当前位置:首页 >> 数学 >> 无私奉献新教材高论考数学模拟题精编详解名师猜题卷第

无私奉献新教材高论考数学模拟题精编详解名师猜题卷第


词·清平乐 禁庭春昼,莺羽披新绣。 百草巧求花下斗,只赌珠玑满斗。 日晚却理残妆,御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕,折旋笑得君王。

新教材高考数学模拟题精编详解名师猜题卷第一套试题
一 1~12 分数 说明:本套试卷分第Ⅰ 说明:本套试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分, 试时间: 分钟. 试时间:120 分钟. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 S= 4 π R 2 13 14 二 15 16 17 18 19 三 20 21 22

题号

总分

P(A+B)=P(A)+P(B) 其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A) ·P(B) 其中 R 表示球的半径

如果事件 A、B 相互独立,那么 球的体积公式

V=

4 π R3 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率
k Pn (k ) = Cn P k (1 ? P ) n ? k

为节省版面以上公式以后不再一一注明 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题, 小题, 在每小题给出的四个选项中只有一个选 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x<|x|<1},N={x| x ≤x},则 M I N=( ) A. {x | ?1 < x < 1} C. {x | ?1 < x < 0} B. {x | 0 < x < 1} D. {x | 0 ≤ x < 1}
2

2.若奇函数 f(x)的定义域为 R,则有( ) A.f(x)>f(-x) C.f(x)≤f(-x) C.f(x) ·f(-x)≤0 D.f(x) ·f(-x)>0 3.若 a、b 是异面直线,且 a∥平面α ,那么 b 与平面α 的位置关系是( ) A.b∥a B.b 与α 相交 C.b ? α D.以上三种情况都有可能 4. (文)若数列{ an }的前 n 项和为 S n = n ,则( )
2

A. an = 2n ? 1

B. an = 2n + 1

C. an = ?2n ? 1

D. an = ?2n + 1
n 2

2 (理)已知等比数列{ an }的前 n 项和 S n = 2 ? 1 ,则 a12 + a2 + … + an 等于( )

A. ( 2 n ? 1) 2 C. 4 ? 1
n

B. ( 2 ? 1)

1 n 3 1 n D. ( 4 ? 1) 3

5.若函数 f(x)满足 f ( x + 1) = ( ) A.

1 f ( x) ,则 f(x)的解析式在下列四式中只有可能是 2
B. x +

x 2 C. 2 ? x

1 2
2

D. log 1 x

6.函数 y=sinx|cotx|(0<x<π )的图像的大致形状是( )

7.若△ABC 的内角满足 sinA+cosA>0,tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是( )

π ) 4 π 3π C. ( , ) 2 4
A. (0,

π π , ) 4 2 3π D. ( ,π ) 4
B. (

8. (文)圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 4 y + 6 = 0 截直线 x-y-5=0 所得弦长等于( )

A. 6

B.

5 2 2

C.1 D.5 (理)若随机变量ξ 的分布列如下表,则 Eξ 的值为( )

ξ
P

0 2x

1 3x

2 7x B.

3 2x

4 3x

5 x

1 18 20 C. 9
A.

1 9 9 D. 20

9. (文)某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽取容量为 45 人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别 为( ) A.15,5,25 B.15,15,15

C.10,5,30
2

D.15,10,20
2 2

(理)若直线 4x-3y-2=0 与圆 x + y ? 2ax + 4 y + a ? 12 = 0 有两个不同的公共点, 则实数 a 的取值范围是( ) A.-3<a<7 C.-7<a<3

B.-6<a<4 D.-21<a<19

10.我国发射的“神舟 5 号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运 行轨道的短轴长为( ) A. 2 ( m + R )( n + R ) B. ( m + R )(n + R )

C.mn D.2mn 11.某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,欲求不同安排方案的种数,现 有四位同学分别给出下列四个结果:① C6 ;② C 6 + 2C 6 + C 6 + C 6 ;③ 2 ? 7 ;④ A6 .其
2 3 4 5 6
6 2

中正确的结论是( ) A.仅有① C.②和③

B.仅有② D.仅有③

12.将函数 y=2x 的图像按向量 → 平移后得到函数 y=2x+6 的图像,给出以下四个命 a 题:① → 的坐标可以是(-3.0) ;② → 的坐标可以是(0,6) ;③ → 的坐标可以是(-3,0) a a a 或(0,6) ;④ → 的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是( ) a A.1 题号 答案 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题, 填空题: 小题, 二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上 13.已知函数 f ( x ) = 1 2 B.2 3 4 5 C.3 6 7 8 D.4 9 10 11 12 得分

1 1 ( x < ?1) ,则 f ?1 (? ) = ________. 2 1? x 3 14.已知正方体 ABCD- A'B'C'D' ,则该正方体的体积、四棱锥 C' -ABCD 的体积以
x 2

及该正方体的外接球的体积之比为________. 15. (文)在 ( ?

1
3

x

)8 的展开式中常数项是________.

(理)已知函数 f ( x ) = ? x 3 + ax 在区间(-1,1)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 16. (文)同(理)第 15 题

(理)已知数列{ an }前 n 项和 S n = ?ban + 1 ? <b<1,若 limS n 存在,则 lim S n = ________.
n→ ∞ n→ ∞

1 其中 b 是与 n 无关的常数,且 0 (1 + b) n

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17. (12 分)已知函数 f ( x ) = 2 cos x + 3 sin 2 x + a ( a ∈ R ) .
2

(1)若 x∈R,求 f(x)的单调递增区间;

(2)若 x∈[0,

π ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值,并指出这时 x 的值. 2

18. (12 分)设两个向量 e1 、 e2 ,满足| e1 |=2,| e2 |=1, e1 、 e2 的夹角为 60°,若向 量 2te1 + 7e2 与向量 e1 + te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 注意:考生在(19 甲)(19 乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(19 甲)计 、 分. 19 甲. (12 分)如图,平面 VAD⊥平面 ABCD,△VAD 是等边三角形,ABCD 是矩形, AB∶AD= 2 ∶1,F 是 AB 的中点.

(1)求 VC 与平面 ABCD 所成的角; (2)求二面角 V-FC-B 的度数; (3)当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,求 B 到平面 VFC 的距离.

19 乙. (12 分)如图正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E、F、G 分别是 B1 B 、AB、BC 的中 点.

(1)证明: D1 F ⊥EG;

(2)证明: D1 F ⊥平面 AEG;

(3)求 cos < AE , D1 B > . 20. (12 分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款 500 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于 2002 年初动工,年底 竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率 5%,按复利计算) ,公 寓所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元.其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓收费标准定为每生每年 800 元,问到哪一年可偿还建行全部贷款; (2)若公寓管理处要在 2010 年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少 元(精确到元)(参考数据:lg1.7343=0.2391,lgl.05=0.0212, 1.05 =1.4774) .
8

21. (12 分)已知数列{ an }中 a1 =

3 1 + , an = 2 ? (n≥2, n ∈ N ) ,数列 {bn } , 5 an ?1

满足 bn =

1 + (n∈N ) an ? 1

(1)求证数列{ bn }是等差数列;

(2)求数列{ an }中的最大项与最小项,并说明理由;

(3)记 S n = b1 + b2 + … + bn ,求 nlim →∞

(n ? 1)bn . S n +1

22. (14 分) (理)设双曲线 C:

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l a2 b2

与两条渐近线相交于 P、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值;

(2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

b 2e 2 求双曲线 c 的方程. a

(文)在△ABC 中,A 点的坐标为(3,0) ,BC 边长为 2,且 BC 在 y 轴上的区间[-3, 3]上滑动. (1)求△ABC 外心的轨迹方程; (2)设直线 l∶y=3x+b 与(1)的轨迹交于 E,F 两点,原点到直线 l 的距离为 d,求

| EF | 的最大值.并求出此时 b 的值. d

参考答案 1.D 2.C 3.D 4. (理)D (文)A 5.C 6.B 7.C A 9. (理)B (文)D 10.A 11.C 12.D 13.-2 14.6∶2∶ 3 3π 17.解析: (1) f ( x ) = 15. (文)7 (理)a≥3

8. (理)C (文)

16. (文)a≥3(理)1

π 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 + a = 2 sin(2 x + ) + 1 + a . 6 π π π 解不等式 2k π ? ≤ 2 x + ≤ 2k π + . 2 6 2 π π 得 k π ? ≤ x ≤ k π + ( k ∈ Z) 3 6 π π ∴ f(x)的单调增区间为 [ k π ? , k π + ](k ∈ Z) . 3 6 π π π 7π (2)∵ x ∈ [0 , ], ∴ ≤ 2x + ≤ . 2 6 6 6 π π π ∴ 当 2 x + = 即 x = 时, f ( x ) max = 3 + a . 6 2 6 π ∵ 3+a=4,∴ a=1,此时 x = . 6
2 18.解析:由已知得 e12 = 4 , e2 = 1 , e1 ? e 2 = 2 × 1 × cos 60 o = 1 .



2 (2te1 + 7e2 ) ? (e1 + te2 ) = 2te12 + (2t 2 + 7)e1e2 + 7te2 = 2t 2 + 15t + 7 .
2

欲使夹角为钝角,需 2t + 15t + 7 < 0 . 得

1 ?7 <t < ? . 2

设 2te1 + 7e2 = i (e1 + te2 )(λ < 0) .



?2t = λ , ∴ ? ?7 = tλ
t=?

2t 2 = 7 .



14 ,此时 λ = ? 14 . 2

即t = ?

14 时,向量 2te1 + 7e2 与 e1 + te2 的夹角为π . 2 14 14 1 )U (? ,? ) . 2 2 2

∴ 夹角为钝角时,t 的取值范围是(-7, ?

19.解析: (甲)取 AD 的中点 G,连结 VG,CG.

(1)∵ △ADV 为正三角形,∴ VG⊥AD. 又平面 VAD⊥平面 ABCD.AD 为交线, ∴ VG⊥平面 ABCD,则∠VCG 为 CV 与平面 ABCD 所成的角. 设 AD=a,则 VG = 在 Rt△GDC 中,

3 a , DC = 2a . 2

GC = DC 2 + GD 2 = 2a 2 +

a2 3 = a. 4 2 VG 3 = . GC 3

在 Rt△VGC 中, tan ∠VCG =



∠VCG = 30o .

即 VC 与平面 ABCD 成 30°. (2)连结 GF,则 GF =

AG 2 + AF 2 =
6 a. 2
2

3 a. 2



FC = FB 2 + BC 2 =
2 2

在△GFC 中, GC = GF + FC . ∴ GF⊥FC. 连结 VF,由 VG⊥平面 ABCD 知 VF⊥FC,则∠VFG 即为二面角 V-FC-D 的平面角.

在 Rt△VFG 中, VG = GF =

3 a. 2

∴ ∠VFG=45°. 二面角 V-FC-B 的度数为 135°. (3)设 B 到平面 VFC 的距离为 h,当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,即 VG=3. 此时 AD = BC = 2 3 , FB = ∴

6 , FC = 3 2 , VF = 3 2 .

1 S ?VFC = VF ? FC = 9 , 2 1 S ?BFC = FB ? BC = 3 2 . 2 VV ? FCB = VB ?VCF , 1 ?VG ? S ?FBC = 1 ? h ? S ?VFC . 3 3 1 1 × 3× 3 2 = ? h ? 9 . 3 3

∵ ∴ ∴ ∴

h= 2

即 B 到面 VCF 的距离为 2 .

(乙)以 D 为原点,DA、DC、 DD1 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标 系,设正方体 AC1 棱长为 a,则 D(0,0,0) ,A(a,0,0) ,B(a,a,0) D1 (0,0,a) , , E(a,a,

a a a ) ,F(a, ,0) ,G( ,a,0) . 2 2 2

(1) D1 F = ( a , ∵ ∴

a a a ,-a) EG = ( ? ,0, ? ) , , 2 2 2 a a a D1 F ? EG = a (? ) + × 0 + (? a )(? ) = 0 , 2 2 2

D1 F ⊥ EG .
a ) , 2 a a D1 F ? AE = a × 0 + × a ? a × = 0 . 2 2

(2) AE = (0 ,a, ∴ ∴

D1 F ⊥ AE .



EG I AE = E ,∴

D1 F ⊥ 平面 AEG.

(3)由 AE = (0 ,a,

a ) D1 B =(a,a, ? a ) , , 2

1 a2 ? a2 5 2 ∴ cos < AE , D1 B >= = = . 15 a2 | AE | ? | D1B | 2 2 2 2 0+a + ? a + a + (?a) 4

AE ? D1B

20.解析:依题意,公寓 2002 年底建成,2003 年开始使用. (1)设公寓投入使用后 n 年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为 1000×80(元) =800000(元)=80 万元,扣除 18 万元,可偿还贷款 62 万元. 依题意有

62[1 + (1 + 5%) + (1 + 5%) 2 + … + (1 + 5%) n ?1 ] ≥ 500(1 + 5%) n +1 .

化简得 62(1.05n ? 1) ≥ 25 × 1.05 n +1 . ∴

1.05 n ≥ 1.7343 . lg 1.7343 0.2391 = = 11.28 .∴ 取 n=12(年) . lg 1.05 0.0212

两边取对数整理得 n ≥

∴ 到 2014 年底可全部还清贷款. (2)设每生和每年的最低收费标准为 x 元,因到 2010 年底公寓共使用了 8 年, 依题意有 (

1000 x ? 18)[1 + (1 + 5%) + (1 + 5%) 2 + … + (1 + 5%) 7 ] ≥ 500(1 + 5%)9 . 10000 10.58 ? 1 ≥ 500 × 1.05 9 . 1.05 ? 1

化简得 (0.1x ? 18)



25 × 1.05 9 25 × 1.05 × 1.4774 ) = 10 × (18 + 81.2) = 992 x ≥ 10(18 + ) = 10(18 + 8 1.4774 ? 1 1.05 ? 1

(元) 故每生每年的最低收费标准为 992 元. 21.解析: (1) bn =

1 1 a = = n ?1 , an ? 1 2 ? 1 an?1 ? 1 an ?1 ? 1



bn?1 =

1 an ?1 ? 1





bn ? bn ?1 =

an ?1 1 = = 1 . (n ∈ N + ) an ?1 ? 1 an ?1 ? 1

∴ { bn }是首项为 b1 =

1 5 = ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2 1 5 ,而 bn = ? + ( n ? 1) ?1 = n ? 3.5 , bn 2

(2)依题意有 an ? 1 =

1 . n ? 3 .5 1 ,在 x>3.5 时,y>0, y' < 0 ,在(3.5, + ∞ )上为减函数. 对于函数 y = x ? 3 .5 1 故当 n=4 时, an = 1 + 取最大值 3 n ? 3 .5


an ? 1 =

而函数 y = 减函数.

1 1 在 x<3.5 时,y<0, y' = ? < 0 ,在( ? ∞ ,3.5)上也为 x ? 3 .5 ( x ? 3.5) 2

故当 n=3 时,取最小值, a3 =-1.

5 2n ? 5 (n + 1)(? + ) (n + 1)(n ? 5) 2 2 (3) S n +1 = , bn = n ? 3.5 , = 2 2

n→∞

lim

(n ? 1)bn 2(n ? 1)(n ? 3.5) = lim∞ =2 . n→ S n +1 (n + 1)(n ? 5)
a2 b , 两条渐近线方程为: y = ± x . c a

22. 解析: (1) 双曲线 C 的右准线 l 的方程为: x=

∴ 两交点坐标为

P(

a 2 ab a2 ab , ) 、 Q( , ? ) . c c c c

∵ △PFQ 为等边三角形,则有 | MF |=

3 | PQ | (如图) . 2



a2 3 ab ab c2 ? a2 3ab c? = ? ( + ) ,即 = . c 2 c c c c

解得

b = 3a ,c=2a.∴

e=

c = 2. a x2 y2 ? =1. a 2 3a 2
2 2

(2)由(1)得双曲线 C 的方程为把

把 y = ax + 3a 代入得 (a ? 3) x + 2 3a x + 6a = 0 .
2 2

依题意

?a 2 ? 3 ≠ 0, ? ? ?? = 12a 4 ? 24(a 2 ? 3)a 2 > 0 ?



a 2 < 6 ,且 a 2 ≠ 3 .

∴ 双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

l = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = (1 + a 2 )( x1 ? x 2 ) 2 = (1 + a 2 )[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

= (1 + a 2 )

12a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 (a 2 ? 3) 2



l=

b 2c 2 = 12a . a



144a 2 = (1 + a 2 ) ?

72a 2 ? 12a 4 . (a 2 ? 3) 2

整理得 ∴

13a 4 ? 77 a 2 + 102 = 0 . 51 . 13 x2 y2 13 x 2 13 y 2 ? =1或 ? = 1. 2 6 51 153

a2 = 2 或 a2 =

∴ 双曲线 C 的方程为:

(文) (1)设 B 点的坐标为(0, y0 ) ,则 C 点坐标为(0, y0 +2) (-3≤ y0 ≤1) , 则 BC 边的垂直平分线为 y= y0 +1 ①

y+

y0 3 3 = (x ? ) 2 y0 2



由①②消去 y0 ,得 y 2 = 6 x ? 8 . ∵

? 3 ≤ y 0 ≤ 1 ,∴

? 2 ≤ y = y0 + 1 ≤ 2 .

故所求的△ABC 外心的轨迹方程为: y 2 = 6 x ? 8( ?2 ≤ y ≤ 2) . (2)将 y = 3 x + b 代入 y 2 = 6 x ? 8 得 9 x 2 + 6(b ? 1) x + b 2 + 8 = 0 .

由 y = 6 x ? 8 及 ? 2 ≤ y ≤ 2 ,得
2

4 ≤ x≤2. 3

所以方程①在区间 [ ,2 ] 有两个实根. 设 f ( x ) = 9 x 2 + 6(b ? 1) x + b 2 + 8 ,则方程③在 [ ,2 ] 上有两个不等实根的充要条件 是:

4 3

4 3

?? = [6(b ? 1)] 2 ? 4 ? 9(b 2 + 8) > 0, ? ? f ( 4 ) = 9 ? ( 4 ) 2 + 6(b ? 1) ? 4 + b 2 + 8 ≥ 0, ? 3 3 3 ? 2 2 ? f (2) = 9 ? 2 + 6(b ? 1) ? 2 + b + 8 ≥ 0, ? 4 ? 6(b ? 1) ≤ 2. ? ≤ 2?9 ?3 之得 ? 4 ≤ b ≤ ?3 .


2 b2 + 8 2 | x1 ? x2 |= ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = [ (b ? 1)]2 ? 4 ? = ? 2b ? 7 3 9 3
2

∴ 由弦长公式,得 | EF |= 1 + k | x1 ? x2 |= 又原点到直线 l 的距离为 d =

2 10 ? ? 2b ? 7 3

|b| , 10



| EF | 20 ? 2b ? 7 20 7 2 20 1 1 1 = = ? 2? = ? 7( + ) 2 + 2 d 3 b 3 b b 3 b 7 7
? 4 ≤ b ≤ ?3 ,∴



1 1 1 ? ≤ ≤? . 3 b 4 1 1 EF 5 ∴ 当 = ? ,即 b = ?4 时, | |max = . b 4 d 3


赞助商链接
更多相关文档:
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com