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2.1.2指数函数及其性质专题训练-解答题


2.1.2 指数函数及其性质专题训练-解答题
一.解答题(共 30 小题) 1. (2015 春?淮安期末)设函数 f(x)=a +ka (a>0,且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求实数 k 的值; (2)若 f(1)= .f(x)是单调增函数.
x
﹣x

2. (2015 秋?昆明校级期中)已知函数 f(x)=a (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=a
x﹣1

x﹣1

(x≥0)的图象经过点(2, ) ,其中 a>0,a≠1.

(x≥0)的值域.

3. (2015 秋?上饶校级月考)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的图象过点(0,﹣2) , (2,0) (1)求 a 与 b 的值; (2)求 x∈[﹣2,4]时,求 f(x)的最大值与最小值.

x

4. (2016 春?济南期末)已知指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)过点(﹣2,9) (1)求函数 f(x)的解析式 (2)若 f(2m﹣1)﹣f(m+3)<0,求实数 m 的取值范围.

x

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5. (2016 春?运城校级期末)已知函数 f(x)=( ) ,a 为常数,且函数的图象过点(﹣1,2) . (1)求 a 的值; (2)若 g(x)=4 ﹣2,且 g(x)=f(x) ,求满足条件的 x 的值.
﹣x

ax

6. (2015?衡阳县校级一模)已知函数 f(x)= (1)若 a=﹣1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f(x)的值域是(0,+∞) ,求 a 的取值范围.



7. (2015 秋?凯里市校级期末)已知 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象经过点 P(2,4) . (1)求 a 的值; (2)已知 f(2x)﹣3f(x)﹣4=0,求 x.

x

8. (2015 春?甘肃校级期末)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)=a×3 +3 ,a 为常数. (1)求 a 的值; (2)用单调性定义证明 f(x)在[0,+∞)上是减函数; (3)解不等式 f(x﹣1)+f(2x+3)<0.

x

﹣x

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9. (2015 秋?宁夏校级期中)已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 的值.

x

,求实数 a

10. (2015 秋?阜阳校级期中)已知函数 (1)求函数的单调区间; (2)求函数的值域.

的定义域为[﹣3,2],

11. (2015 秋?西宁校级期中)已知函数 f(x)=2 ﹣2 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.

x

﹣x

12. (2014?奎文区校级模拟)已知函数 y=|2 ﹣2| (1)作出其图象; (2)由图象指出函数的单调区间; (3)由图象指出当 x 取何值时,函数有最值,并求出最值.

x

13. (2014 春?天水校级期末)已知函数 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性;

,且



(3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

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14. (2013 秋?辽宁期末)已知函数 (1)若 0<a<1,求 f(a)+f(1﹣a)的值; (2)求 的值.

15. (2014 秋?宁化县校级月考) 已知函数 y=a (a>0 且 a≠1) 在[1, 2]上的最大值与最小值之和为 20, 记 (1)求 a 的值; (2)求 f(x)+f(1﹣x)的值; (3)求 的值.

x



16. (2014 秋?梁山县校级月考)已知函数 y=( ) (1)求函数的定义域与值域; (2)确定函数的单调区间.

17. (2014 秋?九江校级月考)设 a>0,f(x)= (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解方程 f(x)=2.

+

是 R 上的偶函数.

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18. (2013 秋?赣榆县校级期末)已知函数 f(x)= (1)若 f(m)=6,求 f(﹣m)的值; (2)若 f(1)=3,求 f(2)及 的值.

(a>0,a≠1,a 为常数,x∈R)

19. (2013 秋?青原区校级期中)已知函数 f(x)=a +b 的图象如图所示. (1)求 a 与 b 的值; (2)求 x∈[2,4]的最大值与最小值.

x

20. (2013 秋?朝阳区校级期中)已知函数 y=2 (1)作出其图象; (2)由图象指出单调区间;

|x|

(3)由图象指出当 x 取何值时函数有最小值,最小值为多少?

21. (2012 秋?安庆期末)设 f(﹣x)=2 +a?2 (a 是常数) . (1)求 f(x)的表达式; (2)如果 f(x)是偶函数,求 a 的值; (3)当 f(x)是偶函数时,讨论函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明.

﹣x

x

第 5 页(共 23 页)

22. (2015 秋?清远月考)已知对数函数的图象经过点(2,﹣1) . (1)求函数的解析式 (2)当 x∈[1,4]时,求函数的值域.

23. (2015 秋?太原校级月考)已知指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)图象过点 (1)求 f(x)的解析式; (2)利用第(1)的结论,比较 a
﹣0.1

x



与a

﹣0.2

的大小.

24. (2015 秋?忻州校级期末)已知函数 f(x)=( ) . (1)作出函数 f(x)的图象; (2)指出该函数的单调递增区间; (3)求函数 f(x)的值域.

|x|

25. (2013 秋?商丘期中)已知函数 f(x)=2 +2 (1)求 a、b; (2)判断 f(x)的奇偶性;

x

ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=



(3)试判断函数在(﹣∞,0]上的单调性,并证明.

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26. (2013 秋?金阊区校级月考)函数 f(x)=2

的值域是



27. (2011 秋?楚州区校级期中) (1)计算:



(2)解方程 4 ﹣2

x

x+1

﹣8=0.

28. (2011 秋?桑植县校级期中) (1)求函数 (2)已知﹣1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2?3
x+1 x

的值域和单调区间. ﹣9 的最大值和最小值.

29. (2012 秋?南岗区校级期中)已知指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1) (1)求 f(0)的值; (2)如果 f(2)=9,求实数 a 的值.

x

30. (2015 秋?平湖市校级月考)已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠0)经过点(2,4) . (1)求 a 的值; (2)画出函数 g(x)=a 图象,并写出该函数在 R 上的单调区间.
|x|

x

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2.1.2 指数函数及其性质专题训练-解答题
参考答案与试题解析

一.解答题(共 30 小题) 1. (2015 春?淮安期末)设函数 f(x)=a +ka (a>0,且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求实数 k 的值; (2)若 f(1)= .f(x)是单调增函数. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=a +ka (a>0,且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(﹣x)+f(x)=a +ka +a +ka =(k+1) (a +a )=0 对于任意实数都成立. ∴k=﹣1. (2)由(1)可知:f(x)=a ﹣a , ∵f(1)=a﹣a = ,又 a>0,解得 a=2. ∴f(x)=2 ﹣2 . 任取实数 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=2 =(2 ) (1 ) , ﹣2 ﹣(2 ﹣2 )
x
﹣x ﹣1 ﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

∵x1<x2,∴2

<2

,又 2

>0,

∴f(x1)<f(x2) ,∴f(x)是单调增函数;

2. (2015 秋?昆明校级期中)已知函数 f(x)=a (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=a
x﹣1

x﹣1

(x≥0)的图象经过点(2, ) ,其中 a>0,a≠1.

(x≥0)的值域.
x﹣1

【解答】解: (1)∵函数 f(x)=a ∴ ∴ (2)由(1)知 ∴ ,解得 , .

(x≥0)的图象经过点(2, ) ,

,又∵ 在[0,+∞)上为减函数,



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又∵ ∴

的定义域为[0,+∞) ,且 f(0)=2, 的值域为(0,2].

3. (2015 秋?上饶校级月考)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的图象过点(0,﹣2) , (2,0) (1)求 a 与 b 的值; (2)求 x∈[﹣2,4]时,求 f(x)的最大值与最小值. 【解答】解: (1)因为函数图象过点(0,﹣2) , (2,0) , 所以 故 a= ,解得 ,b=﹣3; ,指数函数的底 >1, (舍去 a=﹣ ) ,

x

(2)因为 f(x)=

所以,该函数在定义域内单调递增, 即当 x∈[﹣2,4]时,f(x)单调递增,所以, f(x)min=f(﹣2)= ﹣3=﹣ , f(x)max=f(4)=9﹣3=6, 即 f(x)的最大值与最小值分别为:6 和﹣ .

4. (2016 春?济南期末)已知指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)过点(﹣2,9) (1)求函数 f(x)的解析式 (2)若 f(2m﹣1)﹣f(m+3)<0,求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)将点(﹣2,9)代入到 f(x)=a 得 a =9,解得 a= , ∴f(x)= (2)∵f(2m﹣1)﹣f(m+3)<0, ∴f(2m﹣1)<f(m+3) , ∵f(x)= 为减函数,
x
﹣2

x

∴2m﹣1>m+3, 解得 m>4, ∴实数 m 的取值范围为(4,+∞)

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5. (2016 春?运城校级期末)已知函数 f(x)=( ) ,a 为常数,且函数的图象过点(﹣1,2) . (1)求 a 的值; (2)若 g(x)=4 ﹣2,且 g(x)=f(x) ,求满足条件的 x 的值. 【解答】解: (1)由已知得( ) =2,解得 a=1. (2)由(1)知 f(x)=( ) , 又 g(x)=f(x) ,则 4 ﹣2=( ) ,即( ) ﹣( ) ﹣2=0,即[( ) ] ﹣( ) ﹣2=0, 令( ) =t,则 t ﹣t﹣2=0,即(t﹣2) (t+1)=0, 又 t>0,故 t=2,即( ) =2,解得 x=﹣1, 满足条件的 x 的值为﹣1.
x x 2
﹣x ﹣a ﹣x

ax

x

x

x

x

x 2

x

6. (2015?衡阳县校级一模)已知函数 f(x)= (1)若 a=﹣1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f(x)的值域是(0,+∞) ,求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)= 令 g(x)=﹣x ﹣4x+3,
2





由于 g(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,+∞)上单调递减, 而 y=
t

在 R 上单调递减,

所以 f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递减,在(﹣2,+∞)上 单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是(﹣2,+∞) ,递减区间是(﹣∞,﹣2 ) . (2)令 h(x)=ax ﹣4x+3,y= 所以 h(x)应有最小值﹣1, 因此 解得 a=1. 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知, 要使 y=h(x)的值域为(0,+∞) .
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2 h(x)

,由于 f(x)有最大值 3,

=﹣1,

应使 h(x)=ax ﹣4x+3 的值域为 R, 因此只能有 a=0. 因为若 a≠0,则 h(x)为二次函数,其值域不可能为 R. 故 a 的取值范围是{0}.

2

7. (2015 秋?凯里市校级期末)已知 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象经过点 P(2,4) . (1)求 a 的值; (2)已知 f(2x)﹣3f(x)﹣4=0,求 x. 【解答】 .解: (1)由 f(x)经过点 P(2,4)得: a =4,又 a>0 解得:a=2…(6 分) (2)由(1)得 f(x)=2 , 由 f(2x)﹣3f(x)﹣4=0, 得:2 ﹣3?2 ﹣4=0,解得:2 =4(2 =﹣1<0 舍去) , 由 2 =4,解得 x=2…(12 分)
x 2x x x x x 2

x

8. (2015 春?甘肃校级期末)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)=a×3 +3 ,a 为常数. (1)求 a 的值; (2)用单调性定义证明 f(x)在[0,+∞)上是减函数; (3)解不等式 f(x﹣1)+f(2x+3)<0. 【解答】解: (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,即 a+1=0,解得 a=﹣1. (2)f(x)=﹣3 +3 , 设 x1>x2≥0,则 f(x1)﹣f(x2)=3 ∵x1>x2≥0,∴﹣x1<﹣x2, ∴3 <3 ,3 <3 ﹣3 ,即 3 +3 ﹣3 ﹣3 <0,3 <0, ﹣3 <0 ﹣3 +3 ﹣3 ,
x
﹣x

x

﹣x

∴f(x1)﹣f(x2)=3

∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. (3)∵f(x)是奇函数且在[0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在 R 上是减函数. ∵f(x﹣1)+f(2x+3)<0. ∴f(2x+3)<﹣f(x﹣1)=f(1﹣x) ,
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∴2x+3>1﹣x, 解得 x> .

9. (2015 秋?宁夏校级期中)已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 的值. 【解答】解:当 a>1 时,函数 f(x)=a 在区间[1,2]上是增函数, ∴f(x)min=f(1)=a,f(x)max=f(2)=a , 由题意知 a ﹣a=
2 2 x

x

,求实数 a

,解得 a= ,或 a=0(舍去) ;
x

当 0<a<1 时,函数 f(x)=a 在区间[1,2]上是减函数, ∴f(x)min=f(1)=a ,f(x)max=f(2)=a, 由题意知 a﹣a =
2 2

,解得 a= ,或 a=0(舍去) ;

综上可知,a 的值为 或

10. (2015 秋?阜阳校级期中)已知函数 (1)求函数的单调区间; (2)求函数的值域. 【解答】解: (1)令 t= 当 x∈[1,2]时,t= 当 x∈[﹣3,1]时,t= ,则 y=t ﹣t+1=(t﹣ ) + 是减函数,此时 t 是减函数,此时 t
2 2

的定义域为[﹣3,2],

,在此区间上 y=t ﹣t+1 是减函数 ,在此区间上 y=t ﹣t+1 是增函数
2

2

∴函数的单调增区间为[1,2],单调减区间为[﹣3,1] (2)∵x∈[﹣3,2], ∴t 由(1)y=t ﹣t+1=(t﹣ ) + ∴函数的值域为
2 2

11. (2015 秋?西宁校级期中)已知函数 f(x)=2 ﹣2 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.
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x

﹣x

【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域是 R, 因为 f(﹣x)=2 ﹣2 =﹣(2 ﹣2 )=﹣f(x) , 所以函数 f(x)=2 ﹣2 (2)设 x1<x2, 则 f(x1)=2 ﹣2 ,f(x2)=2 ﹣2 , ﹣(2 ﹣2 ﹣2 , )
x
﹣x ﹣x

x

x

﹣x

是奇函数;

∴f(x1)﹣f(x2)=2 =

∵x1<x2, ∴ ,1+ >0,

∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.

12. (2014?奎文区校级模拟)已知函数 y=|2 ﹣2| (1)作出其图象; (2)由图象指出函数的单调区间; (3)由图象指出当 x 取何值时,函数有最值,并求出最值. 【解答】解: (1)函数 y=|2 ﹣2|图象是由 y=2 的图象向下平移 2 个单位,再将 x 轴下方的部分翻着到 x 轴上方得到, 如图所示: (2)结合函数的图象,可得函数的减区间为(﹣∞,1],增区间为(1,+∞) . (3)数形结合可得,当 x=1 时,ymiin=0.
x x

x

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13. (2014 春?天水校级期末)已知函数 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性;

,且



(3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 【解答】解: (1)因为 ,所以 ,所以 m=1. ,

(2)因为 f(x)的定义域为{x|x≠0},又 所以 f(x)是奇函数. (3)任取 x1>x2>0,则 因为 x1>x2>0,所以 所以 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数. ,所以 f(x1)>f(x2) ,



14. (2013 秋?辽宁期末)已知函数 (1)若 0<a<1,求 f(a)+f(1﹣a)的值; (2)求 的值.

【解答】解: (1)∵函数



∴f(a)+f(1﹣a)= (2)∵f(a)+f(1﹣a)=1, ∴ =





15. (2014 秋?宁化县校级月考) 已知函数 y=a (a>0 且 a≠1) 在[1, 2]上的最大值与最小值之和为 20, 记 (1)求 a 的值; (2)求 f(x)+f(1﹣x)的值; (3)求
x

x



的值.
x

【解答】解: (1)∵函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 20,且 y=a 单调, ∴a+a =20,得 a=4,或 a=﹣5(舍去) ;
第 14 页(共 23 页)
2

(2)由(1)知





=

=

=

=1;

(3)由(2)知 f(x)+f(1﹣x)=1,得 n 为奇数时, n 为偶数时, 综上, = = = . ×1= ; = ;

+f( )=

16. (2014 秋?梁山县校级月考)已知函数 y=( ) (1)求函数的定义域与值域; (2)确定函数的单调区间. 【解答】解: (1)设 u=x ﹣2x﹣1, 由于函数 y= 故 y=( )
2 2

和 u=x ﹣2x﹣1 的定义域都是(﹣∞,+∞) , 的定义域为(﹣∞,+∞) ,
2

2

又 u=x ﹣2x﹣1=(x﹣1) ﹣2≥﹣2, 因为函数 y= 为减函数,0<y≤ =9,

故函数的值域为(0,9]. (2)由二次函数的性质可知,u=x ﹣2x﹣1,在(﹣∞,1]上为减函数,在(1,+∞)为增函数, 又函数 y= 为减函数,
2

根据复合函数的单调性可知, 函数 y=( ) 在(﹣∞,1]上为增函数,在(1,+∞)为减函数.

17. (2014 秋?九江校级月考)设 a>0,f(x)=

+

是 R 上的偶函数.

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(1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解方程 f(x)=2. 【解答】解: (1)∵f(x)= ∴f(﹣x)=f(x)恒成立, 即
2

+

是 R 上的偶函数,

=)=
2x

+

恒成立,

整理,得(a ﹣1) (e ﹣1)=0 对任意实数 x 恒成立, 故 a ﹣1=0,又∵a>0, ∴a=1, (2)设 0<x1<x2, ∴f(x1)﹣f(x2)=(e ﹣e )+(
x
﹣x

2

x1

x2



)=(e ﹣e ) (

x2

x1

﹣1) ,

∵函数 y=e 为增函数,y=e ∴e ﹣e >0,
x2 x1

为减函数,

﹣1<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数, (3)由方程 f(x)=2, 得e +
2x x

=2,
x

即 e ﹣2e +1=0, ∴e =1=e , ∴x=0, 故方程的根为 x=0.
x 0

18. (2013 秋?赣榆县校级期末)已知函数 f(x)= (1)若 f(m)=6,求 f(﹣m)的值; (2)若 f(1)=3,求 f(2)及 【解答】解: (1)∵f(﹣x)= 的值. =f(x)

(a>0,a≠1,a 为常数,x∈R)

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∴f(x)为偶函数 ∴f(﹣m)=f(m)=6. (2)∵f(1)=3 ∴a+ =6 ∴ ∴ =34 =36

∴f(2)=17 ∵ =8,







19. (2013 秋?青原区校级期中)已知函数 f(x)=a +b 的图象如图所示. (1)求 a 与 b 的值; (2)求 x∈[2,4]的最大值与最小值.

x

【解答】解: (1)由已知可得点(2,0) , (0,﹣2)在函数 f(x)=a +b 的图象上 ∴ ,

x

解得



又 ∴

不符合题意舍去, ;

(2)由(1)知


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∵ ∴ ∴x∈[2,4]时

在其定义域 R 上是增函数, 在 R 上是增函数, 也是增函数,

当 x=2 时 f(x)取得最小值,且最小值为 f(2)=0, 当 x=4 时 f(x)取得最大值,且最大值为 f(4)=6.

20. (2013 秋?朝阳区校级期中)已知函数 y=2 (1)作出其图象; (2)由图象指出单调区间;

|x|

(3)由图象指出当 x 取何值时函数有最小值,最小值为多少?

【解答】解: (1)函数 y=2 的是偶函数,在(0,+∞)上是增函数,且它的图象经过点(0,1) , 它的图象关于 y 轴对称,如图所示: (2)结合函数的图象,可得函数的减区间为(﹣∞,0],增区间为(0,+∞) . (3)数形结合可得,当 x=0 时,ymiin=2 =1.
0

|x|

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21. (2012 秋?安庆期末)设 f(﹣x)=2 +a?2 (a 是常数) . (1)求 f(x)的表达式; (2)如果 f(x)是偶函数,求 a 的值; (3)当 f(x)是偶函数时,讨论函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明. 【解答】解: (1)令 t=﹣x,则 x=﹣t,于是 ∴ (2)∵f (x)是偶函数,∴ 即 ∴a﹣1=0,即 a=1 (3)由(2)知 a=1, ,设 0<x1<x2,则 对任意 x∈R 恒成立, 对任意 x∈R 恒成立

﹣x

x

∵x1<x2,且 y=2 是增函数,∴ ∵0<x1<x2,x1+x2>0,∴

x

,即



∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) ∴当 x∈(0,+∞)时,f (x)是增函数.

22. (2015 秋?清远月考)已知对数函数的图象经过点(2,﹣1) . (1)求函数的解析式 (2)当 x∈[1,4]时,求函数的值域.
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【解答】解: (1)设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1) , ∵函数的图象经过点(2,﹣1) , ∴﹣1=loga2,解得 ∴f(x)= (2)∵ , 在[1,4]上是减函数, ,

∴当 x=1 时,f(x)有最大值 0; 当 x=4 时,f(x)有最小值﹣2. ∴函数的值域是[﹣2,0].

23. (2015 秋?太原校级月考)已知指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)图象过点 (1)求 f(x)的解析式; (2)利用第(1)的结论,比较 a
x
﹣0.1

x



与a

﹣0.2

的大小.

【解答】解: (1)∵设 f(x)=a (a>0,且 a≠1) ∵图象过点 ∴ ∴ (2)由(1)知 ∵﹣0.1>﹣0.2, ∴a
﹣0.1

, ,





<a

﹣0.2



24. (2015 秋?忻州校级期末)已知函数 f(x)=( ) . (1)作出函数 f(x)的图象; (2)指出该函数的单调递增区间; (3)求函数 f(x)的值域. 【解答】解: (1)图象如图所示: (2)由图象可知,函数的单调递增区间为(﹣∞,0) , (3)由图象可知,函数的值域为(0,1].

|x|

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25. (2013 秋?商丘期中)已知函数 f(x)=2 +2 (1)求 a、b; (2)判断 f(x)的奇偶性;

x

ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=



(3)试判断函数在(﹣∞,0]上的单调性,并证明.

【解答】解: (1)由已知得:

,解得



(2)由(1)知:f(x)=2 +2 .任取 x∈R,则 f(﹣x)=2 +2 (3)函数 f(x)在(﹣∞,0]上为减函数. 证明:设 x1、x2∈(﹣∞,0],且 x1<x2,则 f (x1) ﹣f (x2) = ( ) ﹣ ( ) = (

x

﹣x

﹣x

﹣(﹣x

)=f(x) ,所以 f(x)为偶函数.

) + (

) =

∵x1<x2<0,∴0<



<1,∴

>0, ,∴



<0, ,∴

﹣1<0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , ∴函数 f(x)在(﹣∞,0]上为减函数.

26. (2013 秋?金阊区校级月考)函数 f(x)=2
2 2

的值域是 (0,16] .

【解答】解:设 t=﹣x +4x=﹣(x﹣2) +4,当 x=2 时,t 有最大值,为 4, 而 f(x)=2 ,在其定义域内为增函数, 所以函数 f(x)有最大值,最大值为 f(4)=16, 故函数 f(x)=2 故答案为: (0,16]
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t

的值域是(0,16]

27. (2011 秋?楚州区校级期中) (1)计算: (2)解方程 4 ﹣2
x x+1



﹣8=0. =
x x x

【解答】解: (1)原式=
x 2

= .…(7 分)

(2)由方程(2 ) ﹣2?2 ﹣8=0,可得 2 =4,或 2 =﹣2(舍去) 解得 x=2.…(14 分)

28. (2011 秋?桑植县校级期中) (1)求函数 (2)已知﹣1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2?3 【解答】解: (1)设函数 t=x ﹣2x﹣1=(x﹣1) ﹣2≥﹣2, ∴函数 在函数 ∵ ∴函数 (2)∵﹣1≤x≤2,∴ ∵f(x)=3+2?3
x 2 x+1 x x 2 2 2 x+1 x

的值域和单调区间. ﹣9 的最大值和最小值. ,

=

的值域是(0,9]; 中, ,t=x ﹣2x﹣1 的对称轴是 x=1,增区间是[1,+∞) ,减区间是(﹣∞,1], 的增区间是(﹣∞,1],减区间是[1,+∞) . ,
x 2

﹣9 =3+6?3 ﹣(3 )

=﹣(3 ﹣3) +12, ∴3 =3 时,f(x)取最大值 12, 3 =9 时,f(x)取最小值﹣24.
x x

29. (2012 秋?南岗区校级期中)已知指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1) (1)求 f(0)的值; (2)如果 f(2)=9,求实数 a 的值. 【解答】解: (1)因为 f(x)=a 所以 f(0)=a =1; (2)因为 f(2)=a =9,又 a>0 且 a≠1, 所以 a=3,即实数 a 的值为 3.
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2 x 0

x

30. (2015 秋?平湖市校级月考)已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠0)经过点(2,4) . (1)求 a 的值; (2)画出函数 g(x)=a 图象,并写出该函数在 R 上的单调区间. 【解答】解: (1)函数 f(x)=a (a>0 且 a≠0)经过点(2,4) . ∴a =4, 解得 a=2, (2)由(1)可知 g(x)=2 =
|x| 2 x |x|

x

,图象为:

由图可知单调减区间(﹣∞,0) ,单调增区间[0,+∞) .

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