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河北省南宫市高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式的解法教案 新人教A版必修5

一元二次不等式及其解法
一、教学内容分析 1.本节课内容在整个教材中的地位和作用. 必修五第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法共有三个课时,本节课是第一
课时,教学内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解 法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合知识的巩 固和运用具有重要的作用.许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此,一元 二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用.
2.教学重点、难点确定. 本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后,利用二次函数的图象研究一元二次 不等式的解法.只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系, 并利用其关系解不等式即可.因此,我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法, 关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系. 二、教学目标 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备 状况和学生心理认知特征,我确定了四个层面的教学目标. 第一层面是面向全体学生的知识目标:熟练掌握一元二次不等式的解法,正确理解一 元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系. 第二层面是能力目标,培养学生运用数形结合与分类讨论等数学思想方法解决问题的 能力,提高运算和作图能力. 第三层面是德育目标,通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学生 逐步渗透辨证唯物主义思想. 第四层面是情感目标,在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨论,培养学生的 合作意识和创新精神。 三、学习者特征分析 学生在初中已经学习了一元一次不等式(组)和二次函数,对不等式的性质有了初步 了。可以引导学生从图象的角度出发,并启发学生二次函数的图象是一条抛物线,其开口 方向由二次项系数决定,为突出重点做准备。 四、教学过程
这位小男孩的精神,是多么令人感动!他就快要死了也不忘自己卖报诚信灵魂那地高尚伟大

(一)联系旧知,构建新知 设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆. 问题 1:一元二次方程的解法有哪些呢?
(意图:让学生回顾一元二次方程的解法,为解一元二次不等式做准备.) 问题 2:同学们还记得二次函数吗?二次函数的形式是怎样的?你记得二次函数的性
质吗? (意图:引导学生从图象的角度出发,并启发学生二次函数的图象是一条抛物线,其开口 方向由二次项系数决定,为突出重点做准备) (二)创设情景,提出问题
首先认识植树节的图标,然后提出问题:今年的植树节我校高一年级的同学去植树时 遇到一个这样的问题,我们准备的树苗恰好能够栽满面积为 40 平方米的空地,而要绿化 的空地是一个长比宽多 6 米的矩形,那么,矩形绿化带长为多少时,准备的树苗有剩余? (设计意图:①开篇引入数学实际问题,贴近生活,直奔主题,构造悬念,激活学生的思 维兴趣;②让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.)
建立数学模型:分析:设绿化带长为 x m.
则依题意有 x? x ? 6? ? 40 .
整理得 x2 ? 6x ? 40 ? 0 .
(设计意图:体现应用问题数学化,具体问题一般化.)
明确问题:如何求出满足不等式 x2 ? 6x ? 40 ? 0 的 x 的取值?
对于 x2 ? 6x ? 40 ? 0 是个什么问题?如何解决?
(意图:1.让学生明确讨论的问题是一元二次不等式; 2.让学生自己说出一元二次不等式的定义及它的形式.) (三)合作交流,探究新知
1. 探究一元二次不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解. 容易知道:一元二次方程 x2 ? x ? 2 ? 0 的有两个实数根: x1 ? ?1或x2 ? 2 .
二次函数 y ? x2 ? x ? 2 与 x 轴有两个交点: ??1,0?和?2,0? .
思考 1:观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系?
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思考 2:观察图象,当 x 为何值时, y ? 0 ;
当 x 为何值时, y ? 0;
当 x 为何值时, y ? 0 .
(设计意图 : ①体现学生的主体性;②有利于加强对图象的认识,从而加强数形结合的 数学思想 ;③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素;④为归纳解一 元二次不等式做好准备.根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解.)
2. 探究一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解法.
组织讨论:从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的 解集,关键要考虑:
抛 物 线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴 的 相 关 位 置 的 情 况 , 也 就 是 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c =0 的根的情况,而一元二次方程根的情况是由判别式 ? ? b2 ? 4ac 三种取值 情况( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 )来确定.
(设计意图:这里我将运用多媒体图标的形式来展现出其解法思路,学生有一个完整的逻 辑思维,让学生在探究中建立知识间的联系,体会数形结合,强调突出本节的难点.) (四)数学运用,深化认知.
例 1.求不等式 2x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集. 变式为:求不等式 2x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集. 例 2.解不等式 ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 .
(设计意图:先让学生来解答例题,若教师巡视、指导,讲评学生完成情况,寻找学生中 的闪光点,给予热情表扬.) 回答开篇的数学问题,什么情况下准备的树苗会有剩余? 补充:矩形空地长为多少时,树苗正好将空地植满呢?什么时候会不够用? 目的: 强调对于实际问题还应考虑实际情况(即长度必须大于零).另外,再次巩固学生 对三个“二次”的理解. (五)练习检测,巩固收获 (1)求下列一元二次不等式的解集:
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x2 ? 5x ? 14.

?x2 ? 4x ? 6.

(2)函数 y ? x2 ? x ? 2 的定义域是 ( )

A.?x x ? ?2或x ?1?.

B.?x ?2 ? x ?1?.

C.?x ?2 ? x ?1?.

D. ?.

(设计意图:为了巩固和加深一元二次不等式的解法,让学生学以致用,接下来及时组织 学生进行课堂练习.然后就学生在解题中出现的问题共同纠正.) (六)归纳小结,强化思想
设计意图:梳理本节课的知识点,总结一元二次不等式解法的步骤:“一化,二判, 三求根,四画图,五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳,让学生掌握严谨的做题方法, 知晓本节课的重难点. (七)布置作业,拓展延伸
必做题:课本第 80 页习题 A 组 1,2.

选做题:(1)若关于 m 的一元二次方程 x2 ? (m ?1)x ? m ? 0 有两个不相

等的实数根,求 m 的取值范围.
? (2)已知不等式 x2 ? ax ? b ? 0 的解集为 x 2 ? x ? 3? ,求 a, b 的

值. (设计意图:以作业的巩固性和发展性为出发点,我设计了必做题和选做题,必做题 是对本节课内容的反馈,选做题是对本节课知识的延伸,整体的设计意图是反馈教学,巩 固提高.)

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

预设学生活动

设计意图

认识植树节的图标,然后提 出问题:今年的植树节我校高一 年级的同学去植树时遇到一个 这样的问题,我们准备的树苗恰 好能够栽满面积为 40 平方米的

①开篇引入 数学实际问题,贴 近生活,直奔主 题,构造悬念,激 活学生的思维兴

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空地,而要绿化的空地是一个长 比宽多 6 米的矩形,那么,矩形 绿化带长为多少时,准备的树苗 有剩余?
探究一元二次不等式
x2 ? x ? 2 ? 0 的解.
容易知道:一元二次方程
x2 ? x ? 2 ? 0 的有两个实数根: x1 ? ?1或x2 ? 2 .
二次函数 y ? x2 ? x ? 2 与 x 轴有两个交点:
??1,0?和?2,0? .
思考 1:观察图象一元二次方程 的根与二次函数之间有什么关 系?
思考 2:观察图象,当 x 为何值 时, y ? 0;
当 x 为何 值时, y ? 0;
当 x 为何 值时, y ? 0 .
练习检测,巩固收获 (1)求下列一元二次不等式的
解集: x2 ? 5x ? 14. ?x2 ? 4x ? 6.

趣;②让学生经历 从实际情境中抽 象出一元二次不 等式模型的过 程.)
①体现学生 的主体性;②有利 于加强对图象的 认识,从而加强数 形结合的数学思 想 ;③有利于加 强学生理解一元 二次不等式的解 相关的三个因素; ④为归纳解一元 二次不等式做好 准备.根据前面探 讨的问题引导学 生归纳一元二次 不等式的解.
为了巩固和 加深一元二次不 等式的解法,让学 生学以致用,接下 来及时组织学生
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(2)函数 y ? x2 ? x ? 2 的定
义域是 ( )
A.?x x ? ?2或x ?1?. B.?x ?2 ? x ?1?.
C.?x ?2 ? x ?1?.
D. ?.
六、教学评价

进行课堂练习.然 后就学生在解题 中出现的问题共 同纠正.)

二 一级
级指标 指标

评价具体内容

评价方式

1.回顾

1:一元二次方程的解法有哪些呢?

10

旧知识

2;二次函数的形式是怎样的?


1. 探究一元二次不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解.


2.探究 2 探究一元二次不等式

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ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的解法.



1.求不等式 2x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集

3.运用

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2.解不等式 ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 .

A.能够积极提出不懂的问题;

过程 与方法 究

B.能够就不懂的问题积极思考; 问题探
C.围绕问题,将自己的意见和想法向老师或同学表达;
D.围绕问题,能够积极与同学合作解决问题,形成小组

意见。

A.10 B.10 C.10 D.10

情感态 情感内 激发学生发现自然现象,提出问题自己寻找解决途径 10
度价值观 化与外化 热爱大自然的思想感情。

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七、教学板书 一元二次不等式及其解法
1. 探究一元二次不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解.
2. 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解法
例1 例2
八、教学反思
一元二次不等式及其解法的复习重点是 1:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2:一元二次不等式及其解法。由于是复习课,根据我们学生的实际情况,我是这样安排 复习的:一、我先给学生展示高考考纲及考情,再检测学生对一元二次不等式的概念及“三 个二次”之间关系的理解,引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握 的比较熟悉。(五六分钟)二、为了检测学生对本节知识的应用情况,我要求学生完成, 有三位学生主动板演,让其他学生批改,在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤, 以次调动学生的学习积极性,也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整 的写出解题过程,后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以(大约 12 多 分钟)。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度,我选了两个热点 题,启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生 能较熟练地运用知识,而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉,思考问 题的角度单一,思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系,没能检 查学生完成资料课时作业的对应联系。(大约 15 分钟)
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普通高等学校招生全国统一考试(The National College Entrance Examination),简称“高 考”。是中华人民共和国(不包括香港特别行政区、澳门特别行政区和台湾省)合格的高中 毕业生或具有同等学力的考生参加的选拔性考试。 普通高等学校根据考生成绩,按已确定的招生计划,德、智、体全面衡量,择优录取。高考 由教育部统一组织调度,教育部考试中心或实行自主命题的省级教育考试院命制试题 。考 试日期为每年 6 月 7 日、8 日,各省市考试科目名称与全国统考科目名称相同的必须与全国 统考时间安排一致 。2015 年 1 月 1 日年起,高考逐步取消体育特长生、奥赛等 6 项加分项 目。
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