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《导数的四则运算法则练习题一


导数练习题一 一、基础过关 1.下列结论不正确的是 A.若 y=3,则 y′=0 B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 1 C.若 y=- x+x,则 y′=- +1 2 x D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x x 2.函数 y= 的导数是 1-cos x 1-cos x-xsin x 1-cos x-xsin x 1-cos x+sin x A. B. C. 1-cos x ?1-cos x?2 ?1-cos x?2 3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 ( )

b 12.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x ( 1-cos x+xsin x D. ?1-cos x?2 ( ) ) (1)求 f(x)的解析式;

B.-2 C.2 D.0 x+1 4.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于 ( x-1 1 1 A.2 B. C.- D.-2 2 2 5.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且 f′(-1)=0,则 a=________. 6.若某物体做 s=(1-t)2 的直线运动,则其在 t=1.2 s 时的瞬时速度为________. 7.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=( x-2)2; x x (3)y=x-sin cos . 2 2

)

8. 设函数 f(x)=g(x)+x2, 曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为 A.4 1 B.- 4 C.2 ( ) 1 D.- 2

1 10.若函数 f(x)= x3-f′(-1)·2+x+5,则 f′(1)=________. x 3

11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的表达式.
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练习题一答案 1.D 2.B 3.B 4.D 1 5. 2
2 2

1.A

2.D

3.A 4.B

练习题二答案 1 ? π 5π 5.?-3,1?∪[2,3) 6.?3, 3 ? ? ? ?

6.0.4 m/s 7.解 (1)方法一 y′=(2x +3)′(3x-1)+(2x +3)(3x-1)′ =4x(3x-1)+3(2x2+3) =18x -4x+9. 方法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1) =6x3-2x2+9x-3, ∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′ =18x2-4x+9. (2)∵y=( x-2)2=x-4 x+4, 1 1 1 ∴y′=x′-(4 x)′+4′=1-4·x- =1-2x- . 2 2 2 x x 1 (3)∵y=x-sin cos =x- sin x, 2 2 2 1 1 ∴y′=x′-( sin x)′=1- cos x. 2 2 8.A 10.6
2 2

7.解 由 y=f′(x)的图象可以得到以下信息: x<-2 或 x>2 时,f′(x)<0,-2<x<2 时,f′(x)>0, f′(-2)=0,f′(2)=0. 故原函数 y=f(x)的图象大致如下:

8.A

9.C

10.a≤0

1 11.解 (1)函数的定义域为(0,+∞),y′=1- ,由 y′>0,得 x>1;由 y′<0,得 0<x<1. x ∴函数 y=x-ln x 的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1). 1 1 (2)函数的定义域为{x|x≠0},y′=- 2,∵当 x≠0 时,y′=- 2<0 恒成立. 2x 2x 1 ∴函数 y= 的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞),没有单调增区间. 2x 12.解 (1)由 y=f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2,∴f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c. 由在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f′(- ? ? ?3-2b+c=6 ?2b-c=-3 1)=6.∴? ,即? 解得 b=c=-3. ? ? ?-1+b-c+2=1 ?b-c=0 故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)f′(x)=3x2-6x-3.令 f′(x)>0,得 x<1- 2或 x>1+ 2;令 f′(x)<0,得 1- 2<x<1+ 2. 故 f(x)=x3-3x2-3x+2 在(-∞,1- 2)和(1+ 2,+∞)内是增函数,在(1- 2,1+ 2)内是 减函数. 13.解 (1)由已知条件得 f′(x)=3mx2+2nx,又 f′(2)=0,∴3m+n=0,故 n=-3m. (2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2,∴f′(x)=3mx2-6mx. 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 当 m>0 时,解得 x<0 或 x>2,则函数 f(x)的单调增区间是 (-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,解得 0<x<2,则函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 综上,当 m>0 时,函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2).

11.解 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 又已知 f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式 Δ=4-4c=0, 即 c=1.故 f(x)=x +2x+1. 7 12.(1)解 由 7x-4y-12=0 得 y= x-3. 4 1 1 当 x=2 时,y= ,∴f(2)= ,① 2 2 b 7 又 f′(x)=a+ 2,∴f′(2)= ,② x 4 b 1 2a- = , ?a=1 2 2 ? 由①②得 解之得? . b 7 ? ?b=3 a+ = . 4 4 3 故 f(x)=x- . x
2

? ? ?

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