln(a+1) , 故当 0<x<ln(a+1)时,g′(x)<0, 当 x>ln(a+1)时,g′(x)>0, 则当 x=ln(a+1)时,gmin(x)=a﹣(a+1)ln(a+1) , 令 m(a)= (a+1) , (a≥0) ,

则 m′(a)=﹣

<0,

则当 a>0 时,m(a)<m(0)=0; 故 gmin(x)=a﹣(a+1)ln(a+1)<0, 故存在正数 x,使不等式 f(x)﹣1<a 成立. 点评: 本题考查了导数的综合应用,属于中档题.


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