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向量三角函数与解三角形专项练习


高 2013 级高三数学解大题狂练之:
向量三角函数与解三角形(理)
一、2008---2012 重庆高考向量三角函数与解三角形习题 (一) 、选择题 1、 (2008 理 7) 若过两点 P1(-1,2),P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P, 则点 P 分有向线段 P P2 所成的比 ? 的 1 值为( ) (A)-

???? ?

1 3

(B) -

1 5

(C)

1 5

(D)

1 3


2、 (2008 理 10)函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是( 3 ? 2 cos x ? 2sin x
(C)[- 2,0 ] (D)[- 3,0 ]

(A)[-

2 ,0 ] 2

(B)[-1,0]

3、 (2009 理 4)已知 a ? 1, b ? 6 ,且 a ? b ? a ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.

? ?



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
? 3
2? 3 5? 6

4、 (2009 理 7)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C ,向量 m ? ( 3 sin A,sin B) , n ? (cos B, 3 cos A) ,若

m ? n ? 1 ? cos? A ? B? ,则 C =(

) A.

? 6

B.

C.

D. )

5、 (2010 理 2)已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,则 | 2a ? b |? ( A、0 B、 2 2 C、4 D、8

6、 (2010 理 6)已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 的部分图象如题(6)图所示,则( A、 ? ? 1, ? ? C、 ? ? 2, ? ? )

?
2

y
)
1

?
6

B、 ? ? 1, ? ? ?

?
6

O

? 7?
3 12

x

?
6

D、 ? ? 2, ? ? ?

?
6
2 2

( 7、 (2011 理 6)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab
的值为( ) A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

D.

2 3

3 3 sin 47? ? sin 17? cos30? 1 1 ?( ) (A) ? (B) ? (C) (D) ? 2 2 cos17 2 2 ? ? ? ? 9(2012 理 6)设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 a ? b ? ( )
8、 (2012 理 5) (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10
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为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

(二) 、填空题
10、 (2011 理 12)已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________; 11、 (2011 理 14)已知 sin ? ?

cos 2? 1 ? ?? 的值为__________; ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 ?? ? 2 ? 2? sin ? ? ? ? 4? ?
3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

12、 (2012 理 13)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 cos A ?

(三) 、解答题
? 13、 (2008 理 17)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A ? 60 , c ? 3b ,求:

(Ⅰ)

a 的值; c

(Ⅱ) cot B ? cot C 的值.

14、 (2009 理 16)设函数 f ( x) ? sin(

x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期. 4 6 8 4 (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 3

?

?

?

15、 (2010 理 16)设函数 f ( x) ? cos( x ?

2 x ? ) ? 2 cos 2 , x ? R .(Ⅰ)求 f (x) 的值域; 3 2

(Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值.

16、 (2011 理 16)设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

? ?? ?? ? ? x ? 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? ,求函 ? 3? ?2 ?

数 f ( x) 在 [

? 11?

, ] 上的最大值和最小值. 4 24

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17、(2012 理 18)设 f ? x ? ? 4 cos( ?x ? 值域; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [?

?
6

) sin ?x ? cos( 2?x ? ? ) ,其中 ? ? 0 .(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的

3? ? , ] 上为增函数,求 ? 的最大值. 2 2

二、2013 备考各地向量三角函数与解三角形试题
(一)、选填题
1. 设 ? 是第二象限角, P ? x, 4 ? 为其终边上的一点,且 cos ? ? A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

2.函数 y ? tan(2 x ? ? ) 的最小正周期是( 3.已知 ? ? (

)A. 2? )A.

?

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan 2? =( 2 5
)A.4

24 7

1 x ,则 tan ? =( ) 5 4 D. ? 3 ? ? B. ? C. D. 2 4 24 24 24 B. C. ? D. ? 25 25 7
D. ?4

4.

3 1 ? =( ? cos10 sin170?

B.2

C. ?2

5.集合 ?? | k? ?

? ?

?
4

? ? ? k? ?

?

? , k ? Z ? ,中的角所表示的范围(阴影部分)是( 2 ?



6.已知 f(x)=sin(x+

? ) gx c , () o ( s ? 2

x) ?

?
2

,则 f ( x) 的图象(



A.与 g ?x ? 的图象相同 C.向左平移

B.与 g ?x ? 的图象关于 y 轴对称 D.向右平移

? 个单位,得到 g ?x ? 的图象 2

? 个单位,得到 g ?x ? 的图象 2


7.一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么顶角的余弦值为( A.

5 18
4 13

B.

3 4

C.

3 2
) A.
120 169

D.

7 8
C. ?
120 169

? 5 8.已知 sin(x ? ) ? ? , 则 sin 2x 的值等于(
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

B.

119 169

D. ?

119 169

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9.定义行列式运算

a1 a3

a2 a4

? a1 a 4 ? a 2 a3 .将函数 f ( x) ?
)A. ?

sin 2 x cos 2 x

? 3 的图象向左平移 个单位,以下是 6 1
C. ?

所得函数图象的一个对称中心是(

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? , 0? ? 12 ?

10.把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半, 纵坐标保持不变, 再把图像向左平移 ? 个单位,这时对应于这个图像的解析式是( A、 y ? cos 2 x B、 y ? ? sin 2 x ) C、 y ? sin(2 x ? ? )

4

4

D、 y ? sin(2 x ? ? )

4

2 11.函数 y ? 1 sin 2 x ? 3 cos x ?

2

3 的最小正周期等于( 2

)A、 ?

B、2 ? )

C、 ?

4

D、 ?

4

12.若 2? ? ? ? ? ,则函数 y ? cos ? ? 6sin ? 的最大值和最小值为( A、最大值为 2,最小值为 1 ; B、最大值为 2,最小值为 0; D、最大值 7,最小值为-5;

2

C、最大值为 2,最小值不存在;

13.函数 y ? 2sin(? x ? ?) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式可能是( (A) (B) (C) (D)



y ? 2sin(2 x ? ) 4 y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16


?

?

14.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等腰三角形”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

15.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ?

π )的部分图象如 2


右图所示, 为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象, 则只需将 f ( x) 的图象 (

π 个长度单位 6 π (C)向左平移 个长度单位 6
(A)向右平移 16.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? 17.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

π 个长度单位 12 π (D)向左平移 个长度单位 12
(B)向右平移

?
3

3 ,则 sin 2? ? ( 5

) A. ?

24 25

B. ?

12 25

C.

12 24 D. 25 25
)

) 的图象,只要将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点(

1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3
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? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 5? ? 18.已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 和 x = 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻的对称轴,则 4 4 ? ? ? 3? ) A. B. C. D. ? =( 4 4 3 2
B.向左平移 19. 设等差数列 ?an ?满足:

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 d ? (?1, 0) . 若当 sin(a4 ? a5 )
)

且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A. ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C. ? , ? 6

? 7?

4? ? 3 ? ?

D. ? , 2 ? ? 3 ?

? 4?

3? ?

(二) 、填空题
20.设 f ?x? ? a sin 2 x ? b cos2 x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒成立,则以 ?6?

下结论正确的是___________ 写出所有正确结论的编号) ① f ? ( .

? 11? ? 12

7? ? ? ? ? 0 ; ② f ( 12 ) ? f ( 5 ) ; ③ ?

? 2? ? ? f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数; ④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ?k ? Z ?; 6 3 ? ? ?
⑤ 经过点 ? a, b ? 的所有直线均与函数 f ? x ? 的图象相交.

21.若锐角 ? , ? 满足 (1 ? 3 tan ? )(1 ? 3 tan ? ) ? 4 ,则 ? ? ? ? _______________; 22.已知 ? 为第二象限角,则 cos ? 1 ? tan ? ? sin ? 1 ?
2

1 ? ____________; tan 2 ?

23.把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 6

y ? f (x) 图象,对于函数 y ? f (x) 有以下四个判断:①该函数的解析式为 y ? 2sin(2x ?
图象关于点 (

?
6

) ; ②该函数

?

④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0, ] 上的最小值为 3 , ,0) 对称; ③该函数在 [0, ] 上是增函数; 2 3 6

?

?

则 a ? 2 3 .其中,正确判断的序号是___________________; 24.在 △ABC 中,若 b ? 2 2 , c ? 1 , tan B ? 2 2 ,则 a =_________; 25.若 sin ? ? ?

3 ,且 tan ? ? 0 ,则 cos? ? __________; 5

26.已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1, sin C ? 3 cos C ,则 ?ABC 的面积为______;
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27.在△ ABC 中,若 ?B ?

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4

; ;

28.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 7 ,则 BC 边上的高等于 29.已 知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? [? 域是 [ ?

π 6

? π , a] .当 a ? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 的值 3 6

1 ,1] ,则 a 的取值范围是______; 2

30.已知 ? 、 ? ? (0, ? ) ,且 tan(? ? ? ) ?
31.已知函数

的图像与 y 轴交与 P, x 轴的相邻两个交点记为 A, 若△PAB 与 B, f ( x) ? 2sin(? x ? )( ? >0) 6 的面积等于 ? ,则 ? ? ; 32.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 2b ? 2a ,logsin 2 b ? logsin 2 c ,

?

1 1 , tan ? ? ? , 2? ? ? ? 2 7



??? ??? ? ? AB ? BC ? 0 ,则 cos B ? sin C 的取值范围是 b ? c ? a ? 3bc ,若
2 2 2

________; ;

33.函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是

34. 在 三 角 形 ABC 中 , ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b, c , 其 外 接 圆 的 半 径 R ?

5 6 ,则 36

(a 2 ? b 2 ? c 2)(

1 1 1 ? 2 ? 2 ) 的最小值为___________. 2 sin A sin B sin C

(三) 、解答题
1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , p ? ?2a,1?, q ? ?2b ? c, cosC ? 且 p ∥ q ,求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1的取值范围. 1 ? tanC

2.设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a, c 的值.

3.设锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (1, sin A ? 3 cos A) ,n ? (sin A, 已知 m 与 n 共线.[金 求角 B 的取值范围.[
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3 ), 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,c ? 4 3 sin B ,且△ ABC 的面积小于 3 ,

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 csinA=acosC. 3sinA-cos ( B ?

(1)求角 C 的大小;

(2)求

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

C 5. [2011· 江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别是 a,b,c ,已知 sinC+cosC=1-sin . 2 2 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a +b =4(a+b)-8,求边 c 的值.

6.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a,b,c,向量 m ? ( 2 cos 且 m⊥ n. (1)求角 C; (2)若 a ? b ?
2 2

C C 2 n , sin C ), = (cos , sin C ) , ? 2 2

1 2 c ,试求 sin( A ? B) 的值.[金太阳新课标资源网 2

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7.已知点 A(1,1), B(1, ?1), C( 2 cos? , 2 sin ? )(? ? R) , 为坐标原点. I) | B ? A | ? 2, 求2 O ( 若 C B sn i 的值;

??? ??? ? ?

?

(II)若实数 m, n 满足 mOA ? nOB ? OC, 求(m ? 3)2 ? n2 的最大值.金太阳新课标资源网

??? ?

??? ?

??? ?

HTTP://WX.JTYJY.COM/]

cosA-2cosC 2c-a 8. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c. 已知 = . cosB b sinC 1 (1)求 . (2)若 co sB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. sinA 4

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1 10. [2011· 湖北卷] 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值.

11.已知函数 f ( x) ? cos(

π π 1 ? x) cos( ? x) ? sin x cos x ? 3 3 4

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和最大值; (2)求函数 f ? x ? 单调递增区间.

12.设 f ( x) ? 6 cos2 x ? 2 3 sin x cos x .(Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f (x ) 的图象向右平移

g ( x) ? 3 ? ? 个单位,得 y ? g (x) 的图象,求 F ( x) ? 在 x ? 处的切线方程. 3 4 2 3x

13.已 知 A, B 是直 线 y ? 0 与函数 f ( x ) ? 2 cos
2

?x
2

? cos( x ? ?

?
3

? ?? ) 1(

0) 像 的两个相 邻交点 , 图

| AB |?

?
2

.

(1)求 ? 的值;

(2)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若

3 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 的面积为 3 3 ,求 a 的值. 2

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14.已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x,?1) .

(2)设函数 f ?x? ? 2 a ? b ? b ,已知在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3, b ? 2 ,

? ?

3 4

(1)当 a ∥ b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
2

sin B ?

? ? 6 ,求: f ? x ? ? 4 cos( 2 A ? ) ( x ? [0, ]) 的取值范围. 6 3 3

15.在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足 3a ? 2b sin A . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 5 ,且 b ? 7 ,求 ?ABC 的面积.

16.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3sin 2 x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [0,

?
4

] 上的取值范围.

17.已知函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x ,求 x ? [0, ? ] 时函数 y 的最值.

3

18.已知函数 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)

求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.

? ? 4 2

x x x cos ? cos2 ? 1. 2 2 2 ? ?? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ , ] 上的最小值. ? ?
19.已知函数 f ( x ) ? sin
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(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间;

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20.已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? a . (1)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?

3 ? ? , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 6 3

21.已知函数 f ?x ? ? sin (
2

?
4

? x) ?

3 cos 2 x .(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; 2

(2)函数 f (x) 的图象经过怎样的变换可以得到 y ? sin 2 x 的图象?

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 sin(? ? ? ) 的值; 5 13 ??? ??? ? ? 3 (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求 OA ? OB 的值. 2
(Ⅰ)若点 A 的横坐标是

y B A

O

x

23.已知函数 f ? x ? ?

x x x 1 3 sin cos ? cos 2 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 2 2 2 2
(2)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

24.已知 sin( A ? 的值域.

π 7 2 5 π π )? , (Ⅰ) cos A 的值; (Ⅱ) 求 求函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin A sin x A? ( , ) . 4 10 2 4 2

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25.已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos x ?
2

[?

? ?

1 . (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 2

, ] 的最大值和最小值. 8 2

26.在△ ABC 中,已知 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B . 求△ ABC 的面积.

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 , A ?

? , 4

27.已知 a ? (2cos x ? 2 3sin x,1) , b ? ( y,cos x) ,且 a // b .

?

?

?

?

(I)将 y 表示成 x 的函数 f ( x) ,并

求 f ( x) 的最小正周期; (II)记 f ( x) 的最大值为 M , a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、

A C 对应的边长,若 f ( ) ? M , 且 a ? 2 ,求 bc 的最大值. 2
28.已知复数 z1 ? sin 2 x ? ?i , z2 ? m ? (m ? 3 cos 2x)i (?, m, x ? R,) ,且 z1 ? z2 . (1)若 ? ? 0 且

0? x??

,求 x 的值; (2)设 ? = f ( x) ,已知当 x ? ? 时, ? ?

1 ? ,试求 cos(4? ? ) 的值. 2 3

29.已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos2x. 的对称中心的坐标;

(1)求 f(x)的单调递减区间;

(2)求 f(x)图象上与原点最近

(3)若角 α,β 的终边不共线,且 f(α)=f(β),求 tan(α+β)的值.

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30.已知函数 f ( x) ?

3 1 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)设 ?ABC sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2
3 , f (C ) ? 9 , sin B ? 2sin A ,求 a, b 的值.

的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 c ?

31.如图,角 ? 的始边 OA 落在 x 轴上,其始边、终边分别与单位圆交于点 A、C (0 ? ? ? 边三角形. (1)若点 C 的坐标为( 析式和值域.

?
2

) ,△AOB 为等

4 3 2 ,求 (2)设 f (? ) ?| BC | ,求函数 f( ? )的解 , ) cos∠BOC 的值; 5 5

32. 已知向量 m =( cos ? x,sin ? x) n =(cos ? x,2 3 cos ? x-sin ? x) ? >0,函数 f(x) , , = m · n +| m |,且函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

??

?

??

?

??

? .(1)求 ? 的值.(2)作出函数 f 2
3 , 2

(x)在[0, ? ]上的图象.(3)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,f(A)=2,c=2, S ?ABC ? 求 a 的值

33、已知 a ? (sin x,1) , b ? (1,cos x) ,且函数 f ( x) ? a ? b , f '( x ) 是 f (x ) 的导函数.[ om/ ] (1)求函数 F ( x) ? f ( x) f ?( x) ? f ( x) 的最大值和最小正周期;
2

?

?

? ?

(2)若 f ( x) ? 2 f '( x) ,求

1 ? sin 2 x 的值. cos 2 x ? sin x cos x

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 12 页 共 48 页

一、2008---2012 重庆高考向量三角函数与解三角形习题(理)参考答案 (一) 、选择题 1、 A 2、B 3、C (二) 、填空题 10、 3 11、 ?

4、C

5、B

6、D

7、A 8、C 9、B

14 2

12、 c ?

14 5

(三) 、解答题 13、解: (Ⅰ)由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2b cos A = ( 1 c) 2 ?c 2 ? 2?1 c?c?1 ? 7 c 2 , 故 a ? 7 . 3 3 2 9 c 3
(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C =

cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C sin B sin C

由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3
故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) a 2 ? c 2 ? b2 9 5 3 = cos B ? ? . 2ac 7 2 7 2? c? c 3
故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? 同理可得

25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 2 c ? c ?c a 2 ? b2 ? c 2 9 1 9 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3
sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? 1 3 3 ? . 28 2 7

从而 cot B ? cot C ?

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9
高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 13 页 共 48 页

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

14、解: (Ⅰ) f ( x) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? ? ? sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) 2 4 2 4 4 3

故 f ( x) 的最小正周期为 T =

2? =8 ? 4

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] = 3 sin[ ? x ? ] = 3 cos( x ? ) 4 3 2 4 3 4 3 4 3 ? ? ? 2? 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3

?

?

?

?

?

?

?

? 3 g m a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] , 且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称, 故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x) = 3 sin( 当

4 3

2 3

4 3

?

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6
4 3

x? ) 4 3

?

2 3

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 sin 15、解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x cos

?
6

?

3 2

2 2 ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 3 3

1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2
? 1 3 cos x ? sin x ? 1 2 2

5 ? sin(x ? ? ) ? 1 , 6
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因此 f (x) 的值域为 [0,2] . (Ⅱ)由 f ( B) ? 1 得 sin(B ? 故B ?

?
6

5 5 ? ) ? 1 ? 1 ,即 sin(B ? ? ) ? 0 ,又因 0 ? B ? ? , 6 6

.
2

2 2 2 解法一:由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2 .

解法二:由正弦定理 当C ?

3 ? 2? b c ,C ? 或 ,得 sin C ? . ? 2 3 3 sin B sin C

?

3 2 ? ? 2? 当C ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 . 6 6 3 故 a 的值为 1 或 2.
16、解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x

时, A ?

?

,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ;

?
由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2
3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 2 2 2

?
3

) ? f (0)得 ?

因此 f ( x) ? 当 x ?[

, ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为增函数, 4 3 6 3 2 ? 11? ? ? 3? ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为减函数, 当 x ?[ , 3 24 6 2 4 ? 11? ? ]上的最大值为f ( ) ? 2. 所以 f ( x)在[ , 4 4 3 ? 11? ) ? 2, 又因为 f ( ) ? 3, f ( 4 24 ? 11? 11? 故 f ( x)在[ , ] 上的最小值为 f ( ) ? 2. 4 24 24
17、 (2012 理 18) f ( x) ? 4 cos(? x ? 设 若 f ( x) 在 [?

? ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6

?

?

? ?

?
6

) ? cos(2? x ? ? ) 其中 ? ? 0(Ⅰ) 求函数 y ? f ( x) 的值域; (Ⅱ)

3? ? , ] 上为增函数,求 ? 的最大值 2 2 1 【答案】(Ⅰ) [1 ? 3,1 ? 3] (Ⅱ) : 6
【解析】: :(Ⅰ) f ( x) ? 4(

3 1 cos ? x ? sin ? x)sin ? x ? cos 2? x 2 2

[来源:Z*xx*k.Com]

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 15 页 共 48 页

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ( x) 的值域为 [1 ? 3,1 ? 3]

(Ⅱ) y ? sin x 在每个闭区间 [2k? ? 因 ( ? ? 0 ) 在每个闭区间 [

?
2

, 2 k? ?

?
2

] (k ?Z ) 上为增函数,故 f ( x) ? 3 sin 2? x ? 1

k?

?

?

? k? ? , ? ] ( k ? Z )上为增函数 4? ? 4?

二、2013 备考各地向量三角函数与解三角形试题参考答案 (一) 、选择题 1.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理】 设 ? 是第二象限角, P ? x, 4 ? 为其终边上的一点,且

1 cos ? ? x ,则 tan ? =( ) 5 4 3 A. B. 3 4
【答案】D 【解析】 因为 ? 是第二象限角, 所以 cos ? ?

C. ?

3 4

D. ?

4 3

1 1 cs ? ? x ? o x?0 x?0 5 5 , 即 。 又

x x ? 16 , 解得
2

x ? ?3



所以

tan ? ?

4 4 ? ? ,选 D. x 3

2.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测理】函数 y ? tan(2 x ? ? ) 的最小正周期是 A. 2? 【答案】C B. ? C.

? 2

D.

? 4

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高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 16 页 共 48 页

【解析】根据正切函数的周期公式可知最小正周期为 T ?

? ? ? ,选 C. ? 2

3.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测理】已知 ? ? ( A.

24 7

B.

24 25

C. ?

24 25

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan 2? = 2 5 24 D. ? 7

?

【答案】D 【 解 析 】 因 为

2 5 3 2 ? (? ) 2 tan ? 4 ? ? 24 ,选 D. tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? (? 3 )2 7 4

? 3 4 3 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 所 以 c o? s? ? , 所 以 tan ? ? ? 。 所 以
5 4

4.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测理】 A.4 【答案】D 【解析】 B.2 C. ?2

3 1 ? = ? cos10 sin170?
D. ?4

3 1 3 1 3 sin10? ? cos10? 2sin(100 ? 30? ) ? ? ? ? ? cos10? sin170? cos10? sin10? sin10? cos10? sin10? cos10?

?

2sin(?200 ) ?2sin 200 ? ? ?4 ,选 D. 1 sin100 cos100 0 sin 20 2

5.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】集合 ?? | k? ? 范围(阴影部分)是

? ?

?
4

? ? ? k? ?

?

? , k ? Z ? ,中的角所表示的 2 ?

【答案】C 【解析】当 k ? 2n 时, 2n? ? 时, 2n? ? ? ?

?
4

? ? ? 2n? ?

?
2

,此时 ? 的终边和

?
4

?? ?

?
2

的终边一样。当 k ? 2n ? 1

?
4

? ? ? 2n? ? ? ?

?
2

,此时 ? 的终边和 ? ?

?
4

?? ?? ?

?
2

的终边一样。所以选 C.

6.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】已知 f(x)=sin(x+ 图象 ( )

? ) gx) c , ( o ( ? s 2

x) ?

?
2

,则 f ( x) 的

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高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 17 页 共 48 页

A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称

? 个单位,得到 g(x)的图象 2 ? D.向右平移 个单位,得到 g(x)的图象 2
C.向左平移 【答案】D 【解析】因为 g ( x) ? cos( x ? 象,选 D. 7.【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么顶 角的余弦值为 A.

?

) ? cos( ? x) ? sin x ,所以 f ( x) 向右平移 个单位,可得到 g ( x) 的图 2 2 2

?

?

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

【答案】D

(2 x)2 ? (2 x)2 ? x 2 7 ? 。选 D. 【解析】设底边长为 x ,则两腰长为 2x ,则顶角的余弦值微微 cos ? ? 2 ? 2x ? 2x 8
? 5 8.【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】已知 sin(x ? ) ? ? , 则 sin 2x 的值等于
4 13

A.

120 169

B.

119 169

C. ?

120 169

D. ?

119 169

【答案】D
? 5 【解析】因为 sin(x ? ) ? ? , 所以
4 13

2 5 1 25 ,解得 (sin x ? cos x) ? ? ,两边平方得 (1 ? sin 2 x) ? 2 13 2 169

sin 2 x ? ?

119 ,选 D. 169

a1 a2
9.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学 (理) 】定义行列式运算

a3 a4

= a1 a 4

? a 2 a3 .将

函 数 f ( x) ? ( A. ? )

sin 2 x cos 2 x

? 3 的图象向左平移 个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是
1

6

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

C. ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? , 0? ? 12 ?

【答案】B 【解析】根据行列式的定义可知 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x =2sin(2 x ?
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

?
3

) ,向左平移

? 个单位得到 6

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 18 页 共 48 页

g ( x) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin 2 x ,所以 g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以 ( , 0) 是函数 6 3 2 2 2
的一个对称中心,选 B. 10.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原 来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移 ( ) B、 y ? ? sin 2 x C、 y ? sin(2 x ? ? )

?

?

?

?

?

? 个单位,这时对应于这个图像的解析式是 4
D、 y ? sin(2 x ? ? )

A、 y ? cos 2 x 【答案】A

4

4

把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半, 纵坐标保持不变, 得到 y = sin 2 x 【解析】 的图象,再把图像向左平移 ? 个单位,得到 y = sin 2( x ?

?
4

4

) ? sin(2 x ?

?
2

) ? cos 2 x ,所以选 A.

2 11.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】函数 y ? 1 sin 2 x ? 3 cos x ?

2

3 的最小正周期等于 2

( A、 ? 【答案】A

) B、2 ? C、 ?

4

D、 ?

4

【 解 析 】 y=

1 1 ? cos 2 x 3 1 3 ? sin 2 x ? 3 ? ? = sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) , 所 以 函 数 的 周 期 2 2 2 2 2 3

T?

2?

?

?

2? ? ? ,选 A. 2

12.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】若 2? ? ? ? ? ,则函数 y ? cos ? ? 6sin ? 的最大值 和最小值为 ( )

A、最大值为 2,最小值为 1 ;

2

B、最大值为 2,最小值为 0; D、最大值 7,最小值为-5;

C、最大值为 2,最小值不存在; 【答案】D 【 解 析 】 因 为

2? ? ? ? ?







? ? ? ? 2?







y ? cos(? ? 2? ) ? 6sin ? ? ? cos 2? ? 6sin ?

? ? cos 2? ? 6sin ? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? 6sin ?

3 11 ? 2sin 2 ? ? 6sin ? ? 1 ? 2(sin ? ? ) 2 ? ,因为 ?1 ? sin? ? 1,所以当 sin ? ? 1 时,函数值最小为 2 2
2 ? 6 ? 1 ? ?5 。当 sin ? ? ?1时,函数值最大为 2 ? 6 ? 1 ? 7 ,选 D.
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13.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】函数 y ? 2sin(? x ? ?) 在一个周期内的图象如图所示,则

此函数的解析式可能是 (A) (C) 【答案】B

y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8

?

(B) (D)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16

?

T 5? ? ? 2? ? ? ? ,所以函数的周期 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 。所以 2 8 8 2 ? ? ? ? ? ? y ? 2 sin(2x ? ? ), y ? f ( ) ? 2 n 2 s i ( ) 2 ?? ? , ? 又 所以 sin( ? ? ) ? 1 , 即 ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 4 2 8 8 4 ? ? 所以 ? ? ? 2k? ,所以 y ? 2sin(2 x ? ) ,选 B. 4 4
【解析】由图象可知 14.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则 “ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等腰三角形”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

C 【解析】若 a ? 2b cos C , 由正弦定理得 sin A ? 2sin B cos C ,即 sin(B ? C ) ? 2 sinB cos ,所以
B Cs sin( B ? C) ? 2sin B cos C ? sin B cos C ? cos B sin C , 即 s i n c o ? cB s C i n 所 以 o ? , s 0

sin( B ? C ) ? 0 ,即 B ? C ,所以 ?ABC 是等腰三角形。若 ?ABC 是等腰三角形,当 A ? B 时,

a ? 2b cos C 不一定成立,所以“ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件,选
A. 15.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 的部分图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象( )

π ) 2

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高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 20 页 共 48 页

π 个长度单位 6 π (C)向左平移 个长度单位 6
(A)向右平移 【答案】A 【解析】由图象知 A ? 1,

π 个长度单位 12 π (D)向左平移 个长度单位 12
(B)向右平移

T 7 ? ? 2? ? ? ? ? ,所以 T ? ? 。又 T ? ? ? , 所以 ? ? 2 。此时函数为 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? ? ? ? ) ? ?1 , 即 sin( ? ? )? ? 1 所 以 sin( ? ? )? 1 即 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 。 f ( ) ? sin(2 ? , , 12 12 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 解 得 ? ? ? 2k? , k ? Z , 所 以 f ( x) ? s ? x (。 又 i n 2 6 2 3 3 g ( x) ? s i ?n 2 x

)

?

? i n? [ ( ? s x 2 3 3

?

?

x) ? ] ? s n ? 2 ( ) ] ,所以直线将i f ( x) [ sin(2 x ? ) 向右平移 个 6 3 6 3

?

?

?

单位就能得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象,选 A. 16. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】 已知 ? 为第二象限角,sin ? ? ( A. ? )

3 , si 2 ? ? 则 n 5

24 25

B. ?

12 25

C.

12 25

D.

24 25

【答案】A 【解析】因为 ? 为第二象限角,所以 cos ? ? ? A. 17.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】为了得到函数 y ? sin(2 x ?

3 4 24 4 ,所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ? ,选 5 5 25 5

?
3

) 的图象,只要将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点(
A.向左平移

)

1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
【答案】A
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【解析】 y ? sin x 向左平移

1 ? ? 个单位得到 y ? sin( x ? ) ,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍, 2 3 3

y ? sin(2 x ? ) 3 ,所以选 A. 纵坐标不变,得到函数
18.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】已知 ? >0,0 ? ? ? ? ,直线 x = 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻的对称轴,则 ? =( A . )

?

5? ? 和x= 是 4 4

? 4

B .

? 3

C .

? 2

D .

3? 4

【答案】A 【解析】由题意可知

T 5? ? 2? ? ? ? ? ,所以函数的周期为 T ? 2? 。即 T ? ? 2? ,所以 ? ? 1 ,所以 2 4 4 ?

f ( x) ? sin( x ? ? ) ,所以由 f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 2k? ,所以 ? ? ? 2k? ,所以当 4 4 4 2 4

?

?

?

?

?

4 19. 设等差数列 ?an ?满足:

k ? 0 时, ? ?

?

,所以选 A.

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 公差 d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 时, 数列 ?an ?的 ? 1, sin(a4 ? a5 )
前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( B A. ? ) D. ? , 2 ? ? 3 ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C. ? , ? 6

? 7?

4? ? 3 ? ?

? 4?

3? ?

20.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(理) 】设

f ? x ?=asin2x+bcos2x ,其中

?? ? a, b ? R, ab? 0 . 若 f ? x ? ? f ? ? 对一切 x ? R 恒成立,则以下结论正确的是___________(写出所有 ?6?
正确结论的编号) . ① f?

? 11? ? 12

7? ? ? ? ? 0 ; ② f ( 12 ) ? f ( 5 ) ; ?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数;

④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ?k ? Z ?; 6 3 ? ? ? ⑤ 经过点 ? a, b ? 的所有直线均与函数 f ? x ? 的图象相交.

?

?

2? ?

【答案】① ③ ⑤ 【解析】 f ( x) ? 且周期为 T ?

? ? a 2 ? b2 sin(2 x ? ? ),? 为参数。因为 f ( x ) ? f ( ) ,所以 x ? 是三角函数的对称轴, 6 6
2?

?

?

? ? 2? ? ? ,所以 2 ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,所 6 2 2

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 22 页 共 48 页

??

?
6

? k? , k ? Z ,所以

f ( x) ? a 2 ? b 2 sin(2 x ?

?

? k? ) ? ? a 2 ? b 2 sin(2 x ? ) .① 6 6

?

11? 11? ? f( ) ? ? a 2 ? b 2 sin(2 ? ? ) ? ? a 2 ? b 2 sin 2? ? 0 ,所以正确。 12 12 6
② f(

7? 4? 3 2 2 ) ? ? a 2 ? b2 sin( ) ? a ?b , 12 3 2

17? 2? 3 ? 2? ? 17? ? sin ? ,所以 f ( ) ? ? a 2 ? b2 sin( ? ) ? a 2 ? b 2 sin( ) ,因为 sin 30 3 2 5 5 6 30

? 7? ? 3 2 f( ) ? a ? b 2 ,所以 f ( ) ? ,所以②错误。③函数既不是奇函数也不是偶函数,所以 5 12 5 2
③正确。因为 f ( x) ?

a 2 ? b 2 sin(2 x ?

?

? k? ) ? ? a 2 ? b 2 sin(2 x ? ) ,所以单调性需要分类讨 6 6

?

论,所以④不正确。假设使经过点(a,b)的直线与函数 f ( x) 的图象不相交,则此直线须与横轴平
2 2 2 行,且 b ? a2 ? b2 ,即 b ? a ? b ,所以矛盾,故不存在经过点(a,b)的直线于函数 f ( x) 的

图象不相交故⑤正确。所以正确的是① ③ ⑤。 (二) 、填空题 21.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】若锐角 ? , ? 满足 (1 ? 3 tan ? )(1 ? 3 tan ? ) ? 4 ,则

? ? ? ? _______________
【答案】

? 3

【解析】因为 (1 ? 3 tan ? )(1 ? 3 tan ? ) ? 4 ,所以 1 ? 3(tan ? ? tan ? ) ? 3tan ? tan ? ? 4 , 即 3(tan ? ? tan ? ) ? 3 ? 3tan ? tan ? =3(1 ? tan ? tan ? ) , 即 tan ? ? tan ? = 3(1 ? tan ? tan ? ) , 又 tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? =

tan ? ? tan ?

? 3(1 ? tan ? tan ? ) = 3 ,所以 ? ? ? ? 。 1 ? tan ? tan ? 3
理】已知 ? 为第二象限角,则

22. 【 北 京 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 二 次 月 考

cos ? 1 ? tan 2 ? ? sin ? 1 ?
【答案】0

1 ? ____________ tan 2 ?

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 23 页 共 48 页

【解析】原式 ? cos ?

sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos2 ? sin 2 ?

? cos ?

1 1 cos ? sin ? , 因 为 ? 是 第 二 象 限 , 所 以 sin ? ? 0, ? ? 0 , 所 以 cos ? sin ?

cos ?

1 1 ? sin ? ? ?1 ? 1 ? 0 ,即原式等于 0. cos ? sin ?

23.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】 把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 6

纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y ? f (x) 图象,对于函数 y ? f (x) 有以下四个判断: ①该函数的解析式为 y ? 2sin(2x ? 函数;④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0,

?

? ? ) ; ②该函数图象关于点 ( ,0) 对称; ③该函数在 [0, ] 上是增 3 6 6

?
2

] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 .

其中,正确判断的序号是________________________ 【答案】②④ 【解析】将函数向左平移

y ? 2 sin(2x ?

?
3

)



? ? ? x ) 得到 y = sin 2(x ? )? sin(2 ? ,然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 6 3 6 ?


y? ( f

)? x

2

y ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? ? 0 , 所 以 函 数 图 象 关 于 点 ( , 0) 对 称 , 所 以 ② 正 确 。 由 3 3 3 3 ? ? ? 5 ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z , 得 ? ? k? ? x ? ? k , k? Z, 即 函 数 的 单 调 增 区 间 为 ? 2 3 2 12 12 5 ? 5 ? [? ? k? , ? k? ], k ? Z , 当 k ? 0 时 , 增 区 间 为 [? , ] , 所 以 ③ 不 正 确 。 12 12 12 12 ? ? ? ? 4? ? 4? y ? f ( x) ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a ,当 0 ? x ? 时, ? 2 x ? ? ,所以当 2 x ? ? 时,函数 3 2 3 3 3 6 3 4? ? a ? ? 3 ? a ? 3 ,所以 a ? 2 3 。所以④正确。所以正确的命题为②④。 值最小为 y ? 2sin 3
24.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】在 △ABC 中,若 b ? 2 2 , c ? 1 , tan B ? 2 2 ,则 a = 【答案】3 【 解 析 】 由 tan B ? 2 2 ? 0 , 知 0 ? B ? .

?

?

?

s 3

?x n 所 i。 (

2 以



)不







?

?
2

, 得 sin B ?

2 2 1 , cos B ? , 由 余 弦 定 理 可 得 3 3

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 7 a2 ? 1 ? 8 1 ? ,即 。 ? ,整理得 3a 2 ? 2a ? 21 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? ? (舍去) 2ac 3 3 2a 3

25.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】若 sin ? ? ?
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

3 ,且 tan ? ? 0 ,则 cos? ? 5



高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 24 页 共 48 页

【答案】 ?

4 5

【 解 析 】 因 为 s i? ? ? n

3 ? , tan ? ? 0 所 以 ? 为 第 三 象 限 , 所 以 c o ? ? 0 s 5

, 即 0

3 4 cos ? ? ? 1 ? (? )2 ? ? 。 5 5
sin 26. 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 【 已知 ?ABC 中, AB= 3 , BC=1, C ? 3 cos C , ?ABC 则
的面积为______. 【答案】

3 2

【解析】由 sin C ? 3 cos C 得 tan C ? 3 ? 0 ,所以 C ?

?
3

。根据正弦定理可得

BC AB ,即 ? sin A sin C

1 ? sin A

? ? 1 3 ? 2 ,所以 sin A ? ,因为 AB ? BC ,所以 A ? C ,所以 A ? ,即 B ? ,所以三角形 6 2 2 3 2
1 3 ? 3 ?1 ? 。 2 2

为直角三角形,所以 S?ABC ?

27.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理】在△ ABC 中,若 ?B ?

π , b ? 2a ,则 4

?C ?
【答案】 7?



12
a 2a a b 1 ,即 ,解得 sin A ? ,因为 b ? 2a ? a ,所以 ? ? sin A sin ? sin A sin B 2 4

【解析】根据正弦定理可得

A ? B ,所以 A ?

?
6

,所以 C ? ? ? A ? B ?

7? 。 12

28.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 7 ,则 BC 边上 的高等于 【答案】 .

3 3 2
2 2 2 ?

【解析】由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos 60 ,即 7 ? 4 ? c 2 ? 2 ?2 c ?

1 2 整理得 c ? 2c ? 3 ? 0 ,解得 2

c ? 3。所以 BC 边上的高为 c sin B ? 3 ? sin 60? ?

3 3 。 2

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 25 页 共 48 页

29. 【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) , 已 其中 x ? [? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 的值域是 [ ? 【答案】 [ ?

π 6

? π 当 , a] . a ? 3 6

1 ,1] ,则 a 的取值范围是______. 2

1 ? ? ,1] , [ , ] 2 6 2

【解析】若 ?

?
6

?x?

?
3

,则 ?

?
3

? 2x ?

1 π 2? ? ? 5? ,? ? 2 x ? ? ,此时 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,即 f ( x) 2 6 3 6 6 6

的值域是 [ ?

1 ,1] 。 2

若?

?
6

? x ? a ,则 ?

?
3

? 2 x ? 2a , ?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2a ?

?
6

。因为当 2 x ?

?
6

??

?
6

或 2x ?

?
6

?

7? 时, 6

1 ? 1 ? ? 7? ? ,即 ? 2a ? ? ,所 sin(2 x ? ) ? ? ,所以要使 f ( x) 的值域是 [ ? ,1] ,则有 ? 2a ? ? 2 6 2 2 6 6 3


?
6

?a?

?
2

,即 a 的取值范围是 [

? ?

, ]。 6 2

30. 【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】 已知 ? 、? ? (0, ? ) , tan(? ? ? ) ? 且

1 1 ,tan ? ? ? , 2 7

2? ? ? ?



3? 【答案】 4 ?

1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? 2 7 【 解 析 】 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? ?1 , 所 以 0 ? ? ? , 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 ? (? 1 ) 3 4 2 7 1 2? 2 tan ? ? 3 ? 3 ?1 , 所 以 。 tan 2? ? ? 0 ? 2? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 4 4 3 3 1 ? (? ) tan 2? ? tan ? 7 ? 1 。 因 为 0 ? ? ? ? , 所 以 ?? ? ? ? ? 0 , 所 以 tan(2? ? ? ) ? ? 4 3 1 ? tan 2? tan ? 1 ? ? (? 1 ) 4 7 ? 3? 。 ?? ? 2? ? ? ? ,所以 2? ? ? ? ? 4 4
31.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?

6 与 P,与 x 轴的相邻两个交点记为 A,B,若△PAB 的面积等于 ? ,则 ? ?

) ( ? >0)的图像与 y 轴交


为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 26 页 共 48 页

【答案】

【解析】 f (0) ? 2sin

1 T 2? ? ? 1 ,即 yP ? 1 . AB ? ? ? 。△PAB 的面积等于 ? ,即 6 2 2 2? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ,所以 ? ? 。 2 2 ?

1 2

?

? 2?

32.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为

??? ??? ? ? a、b、c 且 2b ? 2a ,logsin 2 b ? logsin 2 c , b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ,若 AB ? BC ? 0 ,则 cos B ? sin C 的取值
范围是 【答案】 ( _____________.

3 6 , ) 2 2


【解析】由 2b ? 2a

b ? a ,因为 0 ? sin 2 ? 1,所以由 logsin 2 b ? logsin 2c 得 b ? c .所以 b 最大.因为
b2 ? c 2 ? a 2 3bc 3 ? ? 2bc 2bc 2 ,所以

b2 ? c2 ? a 2 ? 3bc , 所 以 b2 ? c2 ? a 2 ? 3 b c 即 cos A ? ,

5? 5? ,因为 b ? c ,所以 B ? C ,即 6 ? B ? C ? B ? B ? 2 B ,所以 6 6 6 ??? ??? ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? 5? AB ? BC ? 0 ,所以 AB ? BC ? AB ? BCcos( ? B ? ? AB? BCcos B? 0 ? ) ,所以 B? 12 .因为

A?

?

,即 B ? C ? ? ?

?

?

cosB ? 0,即 0 ? B ?

?
2

,所以

5? ? ?B? . 12 2

cos B ? sin C ? cos B ? sin(? ?


?

? 3 3 ? ? B) ? cos B ? sin( ? B) ? cos B ? sin B ? 3 sin( B ? ) , 因 6 6 2 2 3
3? ? 5? ? B? ? 4 3 6
, 即 sin

5? ? ?B? 12 2

, 所 以

5? ? 3? ? sin( B ? ) ? sin 6 3 4

, 即

1 ? 2 3 6 3 ? 6 ? sin( B ? ) ? , ). ,所以 .即 cos B ? sin C 的取值范围是 ( ? 3 sin( B ? ) ? 2 3 2 2 2 2 3 2
33.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)理】函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间

(?1,1) 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是
【答案】 ( ,1) 【解析】当 a ? 0 时,函数 f ( x ) ? 1 在 (?1,1) 上没有零点,所以 a ? 0 ,所以根据根的存在定理可得

1 3

1 f (? 1) f (1)? 0,即 (?3a ? 1)(1 ? a) ? 0 ,所以 (a ? 1)(3a ? 1) ? 0 ,解得 ? a ? 1 ,所以实数 a 的取值范 3
围是 ( ,1) 。

1 3

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 27 页 共 48 页

34. 在 三 角 形 ABC 中 , ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b, c , 其 外 接 圆 的 半 径 R ?

5 6 ,则 36

(a 2 ? b 2 ? c 2)(

1 1 1 25 ? 2 ? 2 ) 的最小值为___________. 2 sin A sin B sin C 6

(三) 、解答题
1.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、b、c, q= 2a ,1) p= 2b ? c , cosC )且 p // q .求: 角 B、 ( , ( (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

【答案】解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c ,

? 2 cos 2C ? 1的取值范围. 1 ? tanC

根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ,

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ?

A?? ?A ?

?
3

;sinA=

3 2

???6 分

(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , sin C 1 ? tanC 1? cosC

), 4 2 ? ? 13 2 ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin(2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3
∴ ? 1 ? 2 sin(2C ?

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?

?

?
4

) ? 2 ,∴ f (C) 的值域是 (?1, 2 ] .

???12 分

2. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】 (本题满分 12 分) ?ABC 的内角 A、B、C 的 设 对边分别为 a、b、c ,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a, c 的值. 【答案】 (1)? b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B --3 分

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 28 页 共 48 页

即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.---------------------------------------------------6 分

(2)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,-------------------------8 分 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos 解得 a ?

?
3

,---------10 分

3 ,? c ? 2a ? 2 3 .-----------------------------------------12 分

3.(本题满分 12 分) 设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m ? (1, sin A ? 3 cos A) , n ? (sin A,

3 ) ,已知 m 与 n 共线.[金太阳新课标资源网] 2

[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围.[ http://w x.jtyjy.com/] 【解】 (Ⅰ)因为 m∥n,则 sin A(sin A ? 3 cos A) ?

3 3 2 ,即 sin A ? 3 sin A cos A ? .(2 分) 2 2
(5 分)

所以

? 1 ? cos 2 A 3 3 3 1 ? sin 2 A ? ,即 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? 1 . 6 2 2 2 2 2
?
6 ?

A 是锐角,则 2 A ?

?
2

,所以 A ?

?
3

.

(6 分)

(Ⅱ)因为 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,则

1 1 ac sin B ? ? 2 ? 4 3 sin 2 B ? 4 3 sin 2 B 2 2 1 ? cos 2 B ? 4 3? ? 2 3 ? 2 3 cos 2B . 2 1 由已知, 2 3 ? 2 3 cos 2B ? 3 ,即 cos 2 B ? . 2 S? ABC ?
因为 B 是锐角,所以 0 ? 2 B ?

(8 分) (10 分)

?

3

,即 0 ? B ?

?

6

,故 角 B 的取值范围是 (0,

?
6

).

(12 分)

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b ,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; π (2)求 3sinA-cos?B+4?的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. ? ? 【解答】 (1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A< π,所以 sinA>0. 从而 sinC=cosC. π 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C= . 4 3π (2)由(1)知,B= -A,于是 4
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

[来源:Zxxk.Com]

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 29 页 共 48 页

π 3sinA-cos?B+4?= 3sin A-cos(π-A) ? ? π = 3sinA+cosA=2sin?A+6?. ? ? π 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ,所以 <A+ < .从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin?A+6?取最大值 2. ? ? 4 6 6 12 6 2 3 π? π 5π 综上所述, 3sinA-cos?B+4?的最大值为 2,此时 A= ,B= . ? 3 12 C 5. [2011· 江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别是 a,b,c ,已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C C C C 【解答】 (1)由已知得 sinC+sin =1-cosC,即 sin ?2cos 2 +1?=2sin2 , ? 2 2? 2 C C C C C 1 由 sin ≠0 得 2cos +1=2sin ,即 sin -cos = , 2 2 2 2 2 2 3 两 边平方得:sinC= . 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin -cos = >0 得 < < ,即 <C<π,则由 sinC= 得 cosC=- , 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得:(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7,所以 c= 7+1. 6. (本小题满分 12 分) C 已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a,b,c,向量 m ? ( 2 cos , sin C ), ? 2
[来源:学科网]

n = (cos

C , sin C ) ,且 m⊥ 2 n. 2
2 2

(1)求角 C;

1 2 c ,试求 sin( A ? B) 的值.[金太阳新课标资源网 HTTP://WX.JTYJY.COM/] 2 2 C ? 2 sin 2 C ? 0 , [金太阳新课标资源网] 解: (1)由题意知,m· n=0,即 2 cos 2 1 1 ? cosC ? 2(1 ? cos2 C) ? 0, cos2 C ? cosC ? 1 ? 0 ,即 cos C ? ?1 或 cos C ? , 2 2
(2)若 a ? b ? 因为 0<C< ? ,所以 C=60° . ……………6 分 (2) sin( A ? B) ? sin A cos B ? sin B cos A ?

a a ?c ?b b b ? c ? a2 ? ? ? 2R 2ac 2R 2bc
2 2 2 2 2

?
7. (本题满分 12 分)

2(a 2 ? b 2 ) c2 c 1 3 1 .……12 分 ? ? ? sin C ? . (因为a 2 ? b 2 ? c 2) 4cR 4cR 4 R 2 4 2

已知点 A(1,1), B(1, ?1), C( 2 cos? , 2 sin ? )(? ? R) ,O 为坐标原点。 (I)若 | BC ? BA |?

??? ??? ? ?

2, 求sin 2? 的值; ??? ? ??? ? ??? ?

( II) 若 实 数 m, n 满 足 mOA ? nOB ? OC, 求(m ? 3)2 ? n2 的 最 大 值 。 [ 金 太 阳 新 课 标 资 源 网 HTTP://WX.JTYJY.COM/] 解: (1)? BC ? BA |2 ?| AC |2 ? ( 2 cos? ? 1)2 ? ( 2 sin ? ? 1)2 |
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 30 页 共 48 页

??? ??? ? ?

??? ?

? ?2 2(sin? ? cos? ) ? 4

………………3 分[ 来源: http://wx.jtyjy.com/.Com]

??2 2(sin? ? cos? ) ? 4 ? 2
即 sin ? ? cos ? ?

2 2

………………4 分

两边平方得: 1 ? sin ? ?

1 2

? sin 2? ? ?

1 2

………………6 分

(2)由已知得: (m, m) ? (n, ?n) ? ( 2 cos? , 2 sin ? )

? 2 (cos? ? sin ? ) ?m ? ?m ? n ? 2 cos? ? ? 2 ?? 解得 ? ? ………………8 分 ?m ? n ? 2 sin ? ?n ? 2 (cos? ? sin ? ) ? ? ? 2

? (m ? 3)2 ? n2 ? m2 ? n2 ? 6m ? 9

? ?3 2(sin? ? cos? ) ? 10
? ?6sin(? ?

………………10 分

?

?当sin(? ?

?

4

) ? 10

4

) ? ?1时, (m ? 3) 2 ? n 2 取得最大值 16 …………12 分

cosA-2cosC 2c-a 8. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 co sB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 a b c 【解答】 (1)由正弦定理,设 = = =k. sinA sinB sinC 2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA 则 = = . b ksinB sinB cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以原等式可化为 = . cosB sinB 即(cosA-2c o sC)sinB=(2sinC-sinA)co sB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又因为 A+B+C=π, 所以原等式可化为 sinC=2sinA, sinC 因此 =2. sinA sinC (2)由正弦定理及 =2 得 c=2a, sinA 1 由余弦定理及 cosB= 得 4 b2=a2+c2-2accosB
[来源:学_科_网 Z_X_X_K] [来源:学科网]

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 31 页 共 48 页

1 =a2+4a2-4a2× 4 2 =4a . 所以 b=2a. 又 a+b+c=5. 从而 a =1, 因此 b=2. 9. (本小题 12 分) A、B 是直线 y ? 0与函数 f ( x) ? 2 cos 邻交点,且 | AB |?
2

?x
2

? cos( ?x ?

?
3

) ? 1(? ? 0) 图像的两个相

?
2

.
3 , c ? 3, ?ABC 的面积为 3 3 , 2

(I)求 ? 的值;

[来源:学科网 ZXXK]

(II) 在锐角 ?ABC 中, b, 分别是角 A, C 的对边, f ( A) ? ? a, c B, 若 求 a 的值. 解: (1) f ( x) ? 1 ? cos?x ?

1 3 ? cos?x ? sin ?x ? 1 ? ? 3 sin(?x ? ). 2 2 3
????2 分

由函数的图象及 | AB |? 得到函数的周期 T ?

?
2



2?

?

? 2?

?
2

,解得 ? ? 2.

????4 分

(2)? f ( A) ? ? 3 sin( 2 A ?

?

3

)??

3 2
????6 分

? 3 ? sin(2 A ? ) ? . 3 2
又? ?ABC 是锐角三角形,

?

?
3

? 2A ?

?
3

?

? 即A? . 3
由 S ?ABC ?

2? ? ? ,? 2 A ? ? , 3 3 3
????8 分

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3, 得b ? 4 2 2 2

????10 分[金太阳新课标资源网

HTTP://WX.JTYJY.COM/] 由余弦定理,得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 2 ? 3 2 ? 2 ? 4 ? 3 ?
即 a ? 13.

1 ? 13, 2
????12 分

1 10. [2011· 湖北卷] 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值.
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 32 页 共 48 页

1 【解答】 (1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4× =4, 4 ∴c=2, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 1 1 15 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos2C= 1-?4?2= , ? ? 4 4 15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 2 8 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角, 15?2 7 ∴cosA= 1-sin2A= 1-? = . 8 ? 8 ? 7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16

11. 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 第 四 次 模 拟 测 试 1 月 理 】 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 (

π π f ( x) ? c o s ( ? x ) c o s ( x ? ) ? 3 3
(2)求函数 f ? x ? 单调递增区间 【答案】 (Ⅰ)? f ( x) ? cos(

1 sxi n c ? s xo 4

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和最大值;

π π 1 1 ? x) cos( ? x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4 --------1 分

1 3 1 3 1 1 2分 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4 ---------? 1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? ----4 分 4 4 2 4 8 8 2 4

2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? ------------------6 分 ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 4? 2 ?
函数 f (x) 的最小正周期为 T ? ? ,-------------------7 分

函数 f (x) 的最大值为

2 -------------8 分 2

(II)由 2k? ? ? ? 2 x ? 得 k? ? ? ? x ? k? ?

?
4

? 2k? , k ? z ------------------10 分

5 8

?
8

, k ? z ------------------------11 分 5? ? , k? ? ], k ? z ------------12 分 8 8

函数 f (x) 的 单调递增区间为 [k? ?

12.【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】(本小题满分 12 分)设

f ( x) ? 6 cos2 x ? 2 3 sin x cos x .
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 33 页 共 48 页

(Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f (x ) 的图象向右平移

? 个单位,得 y ? g (x) 的图象, 3

F ( x) ?


g ( x) ? 3 2 3x 在

x?

?
4 处的切线方程.
??3分

【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? 6

(1 ? cos 2 x) ? ? 3 sin 2 x ? 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 , 2 6

故 f(x)的最小正周期 T ? ? , 由 ? ? ? 2k? ? 2 x ?

??????????????????4 分

?
6

? 2k?

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

7? ? , k? ? ]?k ? Z ? .?????6分 12 12

(Ⅱ)由题意: g ( x) ? 2 3 cos[2( x ?

?

) ? ] ? 3 ? 2 3 sin 2 x ? 3 , 3 6

?

???8分

F ( x) ?
F ' ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x

?

sin 2 x , x
??????????????10分

2 x cos 2 x ? sin 2 x , x2

因此切线斜率 k ? F ' ( ) ? ? 切点坐标为 (

?

16

? 4 , ), 4 ?

4

?2

,

故所求切线方程为 y ?
2

4

?

??

(x ? ) , 4 ?
2

16

?

即 16x ? ? y ? 8? ? 0 . ???????????????????12分 13.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(理)(本小题满分 10 分) 】 已知 A, B 是直线 y ? 0 与函数 f ( x ) ? 2 cos
2

?x
2

? cos( x ? ?

?
3

)? 1( ? 0)图像的两个相邻交点,且 ?

| AB |?

?
2

.

(1)求 ? 的值; (2) 在锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, C 的对边, f ( A) ? ? B, 若 求 a 的值. 【答案】解: (1) f ( x) ? 1 ? cos wx ? cos wx ?
1 2 3 ? sin wx ? 1 ? ? 3 sin( wx ? ) ?2 分 2 3

3 , c ? 3, ?ABC 的面积为 3 3 , 2

由函数的图象及 AB ?

?
2

,得到函数的周期 T ?

2? ? ? 2 ? ,解得 w ? 2 ???4 分 w 2

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 34 页 共 48 页

(2)? f ( A) ? ? 3 sin(2 A ? 又 是锐角三角形 ?

?

3 ? 3 ) ? ? ,? sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2
? 2A ?

?
3

?
3

?

2? ? ? ? , 2 A ? ? ,即A= ,???6 分 ? 3 3 3 3
????8 分

由 S? ABC ?

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3,得b=4 2 2 2
2

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 42 ? 32 ? 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 13,即a ? 13 ?10 分 14.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(理)(本小题满分 12 分) 】 已知向量 a

?

(1)当 a // b 时,求 cos (2)设函数

? ?

3 ? ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4

x ? sin 2 x 的值; ? ? ? f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△ ABC
2

中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若

a ? 3, b ? 2, sin B ?
? ?

6 3
3 4

,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?
3 4
????2 分

? ??

【答案】解: (1)? a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ?

cos 2 x ? sin 2 x ?

cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5 ? ? ? ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2

????6 分

由正弦定理得

a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b ? a ,所以 A ?

? 4

????9 分

1 ? ?? ? ? ? 11? ? ? ? ?? , f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? ,? x ? ?0, ? ? 2x ? ? ? , 2 4 6? 4 ? 4 12 ? ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

????12 分

15.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】 (本题满分 13 分)在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分 别为内角 A , B , C 所对的边,且满足 3a ? 2b sin A . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 b ? 7 ,求 ?ABC 的面积。
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 35 页 共 48 页

【答案】解:(1)? 3a ? 2b sin A 由正弦定理得 3 sin A ? 2sin B sin A 所以 sin B ?

3 2

因为三角形 ABC 为锐角三角形,所以 ?B ? (2)由余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B

? 3

2 2 得 a ? c ? ac ? 7

? a ? c ? 5 所以 ac ? 6
3 3 所以 S? ABC ? 1 ac sin B ? 2 2
16.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】 (本小题共 13 分)已知函数

f ( x) ? sin x cos x ? 3 sin 2 x .
(I)求 f ( x) 的最小正周期;
( I I ) 求 f ( x) 在区间 [0,

?
4

] 上的取值范围.

【答案】解: f ( x ) ? 1 sin 2 x ? 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ?

2

2

2

3 cos 2 x ? 3 2 2

? sin(2 x ? ? ) ? 3 3 2
(1) T ? ? (2)? x ? [0, ? ]

4

? 2 x ? ? ? [ ? , 5? ] 3 3 6

? f ( x) max ? f ( ? ) ? 1 ? 3 , f ( x) min ? f ( ? ) ? 1 ? 3 12 2 4 2 2
17. 【 北 京 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 二 次 月 考 理 】 ( 本 小 题 共 13 分 ) 已 知 函 数 ,求 s ? [0, ? ] 时函数 y 的最值。 cox x

y ? s i nx c oxs ?

s x? in

3

【答案】解:令 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? t ? 1 ,
2

2

2 ? y ? t ? t ?1 ? 1 t 2 ? t ? 1 2 2 2

? x ? [0, ? ] 3 ? ymax ? 1 ? 2 2

?t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) ?[1, 2] 4
ymin ? 1

18. 【 北 京 市 昌 平 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 理 】 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期;

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 36 页 共 48 页

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值. 【答案】解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z), 故 f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.???????2 分 因为 f ( x) ?

? ? 4 2

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1
? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,????????????6 分 6

所以 f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? π .???????7 分 2

[ (II)由 x 挝 , ], 2 x
当 2x ? 当 2x ?

? ? 4 2

? ? [ , ?], 2 x 2 6

? 5? [ , ], ????..9 分 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,?????.11 分 6 6 2

? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .??????.13 分 6 2 3

19.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间;

? ?? ] 上的最小值. ? ? x x 1 ? cos x ?1 【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? sin cos ? 2 2 2 1 1 1 ????????????????2 分 ? sin x ? cos x ? 2 2 2
(Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ ,

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

?????????????????4 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 2? . 由 2k ? ?

????????????????6 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ?Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ] , k ?Z . ?????????9 分 函数 f ( x) 单调递减区间是 [2k ? ? , 2k ? ? 4 4 ? ?? ? ? 7? (Ⅱ)由 ? x ? ,得 ? x ? ? . ???????????????11 分 ? ? 2 4 4
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 37 页 共 48 页

则当 x ?

2 ?1 5? ? 3? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 ? . ? 2 4 4 2

???????13 分

20.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题共 13 分)已知函数

f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? a .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [?

3 ? ? , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 6 3
3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

【答案】

解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .?????????????????3 分 6 2
所以 T ? ? .???????????????????????4 分

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? 得 ? k? ? x ? ? k? . 6 3 ? 2? 故函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .???????7 分 ? k ?] ( k ?Z ) 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .??????????????????????10 分 2 6 1 1 1 3 ? ? 因为函数 f ( x) 在 [? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 2 2 2 2 6 3
由 所以 a ? 0 .????????????????????????????13 分 21.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin (
2

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f (x) 的图象经过怎样的变换可以得到 y ? sin 2 x 的图象? 【答案】解:(1) f ( x) ? sin (
2

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

1 ? cos(
=

?

2 2

? 2 x)

?

3 cos 2 x 2

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 38 页 共 48 页

=

1 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2
1 ? ? sin( 2 x ? ) 2 3
???????6 分

=

最小正周期 T ? ? 单调递增区间 [ k? ?

?
12

, k? ?

5 ?] ,k ?Z 12

??????9 分

(2) 向左平移

? 1 个单位;向下平移 个单位 6 2

??????13 分

22.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 (本题共 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.
y B A

O

x

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 sin(? ? ? ) 的值; 5 13 ??? ??? ? ? 3 (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求 OA ? OB 的值. 2
(Ⅰ)若点 A 的横坐标是 【答案】解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,

3 12 , sin ? ? . ?????????????????????2 分 5 13 4 ∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? . ?????????????????3 分 5 5 ∵ ? 的终边在第二象限,∴ cos ? ? ? .???????????????4 分 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?(? ) + ? = .?????7 分 5 13 5 13 65 ??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |, ??????????????9 分 cos ? ?
又∵ | OB ? OA |2 ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ,???????11 分 ∴ 2 ? 2OA ? OB ?

??? ??? ? ?
??? ??? ? ?

??? 2 ??? 2 ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? ? .?????????????????????????13 分
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 39 页 共 48 页

??? ??? ? ?

9 , 4

1 8

方法(2)∵ cos ?AOB ?

| OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 ? ? , ???????10 分 2 | OA || OB | 8
1 . ????????????? 13 分 8

∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

23.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分)

x x x 1 已知函数 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别 2 2 2 2
为 a, b, c . (I)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

x x x 1 【答案】解: (I)因为 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2
3 cos x ? 1 1 sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 ?
π ? sin( x ? ) 6
????6 分

( 又 y ? sin x 的单调递增区间为 2kπ ?
π π π ? x ? ? 2 kπ ? 2 6 2

π π ,2kπ ? ), ( k ? Z) 2 2

所以令 2kπ ?

解得 2kπ ?

2π π ? x ? 2 kπ ? 3 3

所以函数

f ( x) 的单调增区间为 (2kπ ?

2π π ,2kπ ? ) , ( k ? Z) 3 3

??????8 分

π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 , 6
又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? 所以 B ? C ? 所以 A ?

π π 7π ?( , ) 6 6 6

π π π ? ,B ?C ? , 6 2 3
??10 分

2π 3

由正弦定理

sin B sin A ? b a

把 a ? 3, b ? 1 代入,得到 sin B ?
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

1 2

?????12 分
高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 40 页 共 48 页

又 b ? a, B ? A ,所以 B ?

π π ,所以 C ? 6 6

???13 分

24.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理】 (本小题共 13 分)已知 sin( A ?

π 7 2 )? , 4 10

π π A? ( , ) . 4 2
(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

【答案】解: (Ⅰ)因为

π 7 2 π π , ? A ? ,且 sin( A ? ) ? 4 10 4 2

所以

π 2 π π 3π , cos( A ? ) ? ? . ? A? ? 4 10 2 4 4
π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

因为 cos A ? cos[( A ?

??
所以 cos A ?

2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
????????6 分

3 . 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ?

4 . 5 5 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin A sin x 2
? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? )2 ? , x?R . 2 2 3 1 因为 sin x ? [?1,1] ,所以,当 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2
当 sin x ? ?1时, f ( x) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

????????13 分

25.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos x ?
2

1 . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?

? π π? , 的最大值和最小值. ? 8 2? ?
高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 41 页 共 48 页

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

【答案】 (Ⅰ)由已知,得

f ? x? ?

1 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

????????2 分

?

2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?
T? 2? ?? , 2

????????4 分

所以 即 (Ⅱ)因为

f ? x ? 的最小正周期为 ? ;
?

????????6 分

?
8

?x?

?
2 ?

,所以

0 ? 2x ?

?
4

?

5? . 4

?????? 7 分

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值

2 ;?? 10 分 2

?
4

?

? 1 5? 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .?????13 分 2 2 4

26.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 , A ?

? ,求△ ABC 的面积. 4

【答案】 (Ⅰ)解法一:因为 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B , 所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .
2

?????3 分

因为

0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 ,
??????5 分 ??????6 分

从而 tan B ? 3 , 所以 B ?

π . 3

解法二: 依题意得因为 所以 2B ?

0 ? B ? ? , 所以

? 5? . ? 6 6 π 所以 B ? . 3 ? π (Ⅱ)解法一:因为 A ? , B ? , 4 3 AC BC 根据正弦定理得 , ? sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

? ? 13? , ? 2B ? ? 6 6 6
????5 分

??????6 分

?????7 分 ?????8 分[来
高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 42 页 共 48 页

因为 C ? ? ? A ? B ? 所以 sin C ? sin

5? , 12

?????9 分

5? ? ? 6? 2 , ? sin( ? ) ? 12 4 6 4

???11 分

所以 △ ABC 的面积 S ? 解法二:因为 A ?

1 3? 3 . ???13 分 AC ? BC sin C ? 2 2

? π ,B ? , 4 3 AC BC 根据正弦定理得 , ? sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A

????7 分 ????8 分 ????9 分

2 2 2 根据余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,
2 化简为 AB ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 .

????11 分

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 3? 3 . AB ? BC sin B ? 2 2

???13 分

27.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 (本小题满分 12 分)已知 a ? (2cos x ? 2 3sin x,1) ,

?

? ? ? b ? ( y,cos x) ,且 a // b .
(I)将 y 表示成 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (II)记 f ( x) 的最大值为 M , a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对应的边长,若

A f ( ) ? M , 且 a ? 2 ,求 bc 的最大值. 2 ? ? 【答案】解: (I)由 a // b 得 2cos2 x ? 2 3sin x cos? y ? 0 ············· 2?
2 即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? 又T ?

?
6

) ? 1 , ························· 4?

2?

?

?

2? ?? 2

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .

························ 6?

(II)由(I)易得 M ? 3 ···························· 7? 于是由 f ( ) ? M ? 3, 即 2sin( A ?

A 2

?

) ? 1 ? 3 ? sin( A ? ) ? 1 , 6 6

?

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 43 页 共 48 页

因为 A 为三角形的内角,故 A ?

?
3

························ 9?

2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 4 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc ······· 11?

解得 bc ? 4 于是当且仅当 b ? c ? 2 时, bc 的最大值为 4 . 28.(本题满分 12 分) 已知复数 z1 ? sin 2 x ? ?i , z2 ? m ? (m ? 3 cos 2x)i (?, m, x ? R,) ,且 z1 ? z2 . (1)若 ? ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;

12?

(2)设 ? = f ( x) ,已知当 x ? ? 时, ? ? 解: (1)∵ z1 ? z2 ∴ ?

1 ? ,试求 cos(4? ? ) 的值. 2 3

?sin 2 x ? m ? ?? ? m ? 3 cos 2 x ?



?=sin 2 x ? 3 cos 2 x ----------------------- ---------------2 分

[来源:Zxxk.Com]

若 ? ? 0 则 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 0 得 tan 2 x ? 3 -----------------------------------------------4 分 ∵0 ? x ??, ∴ 2x ? ∴x?

? 0 ? 2x ? 2 ?

?
3

, 或 2x ?

?

6



2? ------------- ---------------------------- ----- --------------------------------------------6 分 3
1 2 3 cos 2 x) 2

4? 3

(2)∵ ? ? f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? = 2(sin 2 x cos

? cos 2 x sin ) ? 2sin(2 x ? ) -----------------------------------------8 分 3 3 3 1 ∵当 x ? ? 时, ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ∴ 2sin(2? ? ) ? , sin(2? ? ) ? , sin( ? 2? ) ? ? ------------------------------9 分 3 2 3 4 3 4
∵ cos(4? ?

?

?

?

? ? ? ) = cos 2(2? ? ) ? 2 cos 2 (2? ? ) ? 1 = 2sin 2 ( ? 2? ) ?1 ----------11 分 6 6 3 3 ? 1 2 7 ∴ cos(4? ? ) ? 2 ? (? ) ? 1 ? ? .----------------------- -------------------------------------12 分 3 4 8

?

29.【天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理】 (本小题满分 15 分) 已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos x. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标;
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 44 页 共 48 页
2

(3)若角 α,β 的终边不共线,且 f(α)=f(β),求 tan(α+β)的值. π 【答案】f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6 π π 3π (1)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z) 2 6 2 π 2π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3 π 2π ∴f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π π (2)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =kπ(k∈Z), 6 6 即 x=

kπ π
2

- (k∈Z), 12

π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(- ,0). 12

30. 【 云 南 师 大 附 中 2013 届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 四 ) 理 】 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)设 ABC △的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 c ? 求 a, b 的值. 【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 则 f ( x) 的最小正周期是 T ?
3 1 ? cos 2 x 1 π? ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 2 2 6? ?
2π ?π. 2

3 , f (C ) ? 9 , sin B ? 2sin A ,

????? ??????(6 分)

π? π? ? ? (Ⅱ) f (C ) ? sin ? 2C ? ? ? 1 ? 0 ,则 sin ? 2C ? ? ? 1 , 6? 6? ? ?

∵ 0 ? C ? π ,∴ 0 ? 2C ? 2π , ∴?
π π 11π , ? 2C ? < 6 6 6

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 45 页 共 48 页

∴ 2C ?

? π π ? ,∴ C ? , 3 6 2 a 1 ? ,① b 2

∵ sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得

? 由余弦定理,得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3 , ② 3

由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

??????????????????(12 分)

31.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】 (本小题满分 12 分) 如图,角 ? 的始边 OA 落在 x 轴上,其始边、终边分别与单位圆交于点 A、C (0 ? ? ? 边三角形. (1)若点 C 的坐标为(
2

?
2

) ,△AOB 为等

4 3 , ) ,求 cos∠BOC 的值; 5 5

(2)设 f (? ) ?| BC | ,求函数 f( ? )的解析式和值域.

32.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】 (本小题满分 12 分)
为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进 高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 46 页 共 48 页

已知向量 m =( cos ? x,sin ? x) n =(cos ? x,2 3 cos ? x-sin ? x) ? >0,函数 f(x) , , = m · n +| m |,且函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求 ? 的值 (2)作出函数 f(x)在[0, ? ]上的图象 (3)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,f(A)=2,c=2, S ?ABC ?

??

?

??

?

??

? 2

3 ,求 a 的值 2

33.(本小题满分 12 分)

已知 a ? (sin x,1) ,b ? (1,cos x) , 且函数 f ( x) ? a ? b , f '( x ) 是 f (x ) 的导函数.[ http://wx .jtyjy.com/ ] (1)求函数 F ( x) ? f ( x) f ?( x) ? f 2 ( x) 的最大值和最小正周期;

?

?

? ?

1 ? sin 2 x 的值. cos 2 x ? sin x cos x 解(1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,∴ f '( x) ? cos x ? sin x
(2)若 f ( x) ? 2 f '( x) ,求

? F ( x) ? f ( x) f ?( x) ? f 2 ( x) ? ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) 4 ? ? ? ?当2 x ? ? 2k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时, 4 2 8 F ( x) max ? 1 ? 2 , 2? ?? 最小正周期为 T ? …………6 分[ http://wx.jtyjy.com/] 2
高 2013 级高三数学大题狂练之三角函数第 47 页 共 48 页

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

(2)∵ f ( x) ? 2 f '( x) , ∴sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x ,∴ cos x ? 3sin x ,即 tan x ?

1 3

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

11 1 ? sin x 2 sin x ? cos x 2 tan x ? 1 9 11 ? ? = ? ? . 2 2 6 cos x ? sin x cos x cos2 x ? sin x cos x 1 ? tan x 3
2 2 2

2

…………12 分

为学须觉今是而昨非,日改月化,便是长进

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