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浙江省温州市十校联合体2016-2017学年高二上学期期中联考数学试题


高二数学试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 2 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共 40 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸 规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸 上对应题目 的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

3? 4

2.已知直线 m 和平面 ?,? ,若 ? ? ? , m ? ? ,则 A. m ? ? B. m // ? C. m ? ? D. m // ?或m ? ?

3.已知直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,直线 l2 : x ? ay ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值是 A.-1 B. 1 C. -2 D. 2

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,有如下两个命题:

?若 m ? ? , n ? ? 且 m P n ,则 ? P ? ; ?若 m P ? , n P ? 且 m P n ,则 ? P ? .
A.命题?? 都正确 C.命题?? 都不正确 B.命题?正确 ,命题?不正确 D.命题?不正确,命题?正确

5.已知 a , b 为异面直线.对空间中任意一点 P ,存在过点 P 的直线 A. 与 a , b 都相交 C. 与 a 平行,与 b 垂直 B. 与 a , b 都垂直 D. 与 a , b 都平行

6.棱锥被平行 于底面的平面所截,当截面分别平分 棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应 .. ....

的截面面积分别为 S1 , S 2 , S3 ,则 A. S1 ? S2 ? S3 B. S3 ? S2 ? S1 C. S2 ? S1 ? S3 D. S1 ? S3 ? S2

7.如图,设线段 DA 和平 面 ABC 所成角为 ? ? 0 ? ? ? 的平面角为 ? ,则 A. ? ? ? ? ? C. B. D.

? ?

??

? ,二面角 D ? AB ? C 2?

? ? ? ? ? ??

?
2

?? ? ? ? ?

?
2

?? ? ? ? ? ??

第 7 题图

8.如图 ?ABC 是等腰三角形, BA ? BC , DC ? 平面 ABC ,

AE P DC ,若 AC ? 2 且 BE ? AD ,则
A. AB ? BC 有最大值 C. AE ? DC 有最大值 B. AB ? BC 有最小值 D. AE ? DC 有最小值

非选择题部分
注意事项:

(共 110 分)

第 8 题图

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.已知直线 l 的方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 l 在 y 轴上的截距是 的距离是 ______. 10.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球的表面积与圆柱的表面积之比是 球的体积与圆柱的体积之比是 .
2 2 侧视图

, 点 P?? 2,2? 到直线 l



11.一个几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积 是

?cm ?, 该几何体的表面积是
2

?cm ? .
3

正视图

12. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆 ,则圆锥的高是__ .. 圆锥的轴截面面积是__ .


1 1 俯视图

13.设点 A?3, y ?( y ? 3) , B x, x 2 ?0 ? x ? 2? ,则直线 AB 倾斜角的取值范围是

? ?

. 第 11 题图 P

14.如图,在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,点 P 在线段 AD ? 上, 且 AP ? 则异面直线 CP 与 BA? 所成角 ? 的取值范围是

1 AD? 2

. 第 14 题图

15.设点 Pi ?xi , yi ? 在直线 li : ai x ? bi y ? ci 上,若 ai ? bi ? ici ? i ? 1,2? , 且 P 1P2 ?

2 恒 2

c a 成立, 则 1 ? 2 ? _________ . a1 c2
三、解答 题: 本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分))已知点 P?2,?1? . (Ⅰ)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (Ⅱ)求过 P 点且与两坐标轴截距相等的直线 l 的方程.

17. (本题满分 15 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=2BB1=2BC,E 为 D1C1 的中点, 连结 ED,EC,EB 和 DB. (Ⅰ)证明: A1D1 // 平面 EBC ; (Ⅱ)证明:平面 EDB⊥平面 EBC.

(第 17 题图)

? AB ? AC ? 2 PA ? 2 , 18. (本题满分 15 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?BAC ? . 3
(Ⅰ) 证明: AP ? BC ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 的体积.

第 18 题图

19. (本题满分 15 分)如图,已知矩形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 BEC 所在平面互相垂直,
BE ? EC , AB ? BE , M 为线段 AE 的中点.
A D

(Ⅰ) 证明: BM ? 平面AEC ; (Ⅱ) 求 MC 与平面 DEC 所成的角的余弦值.
B
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

M

C E

第 19 题图

[来源:Zxxk.Com]

20. (本题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,

PA ? 平面ABCD, N 是 PC 的中点.
(Ⅰ)若 PA ? 1 ,求二面角 B ? PC ? D 的大小;

(Ⅱ)求 AN 与平面 PCD 所成角的正弦值的最大值.

第 20 题图

高二数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 B 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9 ) ?1,

5 2 2

13 ) ?0, ? ? ? ,? ? ? 2? ? 4 ? 14 )

? ??

? 3?

?

10 )

2 2 , 3 3

?? ? ? , ? ?6 3? ?

11 ) 6 , 16 ? 2 5 12) 3 , 3
[来源:学 #科 #网 Z#X#X#K]

15 ) 3

三、解答题: 本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(Ⅰ)解:过 P?2,?1? 且垂直于 x 轴的直线满足条件, 此时 l 的斜率不存在, 其方程为 x ? 2 .................2 分 若斜率存在,则设 l 的方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2? 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 .由 d ? 2 得 解得 k ?

2k ? 1 1? k 2

?2

3 ? 3x ? 4 y ? 10 ? 0 4

综上所求直线方程为 x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 ..................7 分 (Ⅱ)解:当直线过原点时,满足题意,其方程为 x ? 2 y ? 0 .................10 分 当直线不过原点时,斜率 k ? ?1 ,其方程为? x ? y ? 1 ? 0 . 综上所求直线方程为 x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .................14 分

17.(Ⅰ)证明:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中? A 1D1//AD//BC .....2 分

? A1D1//BC , A1D1 ? 平面EBC, BC ? 平面EBC ...5 分
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

? A1D1 // 平面EBC ....7 分
(Ⅱ)证明:BB1=BC ? a 则 AB ? 2a 且 DE ? EC ? 2a

? DE2 ? EC2 ? 4a 2 ? DC2
? DE ? EC
2 2 EB2 ? EC1 ? BC1 ? 3a2

..........10 分

DB2 ? DC2 ? BC2 ? 5a 2 又 ED2 ? 2a2
? DE2 ? EB2 ? DB2 ? DE ? EB
...........13 分

所以 DE ? 平面EBC , DE ? 平面EBD 所以平面 EDB⊥平面 EBC. ...........15 分 18 .(Ⅰ)证明:? AP ? 1, AB ? 2, ?PAB ?

?
3

由余弦定理得 PB ? 3 .....4 分

AB2 ? PB2 ? AP2 ,? AP ? PB ............6 分
同理 AP ? PC . 所以 AP ? 平面PBC .................8 分

所以 AP ? BC ...............10 分 (Ⅱ) 解: VP? ABC ? VA?PBC .................12 分

VP? ABC ? VA? PBC ?

1 2 AP ? S ?PBC ? .................15 分 3 3

19.(Ⅰ)证明? AE ? BE ,AM ? ME ? BM ? AE .......2 分 又矩形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 BEC 所在平面互相垂直,

AB ? BC,BC为两互相垂直平面的交 线
所以 AB ? 平面BEC, . ......4 分

AB ? 平面BEC,又AB ? 平面ABE
所以 平面ABE ? 平面EBC ,同理 平面DCE ? 平面EBC . 由于 平面ABE ? 平面EBC,又EC ? BE

BE为两互相垂直平面的交 线, ? EC ? 平面ABE ....6 分

所以 EC ? BM ? EM ? 平面AEC . (Ⅱ)? 平面DCE ? 平面EBC,又EC ? BE

... ... ... ...8 分

CE为两互相垂直平面的交 线, ? EB ? 平面DEC
如图作 EF //CD , MF //BE 交点为 F ,连接 FC

? EB ? 平面DEC,EB//MF? MF ? 平面DEC
所以 ?MCF 就是所求的 MC 与平面 DEC 所成的角...... ... ... ..12 分 设 AB ? BE ? EC ? a 在 Rt ?BMC 中 EM ?

2a 6a ,BC ? 2a ? MC ? 2 2

又 MF ?

1 a 5a 30 BE ? ,在 Rt ?FMC 中 FC ? ..... ..15 分 , ?cos?MCF ? 2 2 2 6

20.(Ⅰ)四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,

PA ? 平面ABCD,作 BM ? PC ,连接 MD ,由于 RT ?PBC 全等于 RT ?PDC
则 DM ? PC 则 ?BMD 就是所求二面角的平面角... ..4 分

PA ? AB ? 1 ? PB ? 2,PC ? 3 ? BM ?

6 3

同理 DM ? 由余弦定 理得

6 又 BD ? 2 , 在?BDM 中, 3
[来源:学科网 ZXXK]

cos?BMD ?

BM 2 ? DM 2 ? BD2 1 ?? 2 BM ? DM 2
2? ... ..7 分 3

二面角 B ? PC ? D 的大小为

(Ⅱ)设 AN 与平面 PCD 所成角为 ? , PA ? h

? AQ ? 平面PCD 作 AQ ? PD又CD ? AQ,
因此在 RT?AQN 中, sin ? ?

AQ .. ..9 分 AN

因为在 RT ?PAD 中, AQ ?

h 1 ? h2

因为在 RT ?PAC 中, AN ?

2 ? h2 2
4h 2 h 4 ? 3h 2 ? 2

sin ? ?


AQ ? AN

?1 ? h ??2 ? h ?
2 2

4h 2

?

.. .11

? h4 ? 2 ? 2 2h4 ? 2 2h2 .. .13 分
4h 2 2 2h ? 3h
2 2

sin ? ?

?

4 2 ? ? 2 2 ? 1 .. ..15 分 3? 2 2 2 ?1

?

?


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