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2018版高中数学人教A版必修一课件:第一章 集合与函数 1-3-1 第1课时 函数的单调性_图文

第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间,判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数 f(x) = x 、 f(x) = x2 的图象,并指出 f(x) = x 、 f(x) =x2的图象的升降情况如何? 答案 两函数的图象如下: 函数 f(x) = x 的图象由左到 右是上升的;函数f(x)=x2 的图象在 y 轴左侧是下降 的,在y轴右侧是上升的. 答案 梳理 一般地,单调性是相对于区间来说的,函数图象在某区间上 上升,则函数在该区间上为增函数,该区间称为增区间.反之 则为减函数,相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道 函数图象是什么样的,而且用上升下降来刻画单调性很粗糙. 所以有以下定义: 设函数f(x)的定义域为I: (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, 增函数 x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x) 在区间D上 是 . (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 , 减函数 x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 . 知识点二 函数的单调区间 思考 1 f ( x) = 我们已经知道f(x)=x2的减区间为(-∞,0], 减区间为(-∞,0),这两个减区间能不能交换? 答案 x 的 1 f(x) = f(x) = x2 的减区间可以写成 ( - ∞ , 0) ,而 x x 的减区间(-∞,0)不能写成(-∞,0],因为 1 0不属于f(x) = 的定义域. 答案 梳理 一般地,有下列常识: (1) 函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在 单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区 间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D?定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 题型探究 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出 函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减 函数? 解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其 中 y =f(x) 在区间 [ - 5 ,- 2] , [1,3] 上是减函数,在区间 [ - 2,1] , [3,5]上是增函数. 解答 反思与感 悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间 是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区 间之间可用 “ , ” 分开,不能用 “∪” ,可以用 “ 和 ” 来表 示;在单调区间D上函数要么是增函数,要么是减函数,不能 二者兼有. 跟踪训练 1 性. 写出函数 y =|x2 -2x -3| 的单调区间,并指出单调 2 ? x ? -2x-3,x<-1或x>3, 解 先画出 f(x)=? 2 的图象,如图. ? ?-?x -2x-3?,-1≤x≤3 所以y=|x2-2x-3|的单调区间有(- ∞ ,- 1] , [ - 1,1] , [1,3] , [3 ,+ ∞ ) ,其中单调减区间是 ( - ∞ ,- 1] , [1,3] ;单调增区间是 [ - 1,1] , [3,+∞). 解答 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x)= x 在其定义域上是增函数. 证明 f(x)= x的定义域为[0,+∞). 设 x1 , x2 是定义域 [0 ,+ ∞) 上的任意两个实数,且 x1 <x2 , ? x1- x2?? x1+ x2? x1-x2 则 f(x1)-f(x2)= x1- x2= = . x1+ x2 x1+ x2 ∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0, x1+ x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)= x在它的定义域[0,+∞)上是增函数. 证明 反思与感 悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内 给定的区间上任意取x1,x2且x1<x2的条件下,转化为确定f(x1) 与f(x2)的大小,要牢记五大步骤:取值→作差→变形→定号 →小结. 跟踪训练2 1 x+ 求证:函数f(x)= x 在[1,+∞)上是 增函数. 证明 设x1,x2是实数集R上的任意实数,且1≤x1<x2, x2-x1 1 1 1 1 则 f(x1)-f(x2)=x1+x -(x2+x )=(x1-x2)+(x -x )=(x1-x2)+ x x 1 2 1 2 1 2 x1x2-1 1 =(x1-x2)(1-x x )=(x1-x2)( x x ). 1 2 1 2 ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,1<x1x2, x1x2-1 x1x2-1 ∴ x x >0,故(x1-x2)( x x )<0, 1 2 1 2 即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 1 ∴f(x)=x+x在区间[1,+∞)上是增函数. 证明 命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1, 且当x>0时,f(x)>1.求证:函数f(x)在R上是增函数. 证明 反思与感 悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但 可以借助题目提供的函数性质来确定 f(x1)-f(x2)的大小,这时 就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 函数. 已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒 有f(m+n)=f(m)· f(n),且当x>0时,0

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