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平面划分最多问题


划分问题及最多问题 一.直线划分平面问题。
(1)1 条直线可以把平面分成 2 个部分,如图:





(2)2 条直线可以把平面分成 3 或 4 个部分,如图:







① ③

② ④

所以,2 条直线最多可以把平面分成 4 个部分。 (3)3 条直线可以把平面分成 4 或 6 或 7 个部分,如图: ① ② ③ ④

① ④

② ⑤

③ ⑥













① ② ⑤ ③ ⑥ ④ ⑦

所以,3 条直线最多可以把平面分成 7 个部分。 (4)4 条直线呢?最多可以把平面分成几个部分? (5)n 条直线最多可以把平面分成几个部分? 分析:要 n 条直线最多把平面分成若干部分,必须 n 条直线两两相交且无 3 条过同一点,记 n 条直线最多可 以把平面分成 an 个部分,第 n 条直线与前 n-1 条直线最多 有 n-1 个交点,这些交点把第 n 条直线分成 n 段,每一 段把原来对应的部分分为两部分,所以从 n-1 条直线增 加了 1 条直线共增加了 n 个部分, 即 an-an-1=n (n>1), 累加求和得, an ? (n 2 ? n ? 2)
1 2

二.平面划分空间问题。 (1)1 个平面可以把空间分成 2 个部分,如图:





(2)2 个平面可以把空间分成 3 或 4 个部分,如图:















所以,2 个平面最多可以把空间分成 4 个部分,

(3)3 个平面可以把空间分成 4 或 6 或 7 或 8 个部分, 如图:

































① ② ③ ⑤ ⑥ ⑦ ④





③④⑤⑥⑦⑧ 所以,3 个平面最多可以把空间分成 8 个部分. (4)4 个平面最多可以把空间分成几个部分? (5)n 个平面最多可以把空间分成几个部分?

分析:记 n 个平面最多可以把空间分成 an 部分,第 n 个平 面与前 n-1 个平面最多有 n-1 条交线,这些交线把第 n 个平面分成 (n 2 ? n ? 2) 部分, 每部分把对应的空间分为两 部分,所以共增加了
1 2 1 2 (n ? n ? 2) 部分, 2
1 2

an-an-1= (n 2 ? n ? 2) , (n>1) 累加求和得, an ? (n ? 1)( n 2 ? n ? 6), n ? N ? . n 个平面把空间最多分成 (n ? 1)( n 2 ? n ? 6) 个部分.
1 6 1 6

①②③④⑤⑥⑦⑧


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