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北京市101中学高一下学期期中考试数学试卷及答案


北京市 101 中学下学期高一年级期中考试数学试卷

考试时间:100 分钟

一、选择题 1. 若 b ? 0 ? a , d ? c ? 0 ,则 ( )

A . ac ? bd

B.

a b ? c d

C . a?c ?b?d

D . a?c ?b?d

2. 已知等比数列 ?an ? 中, 则前 9 项之和等于( B ) a1 ? a2 ? a3 ? 40 , a4 ? a5 ? a6 ? 20 ,

A . 50
2

B . 70
2

C . 80

D . 90
( )

3. 不等式 ( x ? 1)(x ? 6 x ? 8) ? 0 的解集是

A . {x x ? ?1} ? {x x ? 4}

B . {x 1 ? x ? 2} ? {x x ? 4} D . {x x ? ?1或 1 ? x ? 2 或 x ? 4}

C . {x x ? ?1} ? {x 1 ? x ? 2}

4. 已 知 点 ? 3 , 1 ? 和 ? ?4,6? 在 直 线 3x ? 2 y ? a ? 0的 两 侧 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )

A . a ? ?7 ,或 a ? 24

B . a ? 7 或 24 D . ?24 ? a ? 7

C . ?7 ? a ? 24

5. 等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,如果 a1、a2、a5 成等比数列,那么 d 等于 ( )

A.3

B. ?2

C . -2

D.2
( )

6.已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4 ,CA ? 3 ,则角 C 的大小为

A . 75° A . 0 ? a ?1

B . 60°

C . 45°

D . 30°
( )

7. 关于 x 的方程 ax 2 ? 2 x ? a ? 0 至少有一个正的实根,则 a 的取值范围是

B . a ? 0 或 ?1 ? a ? 0

C . ?1 ? a ? 0

D . ?1 ? a ? 1

8. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 恒 不 为 零 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x 、 y ? R , 都 有

f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ,若 a1 ?
范围是 ( )

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的取值 2

?1 ? A . ? , 2? ?2 ?

?1 ? B . ? , 2? ?2 ?

C . ? , 1? ?2 ?

?1

?

?1 ? D . ? ,1? ?2 ?

二、填空题 9. 在 ?ABC 中, 若 b ? c ? 3, A ? 120? ,则 ?ABC 的外接圆的半径为 __________。

?0 ? x ? 1, ? 10. 已知点 P(x,y)在不等式组 ?0 ? y ? 2, 表示的平面区域上运动,则 z ? 2 y ? 3x 的 ? 2 y ? x ? 1. ?
取值范围是____________ 11. 在三角形 ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则

sin B 的值为_____________ sin C

12. 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 33, a45 ? 153 ,则 201 是该数列的第___________项 13. 设 x>0,y>0,x+y+xy=2,则 x+y 的最小值是__________ 14. 如图,它满足(1)第 n 行首尾两数均为 n ,

(2)表中每行由 n 开始逐渐变大,然后变小,回到 n ,除每行最左侧与最右侧的数字 以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和(也就是说,第 n 行第 k 个数字等于 第 n ? 1 行的第 k ? 1 个数字与第 k 个数字的和) 。 那么第 19 行的第 2 个数比第 18 行的第 2 个数大_________;第 n 行 (n ? 2) 第 2 个数是 _______________________。

三、解答题 15. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积。 16. 如图,隔河可以看到对岸两目标 A 、 B ,但不能到达,现在岸边取相距 3km 的 C 、

?
4

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

D 两点,测得 ?ACB ? 75 , ?BCD ? 45 , ?ADC ? 30 , ?ADB ? 45 ( A 、 B 、C 、 D 在同一平面内) ,求两目标 A 、 B 间的距离。

17. 已知函数 f ? x ? ?

a ? ax ? x 2

(Ⅰ)若 f ?x ? 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围。 (Ⅱ)若 f ?x ? 在 x ? ?2,3? 上有意义, 试求 a 的取值范围。 18. 已知 a∈R,解关于 x 的不等式 ? ax ?1?? x ? 2? ? 0 19. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn。 bn
*

20. 在数列 ?an ? 中,a1 ? 0 , 且对任意 k ? N ,a2k ?1 ,a2k ,a2k+1 成等差数列, 其公差为 2 k 。 (Ⅰ)求数列中的 a4 ,a5 ,a6 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn ?

3 22 32 n2 (n ? 2) 。 ? ? ? ,证明: ? 2n ? Tn ? 2 2 a2 a3 an

【试题答案】
一、选择题 1. A 2. B 3. D 4. C 5. D 6. B 解析: 由正弦定理得 S ?

1 1 3 , BC· CA· sin C ? 3 3 ? ? 4 ? 3 ? sin C ? sin C ? 2 2 2

注意到其是锐角三角形,故 C= 60 °,选 B。 7. C 8. C 解析: f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意实数 x 、 y ? R , 都有 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) , a1 ?

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 ? 1 ? ( 1 )n an ?1 ? f (n ? 1 ) ? f (1 f )n ? ( ) an ? Sn ? 2 1 2 2 1? 2
?1 ? 则数列 {an } 的前 n 项和的取值范围是 ? ,1? 。 ?2 ?

二、填空题 9. 10.

3

??1, 4?

3 sinB 11. 5 解析:由余弦定理可得 25+AC2-10AC· cos120°=49? AC=3,由正弦定理得sinC= AC 3 AB=5。 12. 61 13. 2 3 ? 2 14. 18

n2 ? n ? 2 2

三、解答题

15. 解析:本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式 等基础知识,主要考查基本运算能力. 解: (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
4

, cos A ?

4 , 5

3? 3 ? A,sin A ? , 4 5

∴ sin C ? sin ?

2 2 7 2 ? 3? ? 。 ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 4 ? 2
3 7 2 , ,sin C ? 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

?
4

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得

∴a ?

b sin A 3 6 。 ? sin B 5 1 1 3 6 7 2 63 ab sin C ? ? ? 3? ? 。 2 2 5 10 50

∴△ABC 的面积 S ?

16. 解:如图在 ?ACD 中,

?ACD ? ?ACB ? ?BCD ? 75? ? 45? ? 120?

??CAD ? 30 ? AC ? CD ? 3
由余弦定理知 AD ?

AC 2 ? CD2 ? 2 AC ? CD ? cos120

1 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? (? ) ? 3 2
在 ?BCD 中, ?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?CDB

? 180 ? 45 ? (30 ? 45 ) ? 60
由正弦定理知:

BD CD ? sin ?BCD sin ?CBD

CD ? sin ?BCD ? BD ? ? sin ?CBD

3? 3 2

2 2 ? 2

在 ?ABD 中,由余弦定理知 AB ?

AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD ? cos45

? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?

2 ? 5 2

答:两目标 A 、 B 间的距离为 5km 。 17. 解: (Ⅰ) f ?x ? 的定义域为 R, 相当于任意实数 x , 使 a ? ax ? x ? 0 恒成立, 即? ? 0
2

成立,解得 0 ? a ? 4
2 (Ⅱ) f ?x ? 在区间 ? 2,3? 上有意义,等价于 ? ? x ? ? a ? ax ? x ? 0 在 ? 2,3? 上恒成立,

? a ?2 ? ?a?4 则? 2 ?? ? 2 ? ? 0 ? ? a ?3 ? ? a ?? 或? 2 ?? ? 3? ? 0 ?
a ? ?2 ? ? 3 ? a ?? 或? 2 ? ? ??0
总之, a ? 4 18. 解: (1)当 a=0 时,不等式的解集为 x<2; (2)当 a≠0 时,将原不等式分解因式,得 a(x+ 1 ) (x-2)<0 a ①当 a ? 0 时,原不等式等价于(x+ 1 ) (x-2) ? 0,不等式的解集为 ? ? x ? 2 ; a a ②当 ?

1

1 1 ? a ? 0 时, 2 ? ? 1 ,不等式的解集为 x ? 2 或 x ? ? ; a 2 a 1 1 时, ? 1 ? 2 ,不等式的解集为 x ? ? 或 x ? 2 ; 2 a a 1 时,不等式的解为 x ? 2 。 2

③当 a ? ? ④当 a ? ?

综上,当 a=0 时,不等式的解集为 ? ??,2? ;当 a ? 0 时,不等式的解集为 ? ? 当?

? 1 ? ,2? ; ? a ?

1 1 ? 1 ? ? a ? 0 时,不等式的解集为 ? ??, 2 ? ? ? , ?? ? ;当 a ? ? 时,不等式的解集为 2 2 ? a ?

1? ? ? ??, ? ? a? ?

? 2, ?? ? ;当 a ? ?

1 时,不等式的解集为 ? x x ? 2 2

?

19. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列。 设{bn}的公比为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
n ?1 故 bn ? b1q ? 2 ?

1 . 4

1 2 ,即{bn }的通项公式为 bn ? n ?1 . n ?1 4 4

(II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
20. ( I ) 解 : 由 题 设 可 知 , a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,

a5 ? a4 ? 4 ? 12 , a6 ? a5 ? 6 ? 18 。从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ... ? ? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4? k ? 1 ? ? .?. . ? 4 1

? 2k ? k ? 1 * ? , k ? N。
由 a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 。

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n2 ? ?1? ? 1 ? 2 所 以 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? ? 或 写 为 an ? , ? 2 2 4 ? n , n为偶数 ? ?2
n ? N *。
(III)证明:由(II)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 , 以下分两种情况进行讨论: (1)当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *? 若 m ? 1 ,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? ? ? ? 2 a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k k ?1 2k ? k ? 1? n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ?

k2 ? 2, ? k ? 2 ak
n

1? 1? 3 1 ? 2m ? 2? m ? ? 1? ? ? 1 ? ? n2 ? ? 。 2? m? 2 n
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ,从而 ? ? ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8,.... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2)当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m ? m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
n 2 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ,从而 ? ? ? 2 n ? ? 2, n ? 3,5,7,.... ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2


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