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2011年新课标版高考题库考点7 函数的图象

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考点 7
选择题

函数的图象
1 的图象与函数 y ? 2sin ? x (?2 ? x ? 4) 的图象所 1? x
(D)8

1.(2011·新课标全国高考理科·T12)函数 y ? 有交点的横坐标之和等于( (A)2 (B)4 ) (C)6

1 的图象, 然后根据两者的图象探究交点横坐标之间满足的关系. 1? x 1 ?1 【精讲精析】 选 D. 由题意知 y ? 的图象是双曲线, 且关于点 (1,0) 成中心对称, 又 y ? 2sin ? x ? 1 ? x x ?1 2? 的周期为 T= =2 ,且也关于点(1,0)成中心对称;因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对
【思路点拨】 画出 y ? 2sin ? x 和 y ?

?

称 , 再 结 合 图 象( 如 下图 所 示 ) 可 知 两图 象 在 ? -2,4? 上 有 8 个 交 点, 因 此 8 个 交 点 的 横 坐标 和

x1 ? x2 ? ? ? x8 ? 4 ? 2 ? 8 .

1? 时,f(x) =x ,那么函数 2.(2011·新课标全国高考文科·T12)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x ? ?? 1,
2

y=f(x)的图象与函数 y= lg x 的图象的交点共有( (A)10 个 (B)9 个
2

) (D)1 个

(C)8 个

【思路点拨】作出 f ( x) ? x 在一个周期 ? ?1,1? 内的图象,然后进行左右平移,再画出函数 y ?| lg x | 的图 象,由两者图象得交点个数.
-1-

【精讲精析】选 A.根据 f ( x) 的性质及 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的解析式可作图如下

可验证当 x ? 10 时, y ?| lg10 |? 1 ;当 0 ? x ? 10 时, 0 ? | lg x |? 1 ; x ? 10 时, | lg x |? 1 . 因此结合图象及数据特点知 y ? f ( x) 与 y ?| lg x | 的图象交点共有 10 个. 3.(2011·山东高考理科·T9)函数 y ?

x ? 2sin x 的图象大致是( 2



【思路点拨】本题先求导数,根据导数与函数单调性的关系判断函数图象的形状.

1 1 1 ? 2cos x ,所以令 y ' ? ? 2cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是增函数; 2 2 4 1 1 ' 令 y ? ? 2cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得 C 正确. 2 4
【精讲精析】选 C.因为 y ?
'

4. (2011·湖南高考理科·T8)设直线 x=t 与函数 f(x)= x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN| 达到最小值时 t 的值为( (A)1 (B) )

2

1 2

(C)

5 2

(D)

2 2

【思路点拨】本题主要考查图象法、观察能力和代入检验的方法. 【精讲精析】选 D.首先作出函数图象观察可能情况.也可以代入检验.也可以建立函数模型,但建立函数模 型是下策. 5.(2011·江西高考文科·T10)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方,其“底端”落在原点 O 处,一顶点及中心 M 在 Y 轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半 径的三段等弧组成

今使“凸轮”沿 X 轴正向滚动前进,在滚动过程中, “凸轮”每时每刻都有一个“最高点” ,其中心也在不
-2-

断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置, 应大致为( )

【思路点拨】凸轮在滚动过程中,其最高点到 x 轴的距离始终是定值(正三角形的边长) ,中心点从起始 位置开始,到 x 轴的距离在增大,结合选项即得. 【精讲精析】选 A.设凸轮的最高点为 A,则凸轮在滚动过程中,无论哪一段圆弧与 x 轴接触,都是相切关 系,又因为三段弧所在圆的圆心为正三角形的顶点,因此最高点 A 到 x 轴的距离始终为正三角形的边长, 故 A 的轨迹是一水平直线.而中心点 M 从起始位置开始,随着凸轮的滚动,它到 x 轴的距离首先变大,故 排除 C,应选 A. 6.(2011·陕西高考文科·T4)函数 y ? x
1 3 的图象是(



【思路点拨】已知函数解析式和图象,可以用取点验证的方法判断. 【精讲精析】选 B.取 x ? 意. 7. ( 2011. 天 津 高 考 理 科 .T8 ) 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ?b ? ?

1 1 1 1 , ? ,则 y ? , ? ,选项 B,D 符合;取 x ? 1 ,则 y ? 1 ,选项 B 符合题 8 8 2 2
, ? a, a ? b ?1 . ?b, a ? b ?1

设函数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y = f ( x) - c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取
值范围是( )

(?1, ) (A) ? ??, ?2?∪ (?1, ? ) (B) ? ??, ?2?∪ ∪ ( , ??) (C) (?1, ) 1 4 1 4 3 4

3 2

-3-

(D) (?1, ? ) ∪ [ , ??) 【思路点拨】根据新信息规定,得出 f ( x) 的解析式,数形结合平移图象即可.

3 4

1 4

3 ? 2 x ? 2,( ?1 ? x ? ) ? ? 2 【精讲精析】选 B. f ( x) ? ? ,画出函数图象观察图象特点及图象平移可知选项 B 正 ? x ? x 2 , ( x ? ?1或x> 3 ) ? 2 ?
确.

b = 8.(2011·天津高考文科·T8)对实数 a和b ,定义运算“ ? ” :a ?

, b? 1 , ? ?a ? b , b > 1 ,? ?a

设函数

f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1), x ? R .若函数 y = f ( x) - c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范
围是( ) (B) (- 2,- 1] ? (1, 2] (D) [-2,-1]

(A) (?1,1] ∪ (2, ??) (C) (??, ?2) ∪ (1, 2]

【思路点拨】根据新信息规定,得出 f ( x) 的解析式,数形结合即可. 【精讲精析】选 B. f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2, (?1 ? x ? 2) ? x ? 1, ( x ? ?1或x ? 2)

,画出函数图象观察图象可知选项 B 正确.
2 x

9.(2011·浙江高考文科·T10)设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ? .若 x ? ?1 为函数 f ? x ? e 的一 个极值点,则下列图象不可能为 y ? f ? x ? 的图象的是( )

【思路点拨】分析 x ? ?1 为函数 f ? x ? e 的一个极值点对 f ? x ? 有什么要求.
x

【精讲精析】选 D.
x ? x x x ? ? ? x ? ?1 时, e?1 ? f ? ? ?1? ? f ? ?1?? ? 0 ? ? ? f ? x? e ? ? ? f ? x ? e ? f ? x ? e ? e ? f ? x ? ? f ? x ?? ,当 ? ?

选项

具体分析

结论

-4-

A B C D

f ? ? ?1? ? f ? ?1? ? 0

符合 符合 可能 不满足

f ? ? ?1? ? f ? ?1? ? 0 f ? ? ?1? ? 0, f ? ?1? ? 0 f ? ? ?1? ? 0, f ? ?1? ? 0

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