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2010级高二下期数学检测试题三

2010 级高二下期数学检测试题三
班级 姓名 学号 总分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1? i 3 1.复数 ( ) ? i 的值是 1? i A.0 B.1 C.– 1 D.i ) ) 2.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么甲是乙的 ( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m,使 m 与 l ( A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 ( )

4.设 a、b 为两条直线, ?、? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是 A.若 a、b 与 ? 所成的角相等,则 a∥b C.若 a ? ?,b ? ?,a // b ,则 ? // ? B.若 a // ?,b // ?,? // ? ,则 a∥b D.若 a ? ?,b ? ?,? ? ? ,则 a ? b

5.若 l 为一条直线, ? , ? , ? 为三个互不重合的平面,给出下列三个命题,其中正确的命题有( ①? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ; ②? ? ? , ? ∥ ? ? ? ? ?; ③ l ∥? , l ? ? ? ? ? ? A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个



1 1 6.已知集合 A ? ?5?, B ? ? ,2?, C ? ? ,3,4?,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的
坐标,则确定的不同点的个数为 A.33 B.34 C.35 D.36 ( )

7.在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出 3 个球,则至少摸到 2 个黑球的概率等于 ( ) A.

2 7

B.

3 8

C.

3 7

D.

9 28

8.在一个盒子里盛有若干个均匀的红球和白球,从中任取一个球,取到红球的概率为 1/3;若从中任取两 个球,取到的全是红球的概率为 1/11,则盒子里一共有红球和白球 ( ) A.6 个 9.如果 (3x ?
2

B.9 个

C.12 个

D.24 个 ( )

2 n ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 x3
B.5 C.6 D.10

A.3

10. 如图 1, 在等腰梯形 ABCD中,AB ? 2 DC ? 2, ?DAB ? 60?, E为AB 的中点, ?ADE与?BEC 分 将 别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为 A. ( )

4 3? 27

B.

6? 2

C.

6? 8

D.

6? 24

11.如图 2,O 是半径为 1 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、OC 两两垂直,E、F 分别是大圆弧 AB
1

与 AC 的中点,则点 E、F 在该球面上的球面距离是 A.

(

)

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 4

1 12.已知一组抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 1 ,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7 中任取的一 2

个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x = 1 交点处的切线相互平行的概率是 A.
1 12





B.

7 60

A G

C.

6 25

D. D1 M A1 D A N

5 25

C1 B1 C B 图3

D

C E

F

A

E 图1

B B

O

C

图2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.某天上午 8:00—12:00,某交通警察在一十字路口,在匀速行驶的车流中,每隔一分钟抽查一辆车的违 章情况,则利用的抽样方法为_______________. 14.把同一排 6 张座位号 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,最多分 2 张, 那么不同的分法种数有________________种. 15.顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD— A' B ' C ' D ' 中,AB = 1, AA ' ? 2 ,则 A、C 两点间的球面距离为 .

16. 如图 3, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 ,M、N分别是棱A1 B1、A1 D1 的中点, 则点 B 到平面 AMN 的距离是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)某种产品有 3 只次品和 6 只正品,每次取出一只测试,直到 3 只次品全部测出为 止,求第三只次品在第 6 次测试时被测出的不同的测试情况有多少种?(用数值表示)

2

18.(本小题满分 12 分) 已知 p >0,且二项式 ( x ? 项,求 p 的取值范围.

p x

)12 的展开式中第 8 项和第 10 项的系数都小于常数

19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中则继续投篮,否则由对方投篮,第
1 3 一次由甲投篮;已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 , . 3 4

(1) 求第三次由乙投篮的概率;在前 3 次投篮中,乙投篮的次数为 ? ,求 ? 的分布列及期望 E? .

20.(本小题满分 13 分) 如图,PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90? ,PM∥BC,PM = 1,BC = 2,又 AC = 1,

?ACB ? 120? ,AB⊥PC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? .
(I)求证:平面 PAC⊥平面 ABC;(II)求二面角 M—AC—B 的大小; (III)求三棱锥 P—MAC 的体积.
A

P

M

C

B

3

21. (本小题满分 12 分) ) 如图 4, 四面体 ABCD 中, E 分别为 BD、 的中点, CA=CB=CD=BD=2, O、 BC 且 AB=AD= 2 (I)求证: AO ? 平面BCD ;(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离. O B E D C A

22.(本小题满分 14 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考 试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为

2 1 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩 3 2

合格与否均互不影响.(I)求他不需要补考就可获得证书的概率; (II)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? .

4

参考答案
一、选择题: ABCDC AACBC BB 6、集合 B 中取 2,有

C ?C ? A
1 1 1 3

3 3

? 18

集合 B 中取 1,集合 C 中不取 1,有

C ?C ? A
1 1 1 2

3 3

? 12

集合 B 中取 1,集合 C 中取 1,有(5,1,1)(1,5,1)(1,1,5)三个点 , , 所以共有 18+12+3=33 个点 二、填空题: 13.系统抽样 三、解答题: 14.1080 15.

? 2

16.

2 3

C ?C ? A 17.解:p= A
1 3 3 6 9 9

5 5

?

5 252
12? r r r C12 x ( px 2 ) ? p C12 x r r ? 1 12? 3r 2

18.解:设其常数项是第 r+1 项,则 Tr ?1 ? 令 12 ?

3r 8 ? 0 ,有 r ? 8 ,所以常数项施 p 8 C 12 2 7 9 7 9 第 8 项系数是 p C 12 ,第 10 项系数是 p C 12
由题意有 p
7

p9
由①有 p >

C C

7 12
9 12

<p

8

8 <p

C C

8 12
8 12

① ② ∴实数 p 的取值范围是

8 9 ,由②有 p < 5 4

8 9 <p< . 5 4

1 2 2 3 13 19.解:(1) P ? ? ? ? ? ··········· ··········· ········ 5 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 3 3 3 4 18 1 1 1 1 2 2 1 7 2 3 1 (2) P(? ? 0) ? ? ? P(? ? 1 )? ? ? ? ? P(? ? 2 )? ? ? 3 3 9 3 3 3 4 18 3 4 2

?
P

0 1 9

1 7 18

2 1 2

1 7 1 25 ··········· ··········· ··· 分 ························12 ·········· ··········· ··· E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 9 18 2 18

20.解法一:(1) ∵ PC⊥AB,PC⊥BC, AB ? BC ? B ∴ PC⊥平面 ABC, 又∵PC ? 平面 PAC, ∴ 平面 PAC⊥平面 ABC ······ 分 ····· 3 ····· (2) 取 BC 的中点 N,则 CN = 1,连结 AN、MN,
A

P

M

H N C B

// // ∵ PM ? CN,∴ MN ? PC,从而 MN⊥平面 ABC 作 NH⊥AC,交 AC 的延长线于 H,连结 MH,则由三垂线定理知,AC⊥NH,
5

从而 ?MHN 为二面角 M—AC—B 的平面角 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? ,∴ ∠AMN = 60 ? 在△ACN 中,由余弦定理得 AN ? AC 2 ? CN 2 ? 2 AC ?CN ?cos120? ? 3
3 ?1 3 3 3 在△CNH 中, NH ? CN ?sin ?NCH ? 1 ? ? 2 2 MN 1 2 3 在△MNH 中, MN ? tan ?MHN ? ? ? NH 3 3 2 2 3 故二面角 M—AC—B 的平面角大小为 arctan ·············9 分 ··········· ·· ·········· ·· 3

在△AMN 中, MN ? AN ?cot ?AMN ? 3 ?

(3) 由(2)知,PCMN 为正方形 ∴ VP ? MAC ? V A? PCM ? V A? MCN ? 解法二:(1) 同解法一 (2) 在平面 ABC 内,过 C 作 CD⊥CB,建立空间直角坐标系 C—xyz(如图) 由题意有 A(
3 1 , ? ,0) ,设 P(0,0,z0) 0 > 0)则 M(0,1,z0) (z , 2 2 ???? ? ??? ? 3 1 AM ? ( , ,z0 ),CP ? (0,0,z0) ? 2 2
0 由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? 得 AM ? CP ?| AM | ? | CP | cos 60 , ? ? ? ?

1 1 3 ? AC ? CN sin120 0 ? MN ? ·12 分 · · 3 2 12

z P

M

C

B

y

A ???? ? ??? ? x 3 1 ,解得 z0 = 1 ∴ CM ? (0,0, ,CA ? ( , , , 1) ? 0) z ? 3z0 2 2 2 ? y1 ? z1 ? 0 ??? ? 设平面 MAC 的一个法向量为 n ? {x1,y1,z1} ,则 ? 3 ,即 x1 = 1, 1 y1 ? z1 ? 0 ? ? 2 2 ??? ??? ? , ? 1} 得 n ? {1 3, 3} 平面 ABC 的法向量取为 m ? {0,0, ,
2 即 z0 ?

?

2 0

??? ? ??? 设 m 与 n 所成的角为 ? ,则 cos? ?

m? n
?

? ? ?

??

3 7
21 7

| m|?| n |

显然,二面角 M—AC—B 的平面角为锐角,故二面角 M—AC—B 的平面角大小为 arccos 21.(I):证明:连接 OC, ∵AB=AD= 2 ,且 O 是 BD 的中点,∴ AO ? BD 又 BD=2, ∴ AO ?

AB 2 ? BO 2 ? 1

又 CB=CD=BD=2,∴ ?BCD 是正 ? ,∴ OC ? BD,? OC ? 又 AC=2,∴ AO ? OC ? AC ,∴ AO ? OC
2 2 2

3 BC ? 3 2

而 BD ? OC ? O ,∴ AO ? 平面 BCD (II)由(I)可以 O 为原点,以 OB、OC、OA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,
6

则 O(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3 ,0),D( ? 1,0,0 ),A(0,0,1),E(
?

1 3 , ,0 ) 2 2

∴ AB ? (1,0,?1) , CD ? (?1,? 3,0), cos AB, CD ?|

?

?

?

AB? CD | AB | ? | CD |
? ?

?

?

|?

2 4

∴异面直线 AB 和 CD 所成的角是 arccos
? ?

2 . 4

(III)由(II)有 AD ? ( ?1,0 ? 1), CD ? ( ?1,? 3 ,0) 设平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1, ? , ? ) , 则由 n ? AD ,有 n ? AD ? ?1 ? ? ? 0,? ? ? ?1 由 n ? CD ,有 n? CD ? ?1 ? 3? ? 0,? ? ? ?
? ? 3 1 3 ,0) ,?1) ,又 EC ? (? , 2 2 3
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 3

∴ n ? (1,?

设点 E 到平面 ACD 的距离为 d,则 d= | EC ? n |?| ? |n|

?

1 1 ? 2 2 |? 1 1? ?1 3

21 . 7

22.解:解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A, “科目 A 补考合格”为事件 A2; “科目 B 第一次考试合 格”为事件 B, “科目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3 1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

2 1 1 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A1 ? A2 ) ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9
P (? ? 3) ? P ( A1 ? B1 ? B2 ) ? P ( A1 ? B 1 ? B2 ) ? P ( A1 ? A2 ? B2 )
? ? ? ?

2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3
P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 ) ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ?
3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 ? ? , 18 18 9

故 E? ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 1 ? 8 . 9 9 9 3 答:该考生参加考试次数的数学期望为

8 . 3
7


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