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2020版一轮数学:4.3-平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文

第4章 平面向量、数系的扩充与复 数的引入
第三节 平面向量的数量积与平面向量应
用举例

2
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解 平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会 进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会 用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简 单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题.
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01 课前知识全通关

栏 目

02 课堂题型全突破

导 03 真题自主验效果 航

04 课后限时集训

4
课前 知识全 通 关
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5
1.向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作O→A=a,O→B=b,则∠AOB 叫做向 量 a 与 b 的夹角,向量夹角的范围是_[_0_°__,__1_8_0_°__],其中当 a 与 b 的夹角是 90°时,a 与 b 垂直,记作_a_⊥__b__,当 a 与 b 的夹角为 0°时, a∥b,且 a 与 b 同向,当 a 与 b 的夹角为 180°时,a∥b,且 a 与 b 反向.
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6
2.平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则数量
定义 _|_a_||_b_|·c_o_s_θ____叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b.规定: 零向量与任一向量的数量积为_0 __|_a_|c_o_s_θ___叫做向量 a 在 b 方向上的投影;
投影 __|_b_|c_o_s_θ___叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 意义 的乘积
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7
3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)数乘结合律:(λa)·b=_λ_(a_·_b_)__=_a_·_(λ_b_)__; (3)分配律:a·(b+c)=_a_·_b_+__a_·_c___.
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8

4.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.

结论

几何表示

坐标表示



|a|= a·a

|a|=__x_21_+__y21_

数量积 夹角

a·b=|a||b|cos θ cos θ=|aa|·|bb|

a·b=x1x2+y1y2

cos θ=

x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22

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9

a⊥b

a·b=0

|a·b|与|a||b| |a·b|≤|a||b|
的关系

__x_1x_2_+__y_1y_2_=__0_ |x1x2+y1y2|
≤ x21+y21· x22+y22

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10
[常用结论] 1.两个向量 a,b 的夹角为锐角?a·b>0 且 a,b 不共线; 两个向量 a,b 的夹角为钝角?a·b<0 且 a,b 不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 3.当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|.
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11
[基础自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的

打“×”)

(1)在△ABC 中,向量A→B与B→C的夹角为∠B.

()

(2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量 .

()

(3)若 a·b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a·b<0,则 a 和 b 的

夹角为钝角.

()

(4)a·b=a·c(a≠0),则 b=c.

()

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

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12

2.(教材改编)设 a=(5,-7),b=(-6,t),若 a·b=-2,则 t

的值为( )

A.-4

B.4

C.372

D.-372

A [a·b=5×(-6)-7t=-2,解得 t=-4,故选 A.]

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13

3.(教材改编)已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6 3,则 a 与 b 的夹角

θ 为( )

π

π





A.6 B.3 C. 3

D. 6

D [cos θ=|aa|·|bb|=-2×6 63=- 23, 又 0≤θ≤π,则 θ=56π,故选 D.]

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14
4.已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 a⊥b,则 m=________. 2 [由 a⊥b 得 a·b=0,即-6+3m=0, 解得 m=2.]

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15
5.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角 θ=120°,则向 量 b 在向量 a 方向上的投影为________.
-2 [由数量积的定义知,b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ=4×cos 120°=-2.]

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16
课堂 题型全突破
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17

平面向量数量积的运算

1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a

-b)=( )

A.4

B.3

C.2

D.0

B [因为|a|=1,a·b=-1,所以 a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12- (-1)=3,故选 B.]

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18
2.已知A→B=(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),则向量A→B在C→D方向上 的投影为 ( )

A.-3 2 2

B.-3 5

32 C. 2

D.3 5

C [因为点 C(-1,0),D(4,5),所以 CD=(5,5),又A→B=(2,1),

所以向量A→B在C→D方向上的投影为

|A→B|cos〈A→B,C→D〉=A→|BC→·DC→|D=5152=322,故选 C.]

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19

3.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,

BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则A→F·B→C的值

为( )

A.-58

1

1

B.8

C.4

11 D. 8

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20
B [如图所示,A→F=A→D+D→F. 又 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 且 DE=2EF,所以A→D=12A→B,D→F=12A→C+14A→C=34A→C, 所以A→F=12A→B+34A→C. 又B→C=A→C-A→B,则A→F·B→C=????12A→B+34A→C????·(A→C-A→B)
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=12A→B·A→C-12A→B2+34A→C2-34A→C·A→B =34A→C2-12A→B2-14A→C·A→B. 又|A→B|=|A→C|=1,∠BAC=60°, 故A→F·B→C=34-12-14×1×1×12=18. 故选 B.]

21
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22
[规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法 ?1?当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a·b=|a||b|cos 〈a,b〉. ?2?当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=?x1,y1?, b=?x2,y2?,则 a·b=x1x2+y1y2. ?3?利用数量积的几何意义求解.
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23
平面向量数量积的应用

?考法 1 求向量的模

【例 1】 (1)已知平面向量 a,b 的夹角为π6,且|a|= 3,|b|=2,

在△ABC 中,A→B=2a+2b,A→C=2a-6b,D 为 BC 中点,则|A→D|等

于( )

A.2

B.4

C.6

D.8

(2)(2019·广州模拟)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|a-2b|

=2,则|b|等于( )

A.4

B.2

C. 2 D.1

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24
(1)A (2)D [(1)因为A→D=12(A→B+A→C)=12(2a+2b+2a-6b)=2a

- 2b , 所 以 | A→D |2 = 4(a - b)2 = 4(a2 - 2b·a + b2) =

?
4×??3-2×2× ?

3×cosπ6+4????=4,则|A→D|=2.

(2)由|a-2b|=2,

得(a-2b)2=|a|2-4a·b+4|b|2=4,

即|a|2-4|a||b|cos 60°+4|b|2=4,

即|b|2-|b|=0,解得|b|=0(舍去)或|b|=1,故选 D.]

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25

?考法 2 求向量的夹角

【例 2】 (1)已知向量 a,b 满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|

=1,则 a 与 b 的夹角 θ 为( )



π

A. 4

B.4

π 2π C.3 D. 3

(2)若向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知 2a-3b 与 c 的夹角

为钝角,则 k 的取值范围是________.

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26

(1)C (2)????-∞,-29????∪????-29,3???? ∴5a2+6a·b-8b2=0.

[(1)∵(a+2b)·(5a-4b)=0,

又|a|=|b|=1,∴a·b=12,

∴cos θ=|aa|·|bb|=12.

又 θ∈[0,π],∴θ=π3,故选 C.

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27
(2)因为 2a-3b 与 c 的夹角为钝角,所以(2a-3b)·c<0,即(2k- 3,-6)·(2,1)<0,所以 4k-6-6<0,所以 k<3.又若(2a-3b)∥c, 则 2k-3=-12,即 k=-92.当 k=-92时,2a-3b=(-12,-6)=- 6c,即 2a-3b 与 c 反向.
综上,k 的取值范围为????-∞,-92????∪????-92,3????.]
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28
?考法 3 平面向量的垂直问题 【例 3】 (1)已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a⊥(ta+ b),则实数 t 的值为________. (2)已知向量A→B与A→C的夹角为 120°,且|A→B|=3,|A→C|=2.若A→P= λA→B+A→C,且A→P⊥B→C,则实数 λ 的值为________.
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29

(1)-5

7 (2)12

[(1)∵a=(1,-1),b=(6,-4),∴ta+b=(t+

6,-t-4).

又 a⊥(ta+b),则 a·(ta+b)=0,即 t+6+t+4=0,解得 t=-5.

(2)由A→P⊥B→C得A→P·B→C=0,即(λA→B+A→C)·(A→C-A→B)=0,

∴(λ-1)A→B·A→C-λA→B2+A→C2=0,

即-3(λ-1)-9λ+4=0.解得 λ=172.]

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30
[规律方法] 平面向量数量积求解问题的策略

?1?求两向量的夹角:

,要注意 θ∈[0,π].

?2?两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b?a·b

=0?|a-b|=|a+b|.

?3?求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:

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31
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a| =2,|b|=1,则|a+2b|=________.
(2)(2017·山东高考)已知 e1,e2 是互相垂直的单位向量.若 3e1 -e2 与 e1+λe2 的夹角为 60°,则实数 λ 的值是________.
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(1)2 3

(2)

3 3

[(1)法一:|a+2b|= ?a+2b?2

= a2+4a·b+4b2

= 22+4×2×1×cos 60°+4×12

= 12=2 3.

32
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33
法二:(数形结合法)由|a|=|2b|=2,知以 a 与 2b 为邻边可作出边 长为 2 的菱形 OACB,如图,则|a+2b|=|O→C|.又∠AOB=60°,所以|a +2b|=2 3.
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34
(2)由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,

| 3e1-e2|= ? 3e1-e2?2

= 3e21-2 3e1·e2+e22= 3-0+1=2.同理|e1+λe2|= 1+λ2.

所以

cos 60°=?|

3e1-e2?·?e1+λe2? 3e1-e2||e1+λe2|

= 3e21+? 23λ1-+1λ?e21·e2-λe22=2 31-+λλ2=12,

解得

λ=

3 3 .]

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35
平面向量与三角函数的综合 【例 4】 (2017·江苏高考)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3, - 3),x∈[0,π]. (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
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36

[解] (1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),a∥b, 所以- 3cos x=3sin x. 若 cos x=0,则 sin x=0,与 sin2 x+cos2 x=1 矛盾, 故 cos x≠0.

于是

tan

x=-

3 3.

又 x∈[0,π],所以 x=56π.

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(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,- 3)

=3cos x- 3sin x=2 3cos????x+π6????. 因为 x∈[0,π],所以 x+π6∈????π6,76π????,

从而-1≤cos????x+π6????≤

3 2.

于是,当 x+π6=π6,即 x=0 时,f(x)取到最大值 3;

当 x+π6=π,即 x=56π时,f(x)取到最小值-2 3.

37
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38
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ?1?题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共 线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. ?2?给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他 向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数的定义 域内的有界性,求得值域等.
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39

在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 向 量 m =

? ? ? ?

22,-

22????,n=(sin

x,cos

x),x∈????0,π2????.

(1)若 m⊥n,求 tan x 的值;

(2)若 m 与 n 的夹角为π3,求 x 的值.

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[解]

(1)因为

?
m=?? ?

22,-

22????,n=(sin

x,cos

x),m⊥n.

所以 m·n=0,即 22sin x- 22cos x=0,

所以 sin x=cos x,所以 tan x=1.

(2)因为|m|=|n|=1,所以 m·n=cosπ3=12,



2 2 sin

x-

2 2 cos

x=12,所以

sin????x-π4????=12,

因为 0<x<π2,所以-π4<x-π4<π4,

所以 x-π4=π6,即 x=152π.

40
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41
真题 自 主验效果
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1 . (2016·全 国 卷 Ⅲ) 已 知 向 量 B→A = ????12,

3??

2

? ?



B→C



? ? ? ?

23,12???? , 则 42

∠ABC=( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

A

[因为B→A=????12,

23????,B→C=????

23,12????,所以B→A·B→C=

43+

43=

3 2.

又因为B→A·B→C=|B→A||B→C|cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以 cos∠ABC

= 23.又 0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选 A.]

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43

2.(2015·全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a

=( )

A.-1

B.0

C.1 D.2

C [法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3,

从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.

法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2),

∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),

从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选 C.]

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44
3.(2014·全国卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6, 则 a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5

A [|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10, |a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减,得 4a·b=4, ∴a·b=1.]

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45
4.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=________.

7 [∵a=(-1,2),b=(m,1), ∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3). 又 a+b 与 a 垂直,∴(a+b)·a=0, 即(m-1)×(-1)+3×2=0, 解得 m=7.]

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46
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