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全国2015届高三数学一轮复习资料与复习大纲集锦与真题演练 (1)

甘肃省天水市第一中学 2015 届高三数学上学期第一轮复习基础知识检测 (期末) 考试试题 理
1.已知集合 A.A∩ B=

A ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0? , B ? x | ? 5 ? x ? 5
B.A∪B=R C.B?A D.A?B

?

? ,则

(

)

1? i 2 ) ? 2. i 为虚数单位,则 1 ? i ( (
?1
B. 1 C. ? i

) D. i

x2 y 2 5 ? 2 ?1 2 b 3.已知双曲线 C : a ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 2 ,则 C 的渐近线方程为( )
1 y?? x 4 A.
1 y?? x 3 B.
1 y?? x 2 C.
D. y ? ? x

2 ( 3 x ? )8 x 二项展开式中的常数项为 ( ) 4.
A. 56 B. 112 C. -56 D. -112 5.以下四个命题中: ①为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 40 的样本,考虑用系统抽 样,则分段的间隔 k 为 40.

? ? ? ②线性回归直线方程 y ? bx ? a 恒过样本中心 ( x , y )
③在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N (2, ? ) (? ? 0) .若 ξ 在
2

(??,1) 内取值的概率为 0.1 ,则 ξ 在 (2,3) 内取值的概率为 0.4 ;
其中真命题的个数为 ( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 C.3 B.2 3 D.3 3

S 5 5 a1 ? a3 ? , a2 ? a4 ? , 则 n {a } 2 4 an 7. 已知等比数列 n 的前 n 项和为 Sn ,且
A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1





-1-

8.同时具有性质“⑴ 最小正周期是 ? ;⑵ 图象关于直线 函数可以是

x?

?

[ , ] 6 对称;⑶ 在 6 3 上是减函数”的一个

? ?

x 5? y ? sin( ? ) 2 12 A. y ? cos(2 x ?
C.

y ? sin(2 x ? ) 3 B. y ? sin(2 x ? ) 6 D.

?

2? ) 3

?

9.如图所示程序框图中,输出 S ? A. 45 C. ?66 B. ?55 D. 66
2

( )

10.已知函数 f ( x) ? x P 的坐标可能为( )

的图像在点

A( x1 , f ( x 1 )) 与点 B( x2 , f ( x2 )) 处的切线互相垂直并交于一点 P,则点
1 (1, ? ) 4 D.

3 (? , 3) A. 2 A?

B. (0, ?4)

C (2,3)

?

11.在 ?ABC 中, A. 19

6 , AB ? 3 3 , AC ? 3 , D 在边 BC 上,且 CD ? 2 DB ,则 AD ? (
C. 5 D. 2 7



B. 21

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, f ( x) ? ? 0 ? x ? 1, ? x, 13.设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ? [?1,1) 时, ,则
3 f( )? 2



14. 将 2 名主治医生,4 名实习医生分成 2 个小组,分别安排到 A、B 两地参加医疗互助活动,每个小组由
-2-

1 名主治医生和 2 名实习医生组成,实习医生甲不能分到 A 地,则不同的分配方案共有

种.

15.设不等式组

?x ? y ? ? ? ?x? y ? 0 ? y?0 ?

所表示的区域为 M ,函数

y ? sin x, x ??0, ? ?

的图象与 x 轴所围成的区域为 N ,

向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为 16.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) ,则

| PA | ? | PB | 的最大值是



三.解答题 (本题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) π 17(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω >0,0<φ< 2 )的

? 2π ? 周期为π ,且图象上有一个最低点为 M 3 ,-3 . ? ?
(1) 求 f(x)的解析式;

? π? (2) 求函数 y=f(x)+f x+ 4 的最大值及对应 x 的值. ? ?
ABCD ? A1B1C1D1中,AD / / BC ?BAD ? 90 , AC ? BD, BC ? 1 , ,

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在直棱柱

AD ? AA1 ? 3 。
(I)证明:

AC ? B1D ;

(II)求直线

B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值。

19.(本小题满分 12 分)某高校在 2012 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直 方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试。 (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组, 求学生甲和 频率 学生乙恰有一人进 入第二轮面试的概率; 组距 (ⅱ) 学校决定在这已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学 0.07 0.06 ? 生接受考官 L 的面试,设第 4 组中有 名学生被考官 L 面 0.05 0.04 试,求 ? 的分布列和数学期望. 0.03 0.02 0.01 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 数 75 80 85 90 95 100 分

1 2 ,右焦点到右顶点的距离为 1.
-3-

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R) ,使得 立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

OA ? 2OB ? OA ? 2OB



1 ? x) 21 . (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (1 ? x) ?2 ln(
2

(1)若关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 0 在 [0 , e ? 1] 有实数解,求实数 m 的取值范围;
2 (2)设 g( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 g( x) ? p 至少有一个解, 求 p 的最小值.

ln( n ? 1) ? 1 ?
(3)证明不等式:

1 1 1 ? ??? 2 3 n

(n ? N * )

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如 图 所 示 ,

PA 为 圆 O 的 切 线 ,

A 为 切

A

PA ? 20 ,PB ? 10, ?BAC 的角平分 点, PO交圆O于B, C两点,
BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .
(1) 求证 AB ? PC ? PA ? AC (2) 求 AD ? AE 的值.

线
C O D B P



E

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? (2, ) 3 . 在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为
求圆 C 的极坐标方程; 在以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参 数方程为

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ? ? y ? ?2 ? 3 t ? 2 ?
(t 为参数) ,直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,已知定点 M (1 , ? 2) ,求|MA|·|MB|。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ? R . (1)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.
-4-

理科数学答案 一 BACBC DCDBD AB

二 13 三

1

14

6

15

8 ?2

16

5

2π 17 解:(1) 由 =π ,得 ω=2. ------ω

? 2π ? 由最低点为 M 3 ,-3 ,得 A=3. ? ?
2π 3π π 且 2× 3 +φ= 2 +2kπ (k∈Z),0<φ< 2 , ∴ π φ = 6 .∴ π? ? f(x)=3sin 2x+ 6 .

?

?

------5

? π? (2) y=f(x)+f x+ 4 ? ? ? ? ? ? ?
π? ? ? ? π? π? =3sin 2x+ 6 +3sin 2 x+ 4 + 6

? ?

? ?

π? π? ? ? =3sin 2x+ 6 +3cos 2x+ 6

?

5π ? ? =3 2sin 2x+ 12 ,

?

?



ymax=3 2. ----12

5π π π 此时,2x+ 12 =2kπ + 2 ,即 x=kπ +24 ,k∈Z.

, 且BD ? 面ABCD ? BB1 ? AC 1B 1C1D 1是直棱柱? BB 1 ? 面ABCD 18 解: (Ⅰ) ? ABCD ? A

又? AC ? BD, 且BD ? BB1 ? B,? AC ? 面BDB 。 ? B1D ? 面BDB , ? AC ? B1D . 1 1
---------(Ⅱ) 4

建立直角坐标系,用向 量解题。设原点在 A点,AB为Y轴正半轴, AD为X轴正半轴。

设A?0,0, 0?, D(3,0,0), D1 (3,0,3), B(0, y,0),C(1, y,0),则AC ? (1, y,0), BD ? (3,? y,0),? AC ? BD

AC? BD ? 0 ? 3 ? y 2 ? 0 ? 0, y ? 0 ? y ? 3.? AC ? (1, 3,0), AD1 ? (3,0,3).
? ?n ? AC ? 0 设平面ACD1的法向量为n, 则? ? .平面ACD1的一个法向量n ? ( - 3, 1,3) , AD ? (3, 0, 3) ? n ? AD ? 0 1 ?

? 平面ACD1的一个法向量 n? (- 3, 1,3) , AD ? (3, 0, 0) ? sin ? ?| cos ? n, AD ?|?

3 3 21 ? 7 7 ?3

-5-

所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为

21 7 。-------12
????????3 分

19 解:(1) 第三组的频率为 0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为 0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为 0.0 2 ? 5=0.1.
1 2 C2 ? C28 27 ? 3 C 145 30 则: P(A)=

(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件 A,第三组应有 3 人进入面试

????????6 分 ????7 分

(ⅱ)第四组应有 2 人进入面试,则随机变量 ? 可能的取值为 0,1,2.

P(? ? i) ?


i 2 ?i C2 C4 (i ? 0、 1、 2) 2 C6 ,则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
??10 分

E? ?

8 2 2 ? ? 15 15 3

????????12 分

c 1 x2 y 2 e? ? ? 2 ?1 a ? b ? 0 2 ? ? a 2 ,由右焦点到 b 20 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 a ,半焦距为 c . 依题意
2 2 2 右顶点的距离为 1,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b ? a ? c ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的标准方程是 4 .???4 分

-6-

21. 解: (1)依题意得

f ( x) max ? m
2 2 x? x ? 2 ? ? 1? x x ? 1 ,而函数 f ( x) 的定义域为 (?1 , ? ?)

? f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

∴ f ( x) 在 (?1 , 0) 上为减函数,在 (0 , ? ?) 上为增函数,则 f ( x) 在 [0 , e ? 1] 上为增函数

? f ( x) max ? f (e ? 1) ? e 2 ? 2
即实数 m 的取值范围为 m ? e ? 2
2

????????????4 分

1 ? x) ? 2 [x ? ln(1 ? x)] (2) g( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ln(
2

g ?( x) ? 2(1 ?


1 2x )? 1? x 1? x

显然,函数 g( x) 在 (?1 , 0) 上为减函数,在 (0 , ? ?) 上为增函数 则函数 g( x) 的最小值为 g(0) ? 0 所以,要使方程 g( x) ? p 至少有一个解,则 p ? 0 ,即 p 的最小值为 0 ????8 分

1 ? x)] ? 0 在 (?1 , ? ?) 上恒成立 (3)由(2)可知: g( x) ? 2 [x ? ln(
-7-

所以

ln(1 ? x) ? x ,当且仅当 x=0 时等号成立
1 n (n ? N * )
,则 x ? (0 , 1)

x?


1 1 ln(1 ? ) ? n n 代入上面不等式得: 1 n

ln


n ?1 1 ? n n,

ln( n ? 1) ? ln n ?


所以, ln 2 ? ln 1 ? 1 ,

ln 3 ? ln 2 ?

1 1 1 ln 4 ? ln 3 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 2, 3 ,?, n

将以上 n 个等式相加即可得到:

ln( n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ??? 2 3 n
C O D

A

????????????12 分 22.解 (1) ∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ? P
B

P

为公共角,
E

?P A B ∽ ?P C A A B? P C ? P? A A C 4分 …………
(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA ? PB ? PC,
2

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 900
AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 又由(1)知 AC PC 2 AB AD ? ?ACE ∽ ?ADB , AE AC AB ? 6 5
,连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB,

A D? A E ? AB ? A? C

6 ?5 1 2? 5 3 60 ……… .10 分

23. 解: (1)设 P( ? ,? ) 是圆上任意一点,

? 则在等腰三角形 COP 中,OC=2,OP= ,

?COP ?| ? ?

?

1 | OP |?| OC | cos ?COP 3 ,而 2 |

? ? ? 4 cos( ? ? )
所以,

3 即为所求的圆 C 的极坐标方程。
2 2

????????5 分
2 2

(2)圆 C 的直角坐标方程为 (x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 ,即: x ? y ? 2x ? 2 3 y ? 0

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ? ? y ? ?2 ? 3 t ? 2 ?
将直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入圆 C 的方程得:
-8-

t 2 ? (3 ? 2 3)t ? 3 ? 4 3 ? 0 ,其两根 t1、t 2 满足 t1 ? t 2 ? 3 ? 4 3
所以,|MA |·|MB| ?| t1 ? t 2 |? 3 ? 4 3 ??????10 分

? ?1 ? x, x ? 2 ? 3 ? f ( x) ? ?5 ? 3x, ?x?2 2 ? 3 ? x ? 1, x ? ? ? 2 24 解: (1)
当x ? 2时, 1 ? x ? 0, 即x ? 1, 解得? 3 5 3 5 当 ? x ? 2时, 5 ? 3x ? 0, 即x ? , 解得 ? x ? 2 3 2 3 3 3 当x ? 时,x ? 1 ? 0, 即x ? 1, 解得1 ? x ? 2 2 ? 5? 不等式解集为 ? x 1 ? x ? ? 3? ?

……………………2 分

……………………5 分

2 ? x ? | 2 x ? a |? 0 ? 2 ? x ?| 2 x ? a |? x ? a ? 2或x ?
(2) 即a ? 4

a?2 3 恒成立
……………………10 分

-9-


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592 | 832 | 219 | 462 | 255 | 549 | 340 | 949 | 418 | 581 | 499 | 137 | 331 | 769 | 241 | 400 | 358 | 270 | 687 | 691 | 518 | 168 | 332 | 994 | 500 | 219 | 786 | 989 | 477 | 287 | 383 | 325 | 307 | 793 | 248 | 179 | 818 | 812 | 112 | 681 | 988 | 420 | 650 | 723 | 554 | 878 | 128 | 130 | 773 | 617 | 303 | 659 | 599 | 773 | 838 | 484 | 105 | 679 | 226 | 434 | 575 | 521 | 428 | 179 | 474 | 400 | 127 | 978 | 249 | 814 | 222 | 607 | 185 | 386 | 336 | 102 | 847 | 873 | 947 | 103 | 155 | 739 | 467 | 897 | 823 | 424 | 458 | 883 | 665 | 999 | 411 | 692 | 661 | 537 | 643 | 400 | 291 | 390 | 672 | 688 | 965 | 219 | 250 | 749 | 337 | 733 | 769 | 784 | 430 | 944 | 467 | 734 | 969 | 650 | 673 | 221 | 247 | 158 | 688 | 478 | 517 | 564 | 640 | 133 | 304 | 229 | 707 | 406 | 513 | 771 | 181 | 396 | 548 | 362 | 743 | 797 | 721 | 476 | 216 | 839 | 428 | 583 | 928 | 852 | 625 | 422 | 778 | 621 | 402 | 859 | 771 | 240 | 239 | 829 | 806 | 913 | 460 | 152 | 433 | 388 | 295 | 433 | 972 | 864 | 380 | 940 | 967 | 828 | 998 | 435 | 752 | 586 | 525 | 196 | 974 | 125 | 785 | 192 | 335 | 150 | 195 | 367 | 779 | 530 | 897 | 918 | 380 | 837 | 568 | 528 | 889 | 882 | 948 | 358 | 1000 | 559 | 604 | 355 | 881 | 825 | 678 | 683 | 104 | 159 | 857 | 919 | 435 | 717 | 600 | 366 | 815 | 642 | 608 | 738 | 704 | 657 | 746 | 273 | 643 | 339 | 838 | 684 | 793 | 276 | 713 | 940 | 188 | 438 | 686 | 222 | 580 |
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