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竞赛专题--凸函数和琴生不等式


凸函数和琴生不等式
1..( 02 成都模拟试题 )若函数 y ? sin x在区间 (0, ? )上是凸函数,那么在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值为

A

1 2

B

3 2

C

3 2 2

D

3 2

分析:

? y ? sin x在 ( 0, ? )上是凹函数,则: 1 3 (sin A ? sin B ? sin C ) ? sin( 3 3 2 A? B?C 3 ) ? sin 60 ? ? 3 2

sin A ? sin B ? sin C ?

当且仅当 sin A ? sin B ? sin C 时,即 A ? B ? C ?

?
3

时,取等号;

2.若 a1 , a 2 , ? a n 是一组实数,且 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? k ( k为定值 ),试求: a1 ? a 2 ? ? ? a n 的
2 2 2

最小值 分析: f ( x ) ? x 2 在 ( ?? , ?? )上是凸函数 ? ? 1 n ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (
2 2 2 2 2 2

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

)2 ?

k2 n2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

k2

n 当且仅当 a1 ? a 2 ? ? ? a n时,取等号

3.已知 xi ? 0, (i ? 1,2, ? , n ), n ? 2, x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1, 求证: ? (1 1 x1 ) n ? (1 ? 1 x2 ) n ? ? ? (1 ? 1 xn ) n ? n ( n ? 1) n

1 1 1 1 1 1 1 证: [(1 ? ) n ? (1 ? ) n ? ? ? (1 ? ) n ] ? n (1 ? ) n (1 ? ) n ? (1 ? ) n ? n x1 x2 xn x1 x2 xn
? (1 ? 1 x1 )(1 ? 1 x2 ) ? (1 ? 1 xn )

(利用结论: 1 ? [(
? [(1 ? 1 x1 )(1 ? 1 x2

b1 a1

)(1 ?
1 xn

b2 a2
1

) ? (1 ?

bn an

1

)] n ? 1 ? (
1
1

b1 b2 a1 a 2
n

?

bn an 1

1

) n );

) ? (1 ?

)] n ? 1 ? (

x1 x 2 ? x n 1 n

)n ? 1?

x1 x 2 ? x n

又 ? n x1 x 2 ? x n ?

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

?

? [(1 ? ? (1 ? (1 ? 1 x1

1 x1 1 x1

)(1 ?

1 x2 1 x2

) ? (1 ?

1 xn 1 xn

1

)] n ? 1 ? n

)(1 ?

) ? (1 ? 1

) ? ( n ? 1) n 1 xn ) n ? n ( n ? 1) n

) n ? (1 ?

x2

) n ? ? ? (1 ?

4.若 P 为 ? ABC 内任一点,求证 ? PAB 、 ? PBC 、 ? PCA 中至少有一个小于或等 于30 ?; 证:设 ? PAB ? ? 、 ? PBC ? ? 、 ? PCA ? ?,且 ? PAC ? ? '、 ? PBA ? ? '、 ? PCB ? ? ' ; PA sin ? ? PB sin ? '? ? 依正弦定理有: sin ? ? PC sin ? '? ? sin ? sin ? sin ? ? sin ? ' sin ? ' sin ? ' PB PC sin ? ? PA sin ? ' ? ? ? (sin ? sin ? sin ? ) 2 ? sin ? sin ? sin ? sin ? ' sin ? ' sin ? '
?( sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? '? sin ? '? sin ? ' 6 )6

? sin 6 (

? ? ? ? ? ? ? '? ? ' ? ? '
6

1 ) ? ( )6 2

1 ? sin ? sin ? sin ? ? ( ) 3 2 ? 在 ? 、 ? 、 ? ,中必有一个角满足 sin ? ? 1 2 ? ? ? 30 ?, 否则 ? ? 150 ?时, ? 、 ?中必有一个满足 ? ? 30 ?

补充练习:

1.若 x i ? R ? (1 ? i ? n ), ? x i ? 1,求证:x1 ? (
i ?1

n

1 x1

)( x 2 ?

1 x2

)? ( xn ?

1 ) ? (n ? ) n ; xn n

1

2. 已知 x ? 0, y ? 0, x 2 ? y 2 ? 1,求证 : x 3 ? y 3 ?

2 xy;

3. A、 B、 C为 ?ABC 的三个内角,求证:cos A ? cos B ? cos C ?

3 2

;


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