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合情推理演绎推理专题练习及答案


合情推理、演绎推理
一、考点梳理: (略) 二、命题预测:
归纳、类比和演绎推理是高考的热点,归纳与类比推理大多数出现在填空题中,为中、抵挡题,主要 考察类比、归纳推理的能力;演绎推理大多出现在解答题中,为中、高档题,在知识的交汇点出命题,考 察学生的分析问题,解决问题以及逻辑推理能力。预测 2012 年仍然如此,重点考察逻辑推理能力。

三、题型讲解: 1:与代数式有关的推理问题
a 2 ? b 2 ? ? a ? b ?? a ? b ? ,
例 1、观察 a ? b ? ? a ? b ? a ? ab ? b
3 3 2

a 4 ? b4

? ? ?a ? b? ?a
3

2

?

进而猜想 a

n

? bn ?

3

? a 2b ? ab 2 ? b3 ?


例 2、 观察 1=1, 1-4=(1+2) , 1-4+9= (1+2+3) , 1-4+9-16= (1+2+3+4) ?猜想第 n 个等式是: 练习:观察下列等式:1 等式 为 .. 。 。

? 23 ? 32 ,13 ? 23 ? 33 ? 62 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ,?,根据上述规律,第五个 ...

练习:在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k 项:

1 k (k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)], 由此得 3

1 1 1 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2), 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3), ? n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)]. 3 3 3
相加,得 1? 2 ? 2 ? 3 ? ???? n(n ? 1) ?

1 n(n ? 1)(n ? 2). 3
.

类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ” ,其结果为

2:与三角函数有关的推理问题
例 1、观察下列等式,猜想一个一般性的结论,并证明结论的真假。

1

3 , 2 3 sin 2 600 ? sin 2 1200 ? sin 2 1800 ? 2 3 2 0 2 0 2 0 sin 45 ? sin 105 ? sin 165 ? , 2 3 sin 2 150 ? sin 2 750 ? sin 2 1350 ? 2 sin 2 300 ? sin 2 900 ? sin 2 1500 ?

练习:观察下列等式: ① ② ③ ④ ⑤ cos2α =2 cos α -1; 4 2 cos 4α =8 cos α -8 cos α +1; 6 4 2 cos 6α =32 cos α -48 cos α +18 cos α -1; 8 6 4 2 cos 8α = 128 cos α -256cos α +160 cos α -32 cos α +1; 10 8 6 4 2 cos 10α =mcos α -1280 cos α +1120cos α +ncos α +p cos α -1; .
2

可以推测,m-n+p=

3:与不等式有关的推理
例 1、b 克盐水中,有 a 克盐( b ? a ? 0 ) ,若再添加 m 克盐(m>0)则盐水就变咸了,试根据这一事实提 炼一个不等式 .

例 2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入 木板的钉子长度后一次为前一次的 1 (k ? N ? ), 已知铁钉受击三次后全部进入木板, 且第一次受击后进入木 k 板部分铁钉长度是钉长的 练习、观察下列式子:

4 , 请从这个事实中提炼一个不等式组为 7



1?

1 3 1 1 5 1? 1 ? 1 ? 1 ? 7 , ? 1 ? ? ? , 22 32 42 4 , 22 2 22 32 3
.............

由上可得出一般的结论为: 。 3 3 ?1 4 4 ?1 5 5 ?1 练习、由 ? 。 。 。 。 。 。可猜想到一个一般性的结论是: , ? , ? 2 2 ?1 3 3 ?1 4 4 ?1



4:与平面向量有关的推理
例 1、类比平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向 量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 。写出空间向量基本定理是: 练习:类比平面上的三点共线基本定理。

? ?

?

?

?

?

5:与数列有关的推理
例 1、已知数列 {an } 中, a1 =1,当 n≥2 时, an ? 2an?1 ? 1 ,依次计算数列的后几项,猜想数列的一个通 项表达式为: 。

2

例 2、 (2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

??????
例 3、 (2010 深圳模拟)图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运 会吉祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f ( n) 个“福娃迎迎” ,则

f (5) ?

; f (n) ? f (n ? 1) ?

.

例 4、等差数列 {an } 中,若 a10 = 0 则等式 a1 ? a2 ? ........... ? an 立,类比上述性质,相应的,在等比数列中,若 b10 练习:设等差数列 ?an ? 前 n 项和为 s n ,则 s3 , s6 上结论:设等比数列 ?bn ? 前 n 项积为 Tn ,则 T3 , 思考题: (1)数列 {an } 是正项等差数列,若 bn ?

? a1 ? a2 ? ........... ? a19?n (n ? 19, n ? N ? ) 成
。 成等差数列。类比以

? 1 ,则有等式

? s3 ,s9 ?s6 ,s12 ?s9
, ,

T12 , 成等比数列。 T9

a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan ,则数列 {bn } 也为等差数列,类 1? 2 ? 3 ?? ? n
,则数列 {d n } 也为等比数列。
0 1 Cn a0 ? Cn a1 ? Cn2a2 ??? (?1)n Cnnan ? 0 成立,

比上述结论,写出正项等比数列 {cn } ,若 d n = (2)若 a0 , a1 , a2 ,?an 成等差数列,则有等式 类比上述性质,相应地:若

b0 , b1 , b2 ,?bn

成等比数列,则有等式_________成立。

6:与立体几何有关的推理
例 1、在直角三角形⊿ABC 中,c= 90 ,AC=b,BC=a,则⊿ABC 的外接圆的半径 r ?
0

a 2 ? b2 ,运用类比 2

方法,写出空间类似的命题:
3



练习:在直角三角形⊿ABC 中, AB ? AC, AD ? BC 于 D,求证: 1 ? 1 ? 1 , 那么在四面体 ABCD 中, 2 2 2
AD AB AC

类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由。 例 2、在三角形⊿ABC 中, 并证明你的猜想。 练习:在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值” ,那么在正四面体中类似 的命题是什么? 例 3、如图,在平面内有面积关系

c = 90

0

,则 cos A ? cos B ? 1 ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,
2 2

S?PA1B1 S?PAB

?

PA1.PB1 ,写出图二中类似的体积关系,并证明你的结论。 PA.PB

7、与解析几何有关的推理
例 1、已知命题:平面角坐标系 XOY 中,⊿ABC 顶点 A(-P,0)和 C(P,0) ,顶点 B 在椭圆

sin A ? sin C 1 x2 y 2 ? , 试将该命题类比到双 椭圆的离心率是 e,则 ? 2 ? 1(m ? n ? 0, p ? m2 ? n 2 ) 上, 2 sin B e m n
曲线中,给出一个结论。 练习:圆 x2 ? y 2 ? R2 ( R ? 0) 上任意点(不在 x 轴上) ,与圆上的 A(? R,0), B( R,0) 连线 PA, PB 的斜率

KPA KPB 有下面等式成立: KPA KPB ? ?1, 类比该结论,写出椭圆 x
8:其他知识结合的推理

2 2

a

?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 中对应命题,并证明。 b2

例 1、观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦,4 个点可以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,你由此可以归纳出什么规律? 例 2、在⊿ABC 中,不等式 1 ? 1 ? 1 ? 9 成立;在四边形 ABCD 中,不等式 1 ? 1 ? 1 + 1 ? 16 成立;在五
A B C

?

A

B

C

D

2?

边形 ABCDE 中, 1 ? 1 ? 1 + 1 ? 1 ? 25 成立;试猜想在 N 边形中,有怎样的不等式成立?
A B C D E 3?

例 3 规定 Cxm ?

x( x ? 1).......( x ? m ?1) m 0 , x ? R, m是正整数,且Cx ? 1, 这是组合数 Cn (n, m是正整数,且m ? n) 的推广。 m!
5

(1)求 C?15 的值。 (2)组合数两个性质: (1)Cn
m

? Cnn?m ;(2)Cnm ? Cnm?1 ? Cnm?1 是否都能推广到 Cxm ( x ? R, m是正整数)

的情形?若能推广,写出推广形式并给出证明,若不能,则说明理由。

4


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