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河南省中原、豫南九校联考2015届高考数学一模试卷(理科)

河南省中原名校、豫南九校联考 2015 届高考数学一模试卷(理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 2 1.已知集合 P={x|x ﹣x﹣2≤0},Q={x|log2(x﹣1)≤1},则(?RP)∩Q 等于( ) A.[2,3] B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C. (2,3] D. (﹣ ∞,﹣1]∪(3,+∞)

2.设复数 z1=1﹣i,z2=

+i,其中 i 为虚数单位,则

的虚部为(

)

A.

i

B.﹣

C.

i

D.

3.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=( A.4 B.2 C .1

) D.﹣2

4.“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

5.在(

+

) 的展开式中,x 项的系数为(

12

)

A.C

B.C

C.C

D.C

6.双曲线 tx ﹣y ﹣1=0 的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.

2

2

)

7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的

体积为( A.

) B. C .2 D.

8.已知函数 f(x)=sin(x+ a 的取值范围是( A. (0, ] ) B.[

) ,其中 x∈[﹣

,a],若 f(x)的值域是[﹣ ,1],则实数



]

C .[



]

D.[

,π]

9.如图所示的程序框图中输出的结果为(

)

A.2

B.﹣2

C.

D.﹣

10.O 是平面上一点,A、B、C 是平面上不共线三点,动点 P 满足: λ∈[﹣1,2],已知 λ=1 时,| A.﹣2
2

= )

+λ(

+

) ,

|=2,则

?

+

?

的最大值为(

B.24

C.48

D.96

11.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 ∠AFB=90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( A. ) B. C .1 D. 的最大值为

12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,当 x>0 时,f(x+1)=f (x)+f(1) ,若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 7 个不同的公共点,则实数 k 的取 值范围为( ) A. (2 ﹣2,2 ﹣4) B. ( +2, + ) C. (2 +2,2 +4) D. (4,8)

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设五个数值 31,37,33,a,35 的平均数是 34,则这组数据的方差是__________.

14.在平面直角坐标系中,不等式组

(a 为常数)表示的平面区域的面积是 9,

那么实数 a 的值为__________. 15.表面积为 6π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的高与底面半径的比为__________. 16.有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 amk(m,k=1,2,3,…,n, n≥3) ,公差为 dm,并且 a1n,a2n,a3n,…,ann 成等差数列.若 dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1, p2 是 m 的多项式) ,则 p1+p2=__________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ ABC 面积最大时 a,b 的值. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PD⊥底面 ABCD,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点. (1)证明:DC⊥平面 PDE; (2)若 PD= AD,求面 DEP 与面 BCP 所成二面角的余弦值. =

19.从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取 3 个点,设随机变量 X 是以这三点为顶点的三 角形的面积. (1)求概率 P(X= ) ; (2)求 X 的分布列,并求其数学期望 E(X)

20.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为

,且一个焦点坐标为(

, 0) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值. 21.已知函数 f(x)=ln(x+ ) ,且 f(x)在 x= 处的切线方程为 y=g(x) . (1)求 y=g(x)的解析式; (2)证明:当 x>0 时,恒有 f(x)≥g(x) ; (3)证明:若 ai>0,且 i,n∈N )
*

ai=1,则(a1+

) (a2+

)…(an+

)≥(

) (1≤i≤n,

n

四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 ,作直线 AF 与

圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.

四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程

23.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数) ,以原点 O 为 )=4 .

极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|. (1)若对任意 a、b、c∈R(a≠c) ,都有 f(x)≤ (2)解不等式 f(x)≤3x. 恒成立,求 x 的取值范围;

河南省中原名校、豫南九校联考 2015 届高考数学一模试 卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 P={x|x ﹣x﹣2≤0},Q={x|log2(x﹣1)≤1},则(?RP)∩Q 等于( ) A.[2,3] B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C. (2,3] D. (﹣∞,﹣1]∪ (3,+∞) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:函数的性质及应用;集合. 分析:由一元二次不等式的解法求出集合 P,由对数函数的性质求出集合 Q,再由补集、交 集的运算分别求出?RP 和 (?RP)∩Q. 2 解答: 解:由 x ﹣x﹣2≤0 得,﹣1≤x≤2,则集合 P={x|﹣1≤x≤2}, 由 log2(x﹣1)≤1= 得 0<x﹣1≤2,解得 1<x≤3,则 Q={x|1<x≤3}
2

所以?RP={x|x<﹣1 或 x>2}, 且(?RP)∩Q={x|2<x≤3}=(2,3], 故选:C. 点评:本题考查交、并、补集的混合运算,以及对数不等式的解法,属于基础题.

2.设复数 z1=1﹣i,z2=

+i,其中 i 为虚数单位,则

的虚部为(

)

A.

i

B.﹣

C.

i

D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简后即可求得复数 解答: 解:∵z1=1﹣i,z2= ∴ = +i, = . 的虚部.



的虚部为



故选:B. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=( ) A.4 B.2 C .1 D.﹣2 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:计算题. 分析:先根据题设中递推式求得 a1,进而根据 S2=2(a2﹣1)求得答案. 解答: 解:∵S1=2(a1﹣1) , ∴a1=2 ∵a1+a2=2(a2﹣1) , ∴a2=4 故选 A 点评:本题主要考查了数列求和问题.属基础题. 4.“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:利用特殊值法,令 m=0,代入可以求出函数 f(x)=m+log2x(x≥1)的零点,从而进 行判断; 解答: 解:∵m<0,函数 f(x)=m+log2x(x≥1) , 又 x≥1,log2x≥0,∵y=log2x 在 x≥1 上为增函数,求 f(x)存在零点, 要求 f(x)<0,必须要求 m<0, ∴f(x)在 x≥1 上存在零点; 若 m=0,代入函数 f(x)=m+log2x(x≥1) ,

可得 f(x)=log2x,令 f(x)=log2x=0,可得 x=1, f(x)的零点存在, ∴“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”充分不必要条件, 故选 A; 点评: 此题以对数函数为载体, 考查了必要条件和充分条件的定义及其判断, 是一道基础题.

5.在(

+

) 的展开式中,x 项的系数为(

12

)

A.C

B.C

C.C

D.C

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析:在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求出 r 的值,即可求得 x 项的系 数. 解答: 解: ( + ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= ,
12

?



令 6﹣

=1,求得 r=6,故 x 项的系数为

故选:A. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于 基础题. 6.双曲线 tx ﹣y ﹣1=0 的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.
2 2

)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据题意,将双曲线化成标准形式求出渐近线为 y= x,从而 y= 2y+1=0 平行算出 t=4.由此得到双曲线的方程,进而算出它的离心率. 2 2 2 2 解答: 解:∵双曲线 tx ﹣y ﹣1=0,即 tx ﹣y =1, ∴双曲线的渐近线为 y= x, ∵一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行, ∴渐近线的斜率为 ,即 双曲线的方程为 ∴此双曲线的离心率为 e= 故选:B = ,得 t= ,得 a=2,b=1,c= =

x 与直线 x﹣

点评:本题给出含有字母的双曲线,在其渐近线与已知直线平行的情况下求双曲线的离心 率.着重考查了直线的位置关系、双曲线的简单几何性质等知识,属于中档题. 7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的

体积为( A.

) B. C .2 D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 此几何体是底面积是 S= =1 的三棱锥, 与底面是边长为 2 的正方形的四棱锥 ,即可得出.

构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为 解答: 解: 此几何体是底面积是 S=

=1 的三棱锥, 与底面是边长为 2 的正方形的 ,

四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为 ∴V= = .

点评:本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式,属于基础题. ) ,其中 x∈[﹣ ,a],若 f(x)的值域是[﹣ ,1],则实数

8.已知函数 f(x)=sin(x+ a 的取值范围是( A. (0, ] ) B.[



]

C .[



]

D.[

,π]

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:先求得 x+ ≤a+ ≤ 的取值范围,由 x+ ∈[﹣ , ]时 f(x)的值域是[﹣ ,1],可知

,可解得实数 a 的取值范围. ,a],

解答: 解:∵x∈[﹣

∴x+ ∵x+

∈[﹣ ∈[﹣

,a+ ,

], ]时 f(x)的值域是[﹣ ,1], ≤a+ ≤ ,可解得 a∈[ ,π].

∴由函数的图象和性质可知

故选:D. 点评:本题主要考察了正弦函数的图象和性质,由函数的图象和性质得到不等式 ≤a+ ≤ 是解题的关键,属于基本知识的考查.

9.如图所示的程序框图中输出的结果为(

)

A.2

B.﹣2

C.

D.﹣

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序,依次写出每次循环得到的 i,a 的值,当 i=2014 时,退出循环,输出 a 的 值为 2. 解答: 解:执行程序,有 i=1,a=2 i=2,a=﹣1 i=3,a= i=4,a=2 i=5,a=﹣1 … a 的取值周期为 3, ∵2013=3×671 ∴i=2013 时,a 的值与 i=3 时一样,即 a= ∴i=2014 时,a=2. 故选:A. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

10.O 是平面上一点,A、B、C 是平面上不共线三点,动点 P 满足: λ∈[﹣1,2],已知 λ=1 时,| |=2,则 ? + ? 的最大值为( )

=

+λ(

+

) ,

A.﹣2

B.24

C.48

D.96

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量的数量积,以及数量的加减运算,以及二次函数的性质即可求出最大值 解答: 解:由满足: 当 λ=1 时,由| ∴| 又 = + ? ?( + |=2, + ? = + )?( + ?( ﹣ + )
2 2

= +

+ λ( =

+ ,

) ,得

=λ(

+

) ,

|=2,得

+ )



=﹣λ(

﹣2λ(

+

) ) ,

=λ(2λ﹣1) (
2

=4(2λ ﹣λ)=8(λ﹣ ) ﹣2, ∵λ∈[﹣1,2], ∴当 λ=2 时,有最大值,最大值为 24, 故选:B. 点评:本题考查向量的加减运算,两个向量的数量积,体现了等价转化的数学思想,属于中 档题 11.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 ∠AFB=90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( A. ) B. C .1 D. 的最大值为
2

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析:设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义,2|MN|=a+b.再由勾股定理可得|AB| =a +b ,进而 根据基本不等式,求得|AB|的范围,即可得到答案. 解答: 解:设|AF|=a,|BF|=b, 由抛物线定义,得 AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 2 2 2 由勾股定理得,|AB| =a +b 配方得, 2 2 |AB| =(a+b) ﹣2ab,

又 ab≤
2


2

∴(a+b) ﹣2ab≥(a+b) ﹣2 得到|AB|≥ (a+b) .







=

,即

的最大值为



故选 A.

点评:本题主要考查抛物线的应用和解三角形的应用,考查基本不等式,考查了计算能力、 分析问题和解决问题的能力. 12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,当 x>0 时,f(x+1)=f (x)+f(1) ,若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 7 个不同的公共点,则实数 k 的取 值范围为( ) A. (2 ﹣2,2 ﹣4) B. ( +2, + ) C. (2 +2,2 +4) D. (4,8) 考点:函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点,且关于原点对称,利用 f(x+1)=f(x) +f(1)得到函数类似周期性特征,从而可以画出函数的草图,再利用两个临界状态的研究, 得到 k 的取值范围. 2 解答: 解:∵当 0≤x≤1 时,f(x)=x , ∴f(1)=1. ∵当 x>0 时,f(x+1)=f(x)+f(1) , ∴f(x+1)=f(x)+1, * ∴当 x∈[n,n+1],n∈N 时, 2 f(x+1)=f(x﹣1)+2=f(x﹣2)+3=…=f(x﹣n)+n+1=(x﹣n) +n+1, ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴函数图象经过原点,且关于原点对称.
2

∵直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 7 个不同的公共点, ∴当 x>0 时,直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 3 个不同的公共点, ∴由 x>0 时 f(x)的图象可知: 直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象相切位置在 x∈[1,2]时,直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图 象恰有 5 个不同的公共点, 直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象相切位置在 x∈[2,3]时,直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图 象恰有 9 个不同的公共点, ∴直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象位置情况介于上述两种情况之间. ∵当 x∈[1,2]时, 由 x ﹣(k+2)x+2=0, 令△ =0,得:k= 由 x ﹣(k+4)x+6=0, 令△ =0,得:k=2 ∴k 的取值范围为( . ) .
2 2

得:

. 得:

点评: 本题考查了函数的奇偶性、 周期性、 函数图象与性质及其应用, 本题有一定的综合性, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设五个数值 31,37,33,a,35 的平均数是 34,则这组数据的方差是 4. 考点:众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据数据 31,37,33,a,35 的平均数是 34,求出 a 的值,从而求出这组数据的方 差. 解答: 解:∵数据 31,37,33,a,35 的平均数是 34, ∴ =34,

∴a=34; ∴这组数据的方差是: s = ×[(31﹣34) +(37﹣34) +(33﹣34) +(34﹣34) (35﹣34) ] = [9+9+1+0+1]=4; 故答案为:4. 点评:本题考查了求数据的平均数与方差的问题,可以直接利用平均数与方差的公式计算, 得出正确结果.
2 2 2 2 2 2

14.在平面直角坐标系中,不等式组

(a 为常数)表示的平面区域的面积是 9,

那么实数 a 的值为 1. 考点:二元一次不等式(组)与平面区域.

分析:先画出不等式组

(a 为常数)表示的平面区域,再由三角形面积公式即

可解得. 解答: 解:由题意画出不等式组表示的平面区域,如图所示. 解得 A(﹣2,2) 、B(a,a+4) 、C(a,﹣a) , 直线 x﹣y+4=0 与 x+y=0 与 y 轴组成的三角形面积为 ?2?4=4<9. 所以 a>0 所以 S△ ABC= ×(2a+4)×(a+2)=9, 解得 a=1 或 a=﹣5(舍去) . 故答案为:1.

点评:本题主要考查如何画出二元一次不等式组表示的平面区域.

15.表面积为 6π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的高与底面半径的比为 2. 考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题:导数的概念及应用;空间位置关系与距离. 分析:设出圆柱的高为 h,底面半径为 r,由表面积公式,求出 r 与 h 的关系,写出圆柱的 体积 V 的解析式,求出 V 取最大时的 h 与 r 的比值. 解答: 解:设该圆柱的高为 h,底面半径为 r, 2 ∴表面积为 2πr +2πrh=6π, 2 即 r +rh=3, ∴h= ;

∴圆柱的体积为 V=πr h=πr ?
2 2 2

=πr(3﹣r )=3πr﹣πr ,

2

3

∴V′=3π﹣3πr , 令 V′=0, 解得 r=1,此时 V 最大; 此时 h= ∴ = =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题, 解题时应利用公式建立函数解析 式,利用导数求函数解析式的最值,是综合题. 16.有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 amk(m,k=1,2,3,…,n, n≥3) ,公差为 dm,并且 a1n,a2n,a3n,…,ann 成等差数列.若 dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1, p2 是 m 的多项式) ,则 p1+p2=1. 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:先根据首项和公差写出数列的通项公式,利用通项公式表示出数列 a1n,a2n,a3n,…, ann 中的第项减第 2 项,第 3 项减第 4 项,…,第 n 项减第 n﹣1 项,由此数列也为等差数列, 得到表示出的差都相等,进而得到 dn 是首项 d1,公差为 d2﹣d1 的等差数列,根据等差数列 的通项公式表示出 dm 的通项,令 p1=2﹣m,p2=m﹣1,得证,求出 p1+p2 即可. 解答: 解:由题意知 amn=1+(n﹣1)dm. 则 a2n﹣a1n=[1+(n﹣1)d2]﹣[1+(n﹣1)d1]=(n﹣1) (d2﹣d1) , 同理,a3n﹣a2n=(n﹣1) (d3﹣d2) ,a4n﹣a3n=(n﹣1) ( d 4 ﹣ d3 ) ,…,ann﹣a(n﹣1)n=(n﹣1) (dn﹣dn﹣1) . 又因为 a1n,a2n,a3n,ann 成等差数列,所以 a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=ann﹣a(n﹣1)n. =2,

故 d2﹣d1=d3﹣d2=…=dn﹣dn﹣1,即 dn 是公差为 d2﹣d1 的等差数列. 所以,dm=d1+(m﹣1) (d2﹣d1)=(2﹣m)d1+(m﹣1)d2. 令 p1=2﹣m,p2=m﹣1,则 dm=p1d1+p2d2,此时 p1+p2=1. 故答案为:1. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值, 考查了利用函 数的思想解决实际问题的能力,是一道中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ ABC 面积最大时 a,b 的值. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式左边利用正弦定理化简,右边利用诱导公式变形,整理后再利用两角和 与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值,即可确定出 C 的 度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值, 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值,以及此时 a 与 b 的值即可. 解答: 解: (1)∵A+C=π﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: = , =

整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sinA, ∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 4=a +b +ab≥2ab+ab=3ab, ∴ab≤ , (当且仅当 a=b 时成立) , ∵S= absinC= ab≤ , ,此时 a=b= . ,
2 2 2 2 2

∴当 a=b 时,△ ABC 面积最大为 则当 a=b=

时,△ ABC 的面积最大为

点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握 定理及公式是解本题的关键.

18.已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PD⊥底面 ABCD,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点. (1)证明:DC⊥平面 PDE; (2)若 PD= AD,求面 DEP 与面 BCP 所成二面角的余弦值.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题:空间角. 分析: (1)根据底面为含有 60 度的菱形,得△ DAB 为正三角形,从而得到 AB⊥DE,结合 PD⊥AB 利用线面垂直判定定理,即可证出 DC⊥平面 PDE; (2)分别以 DE,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,求出面 DEP 与 面 BCP 的法向量,代入向量夹角公式,可得答案. 解答: 证明: (1)∵PD⊥底面 ABCD,AB?底面 ABCD, ∴PD⊥AB 连接 DB,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ∴△DAB 为等边三角形… 又∵E 为 AB 的中点 ∴AB⊥DE 又∵PD∩DE=D ∴AB⊥底面 PDE… ∵AB∥CD ∴CD⊥底面 PDE… 解: (2)如图,分别以 DE,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴,如图建立空间直角坐标系

∴ .















点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,熟练掌握 线面垂直的判定定理是解答(1)的关键,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角 问题,是解答的关键. 19.从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取 3 个点,设随机变量 X 是以这三点为顶点的三 角形的面积. (1)求概率 P(X= ) ; (2)求 X 的分布列,并求其数学期望 E(X) 考点:离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)符合古典概型,利用概率公式求解; (2)由题意三角形的三边不可能都是正方体的棱,从而分别求概率及面积,从而列分布列 及数学期望. 解答: 解: (1)从正方体的 8 个顶点中任取 3 个点,共有 ∵正方体的棱长为 1,故若三点为顶点的角形的面积为 , 则该三角形的两边为正方体的相邻的棱, =56 种情况,

故共有 8?

=24 个, = ;

故 P(X= )=

(2)显然,三角形的三边不可能都是正方体的棱, 若恰有一边为棱,则对于每一条棱,只有 2 种选择,故 2×12=24 种, 面积为 P(X= ; )= = ; ;

故都不是棱,则为正三角形,面积为 P(X= )=1﹣ ﹣ = ;

则分布列是 X P(X) E(X)= + × + × = .

点评:本题考查了古典概型的判断与概率公式的应用及数学期望的求法,属于基础题.

20.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为

,且一个焦点坐标为(

, 0) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意可设椭圆的标准方程为:

,可得



解得即可得出. 2 (2)当直线 l 的向量存在时,设直线 l 的方程为:y=kx+m,与椭圆方程联立化为(1+2k ) 2 2 2 2 x +4kmx+2m ﹣4=0,由△ >0,化为 2+4k ﹣m >0,设 A(x1,y1) ,

B(x2,y2) ,P(x0,y0) .可得 x0=x1+x2,y0=y1+y2.代入椭圆方程.利用点到直线的距离

公式可得:点 O 到直线 l 的距离 d=

=

即可得出.当直线 l 无斜率时时,由对

称性可知:点 O 到直线 l 的距离为 1.即可得出. 解答: 解: (1)由题意可设椭圆的标准方程为: ,



,解得 a=2,b =2,

2

∴椭圆 M 的方程为



(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=kx+m, 联立
2 2

,化为(1+2k )x +4kmx+2m ﹣4=0,
2 2 2 2

2

2

2

△ =16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣4)>0,化为 2+4k ﹣m >0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) . ∴x0=x1+x2= ,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m= .

∵点 P 在椭圆 M 上,∴





+

=1,化为 2m =1+2k ,满足△ >0.

2

2

又点 O 到直线 l 的距离 d=

=

=

=

.当且仅当

k=0 时取等号. 当直线 l 无斜率时时,由对称性可知:点 P 一定在 x 轴上,从而点 P 的坐标为(±2,0) ,直 线 l 的方程为 x=±1, ∴点 O 到直线 l 的距离为 1.∴点 O 到直线 l 的距离的最小值为 .

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与 系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性,考查了分类讨论的思想方法,考 查了推理能力与计算能力,属于难题.

21.已知函数 f(x)=ln(x+ ) ,且 f(x)在 x= 处的切线方程为 y=g(x) . (1)求 y=g(x)的解析式; (2)证明:当 x>0 时,恒有 f(x)≥g(x) ; (3)证明:若 ai>0,且 i,n∈N ) 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最 值. 专题:导数的综合应用;点列、递归数列与数学归纳法;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出原函数的导函数,得到切线的斜率 k= ,再求出 f( )的
*

ai=1,则(a1+

) (a2+

)…(an+

)≥(

) (1≤i≤n,

n

值,代入直线方程的点斜式得答案; (2)令 t(x)=f(x)﹣g(x) ,求导后得到导函数的零点,进一步得到函数的极小值点, 求得 说明 ;

(3)由(1)知

,求出 f(x)在

处的切线方程,

然后证明

,得到

,进一步得到

= 论得证. 解答: (1)解:由 f(x)=ln(x+ ) ,得

,则结



∴切线的斜率 k= 又 f( )=ln ,



∴f(x)在 x= 处的切线方程为 y﹣ (2)证明:令 t(x)=f(x)﹣g(x)=

,即 y=g(x)= ,



∵ ∴当 0<x< 时,t′(x)0, ∴ 故 t(x)≥0,即 . ;



(3)证明:由(1)知,



故 f(x)在

处的切线方程为







先证



令 h(x)=

(x>0) ,



=

= ∴0<x< 时 h′(x)0. ∴ .



∴ ∵ai>0, ∴







=



∴(a1+

) (a2+

)…(an+

)≥(

) .

n

点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 考查了利用导数求函数的最值, 对于(3)的证明,关键在于对 的证明,体现了

数学转化思想方法,本题对于学生的计算能力要求过高,是难度较大的题目. 四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 ,作直线 AF 与

圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:直线与圆. 分析: (1)延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°,由已知条件求出 AB,AC, 再由切割线定理能求出 AF. (2)过 E 作 EH⊥BC 于 H,得到 EDH∽△ADF,由此入手能够证明 AD=3ED. 解答: (1)解:延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°, ∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴ , 又∵ ,∴ ,∴ , ,即 AF=3

根据切割线定理得 (2)证明:过 E 作 EH⊥BC 于 H, ∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD, ∴△EDH∽△ADF, ∴ , ,EB=2,

又由题意知 CH=

∴EH=1,∴ ∴AD=3ED.



点评:本题考查与圆有关的线段的求法,考查两条线段间数量关系的证明,是中档题,解题 时要注意切割线定理的合理运用. 四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数) ,以原点 O 为 )=4 .

极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐 标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求得椭圆上的点 到直线 x+y﹣8=0 的距离为 ,可得 d 的最小值,以及此时的 α 的 值,从而求得点 P 的坐标. 解答: 解: (1)由曲线 C1: , 即曲线 C1 的普通方程为: 由曲线 C2: . 得: , ,可得 ,两式两边平方相加得:

即 ρsinθ+ρcosθ=8,所以 x+y﹣8=0, 即曲线 C2 的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.

(2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上的点 x+y﹣8=0 的距离为 ∴当 时,d 的最小值为 ,此时点 P 的坐标为 , .

到直线

点评:本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公 式的应用,正弦函数的值域,属于基础题. 四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|. (1)若对任意 a、b、c∈R(a≠c) ,都有 f(x)≤ (2)解不等式 f(x)≤3x. 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1) 根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|, 可得 ≥1, 再根据 ( f x) ≤ 恒成立,求 x 的取值范围;

恒成立,可得 f(x)≤1,即|2x﹣1|≤1,由此求得 x 的范围. (2)不等式即|2x﹣1|≤3x,可得 ,由此求得不等式的解集. ≥ 1,

解答: 解: (1)∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+(b﹣c)|=|a﹣c|,故有 再根据 f(x)≤ 得 0≤x≤1. (2)不等式 f(x)≤3x,即|2x﹣1|≤3x,∴ 即不等式的解集为{x|x≥ }. ,求得 x≥ ,

恒成立,可得 f(x)≤1,即|2x﹣1|≤1,∴﹣1≤2x﹣1≤1,求

点评:本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属 于基础题.


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