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2017_2018学年高中数学第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修2_2

第二章 推理与证明 [对应学生用书 P52] 一、合情推理和演绎推理 1.归纳和类比是常用的合情推理,都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联 想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理.从推理形式上看,归纳是由部分到整体,个别 到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.从推理所得结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在 前提和推理形式都正确的前提下, 得到的结论一定正确. 从二者在认识事物的过程中所发挥 作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证, 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得.合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 二、直接证明和间接证明 1.直接证明包括综合法和分析法: (1)综合法是“由因导果”.它是从已知条件出发,顺着推证,用综合法证明命题的逻 辑关系是:A? B1? B2? …? Bn? B(A 为已经证明过的命题,B 为要证的命题).它的常见书面 表达是“∵,∴”或“? ”. (2)分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.它是从要求证的结论 出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件,包括学过的定义、定 理、公理、公式、法则等).用分析法证明命题的逻辑关系是:B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见 书面表达是“要证……只需……”或“?”. 2.间接证明主要是反证法: 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设 错误, 从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法, 反证法是间接证明的一种方法. 反证法主要适用于以下两种情形: (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究 一种或很少的几种情形. 1 三、数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为归纳奠基,是论证的基础保证,即通过验证落 实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为归纳递推,是命题具有后继传递性 的保证,两步合在一起为完全归纳步骤,这两步缺一不可,第二步中证明“当 n=k+1 时结 论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的. ?对应阶段质量检测 二 ? ? ? ? 见8开试卷 ? 一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) 1.(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 解析:由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙的 回答可得乙去过 A 城市. 答案:A 2.周长一定的平面图形中圆的面积最大,将这个结论类比到空间,可以得到的结论是 ________. 解析:平面图形中的图类比空间几何体中的球,周长类比表面积,面积类比体积. 故可以得到的结论是:表面积一定的空间几何体中,球的体积最大. 答案:表面积一定的空间几何体中,球的体积最大 3.下列说法正确的是________.(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推 理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、 小前提和推理形式有 关 解析:如果演绎推理的大前提和小前提都正确,则结论一定正确.大前提和小前提中, 只要有一项不正确,则结论一定也不正确.故②错误. 答案:①③④ 4.“因为 AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,所以 AC,BD 互相垂直且平分.”以上推理的 大前提是________. 2 答案:菱形对角线互相垂直且平分 5.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 S1h1 V1 3 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =? ?· = × = . V2 1 ?S2? h2 4 2 8 S2h2 3 答案:1∶8 6.(陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 解析:三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此归 纳可得 F+V-E=2. 答案:F+V-E=2 7.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的一个性质为 ________. 解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的 中点对应的就是正四面体各正三角形的中心, 故可猜想: 正四面体的内切球切于四个侧面各 正三角形的中心. 答案:正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8.已知 x,y∈R ,当 x +y =________时,有 x 1-y +y 1-x =1. 解析:要使 x 1-y +y 1-x =1, 只需 x (1-y )=1+y (1-x )-2y 1-x , 即 2y 1-x =1-x +y . 只需使( 1-x -y) =0, 即 1-x =y,∴x +y =1. 答案:1 9.用数学归纳法证明 1+2+2 +…+2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 2 2 2 n-1 =2 -1(n∈N )的过程如下: n * ①当 n=1 时,左边=1,右边=2 -1=1,等式成立; 3 ②假设当 n=k(k∈N )时,等式成立,即 1+2+2 +…+2 k+1 * 2 k-1 =2 -1;

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