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n个平面最多可将空间分成多少个部分


空间分成多少个部分
问题提出: 空间 n 个平面最多可将空间分成多少个部分? 问题分析: 显然,当这 n 个平面满足以下条件时,所分割的部分数是最多的。 1、 这 n 个平面两两相交; 2、 没有三个以上的平面交于一点; 3、 这 n 个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑,我们不妨试着从简单的,特殊的情况入手来寻找规律。设 n 个 平面分空间的部分数为 an ,易知 当n 当n 当n 当n

? 1 时, an ? 2 ? 2 时, an ? 4 ? 3 时, an ? 8



? 4 时,情况有些复杂,我们以一个四面体为模型来观察,可知 an ? 15 ;

从以上几种情况,很难找出一个一般性的规律,而且当 n 的值继续增大时,情况更复杂,看来这样不行。那么,我 们把问题在进一步简单化,将空间问题退化到平面问题:n 条直线最多可将平面分割成多少个部分?(这 n 条直线中, 任两条不平行,任三条不交于同一点) ,设 n 条直线最多可将平面分割成 bn 个部分,那么

? 1, 2, 3 时,易知平面最多被分为 2,4,7 个部分。 当 n ? k 时,设 k 条直线将平面分成了 bk 个部分,接着当添加上第 k ? 1 条直线时,这条直线与前 k 条直线相交
当n 有 k 个交点,这 k 个交点将第 k 条直线分割成 n 段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了 k 得递推关系式

? 1 个区域,故

bk ?1 ? bk ? (k ? 1) ,即 bk ?1 ? bk ? k ? 1 显然当 k ? 1 时, b1 ? 2 ,当 k ? 1,2, ?, n ? 1 时,我们得到 n ? 1 个式子:
b2 ? b1 ? 2 b3 ? b2 ? 3 b4 ? b3 ? 4
……

bn ? bn?1 ? n
1 2 1 (n ? n ? 2) ,即 n 条直线最多可将平面分割成 ( n 2 ? n ? 2) 个部分。 2 2 我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手,确定 bk 与 bk ?1 的递推关系,最后得出结论。 现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题,设 k 个平面将空间分割成 ak 个部分,再添加上第 k ? 1
将这 n ? 1 个式子相加,得 bn

?

个平面,这个平面与前 k 个平面相交有 k 条交线,这 k 条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第 k 平面就被这 k 条直线分割成 bk 个部分。 而这 bk 个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以,添加上这第 k

? 1个 ? 1个

--1--

平面后就把原有的空间数增加了 bk 个部分。由此的递推关系式

ak ?1 ? ak ? bk , 即 ak ?1 ? ak ? bk 当 k ? 1,2, ?, n ? 1 ,时,我们得到如下 n ? 1 个关系式 a2 ? a1 ? b1 a3 ? a2 ? b2
……

an ? an?1 ? bn?1
将这 n ? 1 个式子相加,得

an ? a1 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn?1 )
bn ? 1 2 (n ? n ? 2) , a1 ? 2 2

因为

所以

1 1 ?1 an ? 2 ? ? (12 ? 1 ? 2) ? (2 2 ? 2 ? 2) ? ? ? (n 2 ? n ? 2) 2 2 ?2
=2+

?

1 ? (12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 2

?

? ? ? (1 ? 2 ? ?(n ? 1) ? ? 2(n ? 1) ?

= n ?1?

1 ?1 1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? (n ? 1)n ? 2 ?6 2
1 (n ? 1)n(n ? 1) 6

?

= n ?1?

=

n 3 ? 5n ? 6 6
1 3 (n ? 5n ? 6) 个部分。 6

问题的解:由上述分析和推导可知,n 个平面最多可将平面分割成 巩固练习: 1、①平面上 3 条直线可将平面分成几个区域? ②空间 3 个平面可将空间分成几个部分?

③空间 5 个平面最多可将空间分成几个部分?(下转递 16 页)

--2--


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