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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第二章 数列综合检测 新人教B版必修5

第二章

数列

(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 4 9 16 1.(2013·郑州高二检测)数列-1, ,- , ,…的一个通项公式是( 3 5 7 A.an=(-1)
n

)

n2 2n-1

B.an=(-1)

n

n?n+1? 2n-1

n2 C.an=(-1) 2n+1
n n

n3 D.an=(-1) 2n-1
n

【解析】 观察各项知符号可用(-1) 表示,各项绝对值的分母为 1,3,5,7…,故可表

n2 示为 2n-1,分子为 1,4,9,16…可表示为 n ,故 an=(-1) . 2n-1
2

n

【答案】 A 2.(2013·咸阳高二检测)已知等差数列{an}中,a5+a9=2,则 S13=( A.11 C.13 B.12 D.不确定 )

13?a1+a13? 13?a5+a9? 【解析】 S13= = =13. 2 2 【答案】 C 3.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是( A.15 C.31 【解析】 由 a7+a9=16,得 a8=8, 8-1 7 ∴d= = , 8-4 4 7 ∴a12=1+8× =15. 4 【答案】 A 4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 C.168 【解析】 ∵a5=a2q ,∴q = = ∴q=3,∴a1=3,
3 3

)

B.30 D.64

)

B.120 D.192

a5 243 =27, a2 9

1

3?1-3 ? ∴S4= =120. 1-3 【答案】 B 5.已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5 等于( A.33 C.72 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q, ∵4a1,2a2,a3 成等差数列, ∴4a2=4a1+a3, 即 4×3q=4×3+3q ,∴q=2, ∴a3+a4+a5=a1q +a1q +a1q =3(2 +2 +2 ) =84. 【答案】 B 6. (2013·合肥高二检测)若数列{an}的通项公式是 an=(-1) ·(3n-2), 则 a1+a2+… +a10=( A.15 C.-12 ) B.12 D.-15
n
2 3 4 2 3 4 2

4

)

B.84 D.189

【解析】 记 bn=3n-2,则数列{bn}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,所以 a1+a2 +…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3= 15.故选 A. 【答案】 A 7.已知数列{an}满足 an+1= A. 1 2 1 1 ,若 a1= ,则 a2 012 等于( 1-an 2 B.2 D.1 1 1 1 1 1 1 由 a1= ,an+1= 得 a2= =2,a3= =-1,a4= = ,a5 2 1-an 1-a1 1-a2 1-a3 2 )

C.-1 【解析】 =

1 =2,…,因此 a2 012=a3×670+2=a2=2. 1-a4 【答案】 B 8.设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等

比数列,则 A.1 033 C.2 057

等于(

) B.1 034 D.2 058

2

【解析】 由已知可得 an=n+1,bn=2

n-1



【答案】 A 9.(2013·宜昌高二检测)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1)(n 1 1 1 1 * ∈N )在直线 x-y+1=0 上,则 + + +…+ 等于(

S1 S2 S3

Sn

)

A. C.

2n n+1

B. D.

2

n?n+1? n 2?n+1?

n?n+1?
2

【解析】 由题意,an-an+1+1=0.∴an+1-an=1, ∴{an}为等差数列,且 a1=1,d=1,∴an=1+(n-1)×1=n,∴Sn= 1 ∴ = 2 1 1 =2( - ), n?n+1? n n+1

n?n+1?
2



Sn

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ∴ + +…+ =2(1- + - +…+ - )= . S1 S2 Sn 2 2 3 n n+1 n+1 【答案】 A 1 10.在数列{an}中,若 a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则 an 等于(

n

)

A.2+ln n C.2+nln n

B.2+(n-1)ln n D.1+n

1 【解析】 依题意可得 a2=a1+ln(1+ ), 1

a3=a2+ln(1+ ),


1 2

an=an-1+ln(1+ ), n-1
2 3 4 n 则 an=a1+ln[( )( )( )…( )]=2+ln n. 1 2 3 n-1 【答案】 A
3

1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 11. (2013·烟台高二检测)若数列{an}满足: a1=1, an+1=2an(n∈N ), 则 a5=________. 【解析】 由已知 =16. 【答案】 16 12.(2013·洛阳高二检测)首项为-24 的等差数列从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是________. 8 【解析】 设 a1=-24,公差为 d,∴a10=-24+9d>0 且 a9=-24+8d≤0,∴ <d≤3. 3 8 【答案】 ( ,3] 3 13.等差数列{an}中,a1>0,S3=S10,则当 Sn 取最大值时 n 的值是________. 【解析】 由 S3=S10 可知,a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=0, ∴a7=0.又 a1>0,∴a6>0, ∴Sn 取最大值时,n 的值为 6 或 7. 【答案】 6 或 7 14.某房地产开发商在销售一幢 23 层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与 顶层均为复式结构,因此首层价格为 a1 元/m ,顶层由于景观好价格为 a2 元/m ,第 2 层价格 为 a 元/m , 从第 3 层开始每层在前 1 层价格上加价 元/m , 则该商品房各层的平均价格为 100 ________. 【解析】 设第 2 层到第 22 层的价格构成数列{bn},则{bn}是等差数列,b1=a,公差 d =
2 2 2 *

an+1 4 4 =2, ∴{an}为首项 a1=1, 公比 q=2 的等比数列, ∴a5=a1q =1×2 an

a

2

a 21×20 a 1 , 共 21 项. 所以其和为 S21=21a+ · =23.1a.故平均价格为 (a1+a2+23.1a) 100 2 100 23
2

元/m . 【答案】 1 2 (a1+a2+23.1a)元/m 23

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的 等比中项,且 S8=32,求 S10 的大小. 【解】 根据题意得
? ??a1+3d? =?a1+2d??a1+6d?, ? ?8a1+28d=32, ?
2

解得?

?a1=-3, ? ? ?d=2, 4

所以 S10=S8+a9+a10=32+2a1+17d=60. 16.(本小题满分 12 分)(2013·德州高二检测)设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数 列,它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2,a4 成等比数列. (1)证明:a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式. 【解】 (1)证明:因 a1,a2,a4 成等比数列,故 a2=a1a4,而{an}是等差数列, 有 a2=a1+d,a4=a1+3d,于是(a1+d) =a1(a1+3d), 即 a1+2a1d+d =a1+3a1d, 化简得 a1=d. 10×9 (2)由条件 S10=110 和 S10=10a1+ d,得到 10a1+45d=110, 2 由(1)a1=d,代入上式得 55d=110, 故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 17.(本小题满分 12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2 2 2 2 2 2

bn

【解】 (1)设数列{an}的公比为 q. 1 2 2 2 2 由 a3=9a2a6,得 a3=9a4,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n)=- 1 故 =-

n?n+1?
2

.

bn

2 1 1 =-2( - ), n?n+1? n n+1

1

b1 b2

1 1 + +…+

bn

1 1 1 1 1 =-2[(1- )+( - )+…+( - )] 2 2 3 n n+1

5

=-

2n . n+1

1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1 18.(本小题满分 14 分)(2013·绵阳高二检测)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任 意的正整数 n 都有 Sn=2an-3n. (1)设 bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 【解】 (1)∵Sn=2an-3n 对于任意的正整数都成立, ∴Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减,得 Sn+1-Sn=2an+1-3(n+1)-2an+3n. ∴an+1=2an+1-2an-3,即 an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3),即 ∴数列{bn}是等比数列. 由已知得 S1=2a1-3,即 a1=2a1-3,∴a1=3, ∴首项 b1=a1+3=6,公比 q=2,∴bn=6·2 ∴an=6·2
n-1 n-1

bn+1 an+1+3 = =2 对一切正整数都成立. bn an+3

.

-3=3·2 -3.
n

n

(2)∵nan=3×n·2 -3n, ∴Sn=3(1·2+2·2 +3·2 +…+n·2 )-3(1+2+3+…+n), 2Sn=3(1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 -Sn=3(2+2 +2 +…+2 )-3n·2
n
2 3 2 3 4 2 3

n

n+1

)-6(1+2+3+…+n),

n

n+1

+3(1+2+3+…+n)

2?2 -1? 3n?n+1? n =3· -6n·2 + , 2-1 2 3n?n+1? n ∴Sn=(6n-6)·2 +6- . 2

6


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