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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题4.4三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(测).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版文】 【测】第四章 三角函数和解三角形 第 04 节 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符 合题目要求的。 ) π 2 1. (2016· 武汉市二中)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示,f( )=- ,则 f(0)= 2 3 ( )

2 A.- 3 2 C. 3 【答案】 C

1 B.- 2 1 D. 2

2. (2015· 安徽卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期为π , 2π 当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( 3 A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) 【答案】A 2π 2π 【解析】由题意可知,T= =π ,可得 ω=2(ω>0),又由在 x= 时函数 f(x)取得最小值, 3 |ω | 2π 3π π 则 有 2× + φ = 2k π + , 解 得 φ = 2k π + (k∈Z) , 则 函 数 的 解 析 式 为 f(x) = 3 2 6 π π π 1 Asin?2x+2kπ + ?=Asin?2x+ ?(A>0,k∈Z)即有 f(0)= A,f(-2)=Asin(-4+ ),f(2) 2 6 6? 6? ? ? π π π = Asin ?4+ ? ,根据正弦函数的性质可知, sin ?-4+ ? <sin ,所以 f( - 2)<f(0) ,又 6 6 6 ? ? ? ? B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) )

π π sin?4+ ?<sin(-4+ ),即 f(2)<f(-2),综上 f(2)<f(-2)<f(0). 6 6? ? 3. 【河南省开封市 2015 届高三上学期定位考试模拟试题.文 8】 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? 2x ? ? ?? 0剟 ? A.

? ? ,有一个零点为 ? ,则 ? 的值是(

? 6

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 2

1 3



【答案】A 【解析】 由已知得 f ? 所以

? ?? ? ? 2? ? ? 2? ? 1 即 sin ? 又 0剟 ? ?, ?? ? ? 0 , ?? ? ? , ? ? cos ? sin ? 3 ?3? ? 3 ? ? 3 ? 2

2? 5? ? ?? ? ,解得 ? ? .故正确答案为 A. 3 6 6 π? 4. (2015· 太原模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的最小正周期是 π,若将 f(x)的
π 图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( 3 π A.关于直线 x= 对称 12 π ? C.关于点? ?12,0?对称 【答案】 B 2π 【解析】 ∵f(x)的最小正周期为 π,∴ =π,ω=2, ω 2π π ? π? ? ? ? ∴f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)=sin? 又 g(x) ?2?x-3?+φ?=sin?2x- 3 +φ?的图象, 3 的图象关于原点对称,∴- 2π +φ=kπ,k∈Z, 3 5π B.关于直线 x= 对称 12 5π ? D.关于点? ?12,0?对称 )

2π π ∴φ= +kπ,k∈Z,又|φ|< , 3 2 2π π ? π ∴? ? 3 +kπ?<2,∴k=-1,φ=-3, π 2x- ?. ∴f(x)=sin? 3? ? π π π 当 x= 时,2x- =- . 12 3 6 5π π π ∴A、C 错误;当 x= 时,2x- = , 12 3 2 ∴B 正确,D 错误. kx+1,-3≤x<0, ? ? 5. (2016· 宁夏一模)函数 y=? 8π 的图像如下图,则( 2sin(ωx+φ),0≤x≤ ? 3 ? )

π π 1 1 1 1 A.k= ,ω = ,φ = B.k= ,ω = ,φ = 3 2 6 3 2 3 π 1 C.k=- ,ω =2,φ = 3 6 【答案】A π D.k=-3,ω =2,φ = 3

6.【2016 河南模拟】已知函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( 0 ? ? ? 且图象上两对称轴之间的最小距离为 为( A. ) B.

?
2

)与 y 轴的交点为 ? 0,1? ,

? ,则使 f ? x ? t ? ? f ? ?x ? t ? ? 0 成立的 t 的最小值 2 ? 2
2? 3

? 6
2?

? 3

C.

D.

【答案】A 【解析】?

?

? ? , ? ? ? 2 , 所 以 f ? 0? ? 2sin ? ? 1 , ? ? ?

?
6

,所以

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ,由题意 f ? x ? t ? ? f ? ? x ? t? ? 0 ,得 f ? ? x ? t ? ? f ? x ? t? ,所 6? ?
以 f ? x ? 关于直线 x ? t 对称,所以 2t ?

?
6

?

k? ?

?
2

, k ? ? ,? t ?

k? ? ? ? , k ? ? ,所以 t 的最小值为 . 2 6 6

7. 【2016 吉林模拟】 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ?
' 则要得到函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?

?
12

2

) 的一条对称轴为直线 x ?


?
12



) 的图象,只需把函数 f ( x) 的图象(

? 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 3 ? B.沿 x 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 3
A.沿 x 轴向左平移

? 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 6 ? D.沿 x 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 6
C.沿 x 轴向左平移 【答案】A 【解析】 x ?

?
12

代入 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 得 sin ?

? ?? ?? ? ? ? ? ? ? 1, ? ? , f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? , 3 3? ?6 ? ?

?? ? ? ?? ?? ? F ( x) ? 2cos ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? ? 3 sin 2 x ? 3 sin ? 2 x ? ? ? ? 3 sin ?2 ? x ? ? ? ? 3? 3 ? 3? ? ? ?
,故选 A. 8. 【 2016 河 南郑 州 模拟】 已 知 函数 f ( x) ? ?

?sin ?x(0 ? x ? 1), 若 a , b, c 互 不 相 等, 且 ? log2014 x( x ? 1),
) D. [2,2015 ]

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是(
A. (1,2014 ) 【答案】C B. (1,2015 )

C. (2,2015 )

9.



2016































f ( x) 的图象向左平移 y ? f ( x)的 图 象 y ? s和ix ?n )的 ( 图 象 关 P( 于 ,0) 对称,现将 点 4 4

?

?

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 4
y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 的表达式为(


1 x 4 1 B. y ? ? cos x 4
A. y ? ? sin C. y ? ? sin( 4 x ? D. y ? ? cos( 4 x ? 【答案】B

?
4

) )

?
4

【解析】 设 y ? f ( x) 上一点 P( x, y ) 与 y ? sin( x ?

?

) 上点 P' ( x' , y ' ) 关于 ( ,0) 对称,则有 4 4 ?? y ? sin( ? x ? ) , 2 4

?

? ? ? ' ? ' ? ?x ? x ? 2 ? ?x ? ? x ' ' , ? y ? sin( x ? ) , 4 , ?? 2 ? 4 ? y ? y' ? 0 ? y' ? ? y ? ?
?
?

?

?

? y ? ? cos( x ? ) ,现将 f ( x) 的图象向左平移 个单位后,得到 y ? ? cos x 再将得到的 4 4 1 图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? ? cos x 的图象,故选 4
B. 10.【2016 湖北模拟】已知函数 f ( x) ? ? 是( A. a ? )

?sin( x ? a), x ? 0 是偶函数,则下列结论可能成立的 ?cos( x ? b), x ? 0

?
4

,b ? ?

?
4

B. a ?

? ? ,b ? 3 6
5? 2? ,b ? 6 3

C. a ?

2? ? ,b ? 3 6

D. a ?

【答案】B 【解析】 f ? x ? 为偶函数,故 f ? 项,验证可知 B 正确.

?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? f ? ? ? ,即 sin ? ? ? a ? ? cos ? ? b ? ,代入选 ?3? ? 3? ? 3 ? ?3 ?

11. 【2014 全国 1 高考理第 6 题】如图,图 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动 点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x)在[0, ? ] 的图像大致为( )

y

y

1 O

x

1 O

x

y

1 O
A

x

B

C

y

1 O
D 【答案】C

x

P
D O P M A

D M O A

12. 【湖北省重点中学 2015 届高三上学期第三次月考, 文 8】 已知点 ? a, b ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,
2 则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ?

A. 2? , ? 【答案】B.

3 2

B. ? , ?

3 2

a ? 1 的最小正周期和最小值分别为( 2 5 5 C. ? , ? D. 2? , ? 2 2



二、填空题 13.【2016 江西南昌模拟】 将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 的横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 则 f( )?

?
2

?? ?

?
2

) 图象上每一点

?

? 个单位长度得到 y ? sin x 的图象, 4

6



【答案】

2 2

【解析】 函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ?>0, ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 图象上每一点的横坐标缩短为原来 2?

的一半,纵坐标不变,可得函数 y ? sin ? 2? x ? ? ? 的图象.再把所得图象再向右平移 单位长度得到函数 y ? sin[2? ( x ?

?
6

) ? ? )] ? sin(2? x ? ? ? 1 2

?
3

? 个 6

? ) ? sin x ,的图象,∴

2? ? 1 ,且 ? ?
∴ f ( ) ? sin(

?
3

? ? 2k?,k ? Z ,∴ ? ? ,? ?

?

1 ? ? 2k? ,∴ f ? x ? ? sin( x ? ) , 6 2 6

?

6

? ? 2 . ? ) ? sin ? 12 6 4 2
3 sinx cos x? 1 cos x 2的图象上各点向右平移 2
.

?

14. 【 2016 吉林模拟】把函数 f ( x) ?

? (? ? 0) 个单位,得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则 ? 的最小值为
【答案】

? 12

15. 【山西省忻州市第一中学 2015 届高三上学期第一次四校联考,文 16】已知函数

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3sin 2 x ? 3 ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平 6

移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 1012 个零点, 则 b ? a 的最小值为 【答案】

1516? 3

【解析】由已知得,

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,则 3 g ( x) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 1 ? 2sin(2 x) ? 1 ,若函数 y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 1012 6 3 7? ? 1516? ? ? 个零点,则 b ? a 的最小值为 506? ? . 12 12 3

?

?

?

2 16. 【2016 关东模拟】已知函数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?

关于 x ?

?
8

对称;②函数 f ( x ) 关于( ?

?
8

1 ,下列结论中:①函数 f ( x ) 2

,0)对称;③函数 f ( x ) 在(0,

? )是增函数, 8

④将 y ? 为

3? 2 可 得 到 f ( x) 的 图 像 . 其 中 正 确 的 结 论 序 号 co s 2 x 的图像向右平移 8 2


【答案】③④ 【解析】 f ( x ) =

1 ? cos 2 x 1 1 2 ? ? sin 2 x ? = sin(2 x ? ) , 2 2 2 2 4

? 2 ? ? f( )= sin(2 ? ? ) =0,故①错; 8 2 8 4

? 2 ? ? 2 f (? ) = ,故②错; sin[2 ? (? ) ? ) = ? 8 2 8 4 2
当 x ∈(0, 域为( ?

? ? ? ? ? )时, 2 x ? ∈( ? , 0) ,因 u = 2 x ? 在(0, )上是增函数,值 8 4 4 4 8

?
4

,0) ,y ?

? ? 2 n i s u 在( ? ,0)是增函数,所以 f ( x) 在(0, )是增函数, 4 8 2

故③正确;

f ( x) =

2 ? 3? sin[ ? (?2 x ? )] = 2 2 4

2 3? cos( ? 2 x) = 2 4

2 3? cos 2( x ? ) , 故 将 2 8

y?

3? 2 单位得到 f ( x ) 的图像,故④正确. cos 2 x 图像向右平移 8 2

三、解答题 17. (2016· 石家庄二中调研)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图 像时,列表并填入的数据如下表: x Ω x+φ Asin(ωx+φ) 2π 3 0 0 x1 π 2 2 8π 3 π 0 x2 3π 2 -2 x3 2π 0

(1)求 x1,x2,x3 的值及函数 f(x)的表达式; (2)将函数 f(x)的图像向左平移π 个单位,可得到函数 g(x)的图像,求函数 y=f(x)·g(x)在区

5π 间(0, )的最小值. 3 2π 8π π 1 【解析】 (1)由 ω +φ=0, ω +φ =π 可得ω = ,φ =- , 3 3 2 3 π π 1 π 3π 1 π 5π 11π 14π 1 由 x1- = , x2- = , x3- =2π 可得 x1= ,x2= ,x3= , 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 1 5π π 又 Asin( × - )=2,∴A=2, 2 3 3 1 π ∴f(x)=2sin( x- ). 2 3 π π 1 π 1 x π (2)函数 f(x)=2sin( x- )的图像向左平移π 个单位, 得 g(x)=2sin( x- + )=2cos( - ) 2 3 2 3 2 2 3 的图像, 2π x π x π ∴y=f(x)g(x)=2sin( - )· 2cos( - )=2sin(x- ), 2 3 2 3 3 5π 2π 2π ∵x∈(0, ),∴x- ∈(- ,π ), 3 3 3 2π π π ∴当 x- =- ,即 x= 时,y=f(x)·g(x)取得最小值-2. 3 2 6 18. (2016· 常德模拟)已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π x2 是 y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为 8 π? 原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间? ?0,2? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 1+cos 2ωx 1 3 【解】 (1)f(x)= sin 2ωx+ 3× - 2 2 2 π? 1 3 = sin 2ωx+ cos 2ωx=sin? ?2ωx+3?, 2 2 π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 π? 2π π π T= = = ,所以 ω=2,∴f(x)=sin? ?4x+3?. 2ω ω 2 π? π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到 y=sin? ?4x-6?的图象, 8 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 3 (ω>0),直线 x=x1,x= 2

π? 得到 y=sin? ?2x-6?的图象. π? 所以 g(x)=sin? ?2x-6?. π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6 π? g(x)+k=0 在区间? ?0,2?上有且只有一个实数解, π 5π? 即函数 g(x)=sin t 与 y=-k 在区间? ?-6, 6 ?上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图 1 1 象可知- ≤-k< 或-k=1. 2 2

1 1 ∴- <k≤ 或 k=-1. 2 2 19. 【2016 西藏模拟】已知函数 f x = 4sin 琪 wx 琪

( )

骣 桫

p p ?cos wx 在 x = 处取得最值,其中 4 4

w? ( 0,2) .
(1)求函数 f x 的最小正周期;

()

p 个单位, 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 36 4 3 倍,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x) 的图象,若 a 为锐角, g ( a ) = - 2 ,求 cos a . 3
(2) 将函数 f x 的图象向左平移

()

(2)将函数 f x 的图象向左平移

()

p 个单位,得到 36

轾骣 p p h ( x) = 2sin 犏琪 3琪 x+ 犏 4 臌桫 36

骣 p 2 = 2sin 琪 3x 琪 桫 6

2

再 h x 图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐标不变,得到

( )

骣 p 琪 g ( x) = 2sin 琪 x桫 6
故 g a = 2sin 琪 a琪

2 4 2= 3 骣 p 2 2 ,可解: sin 琪 a= , 琪 3 桫 6

( )

骣 p 桫 6

因为 a 为锐角,所以 -

p p p <a - < , 6 6 3
2

a因此 cos 琪 琪


骣 p 骣 2 = 1- 琪 琪 3 桫 6 桫

=

5 3

骣 p p 骣 p 骣 p p p 5 3 琪 琪 琪 cos a = cos 琪 a - + = cos 琪 acos - sin 琪 asin = ? 6 6 3 2 桫 6 6 桫 6 桫 6
20. 【2016 重庆模拟】 (本小题满分 12 分)

2 1 ? 3 2

15 - 2 6

已知向量 a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x)( ? 为常数且 ? ? 0 ) ,函数 f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 . (1)求实数 a 的值; (2) 把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 在 [0,

?

?

?
4

? 个单位, 可得函数 y ? g ( x) 的图象, 若 y ? g ( x) 6?

] 上为增函数,求 ? 取最大值时的单调增区间.

【解析】 (1) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ?

?
6

) ? a ?1 .

因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 .


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