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两条直线的交点


1.4

两条直线的交点

复习回顾
1.利用两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. ①斜率存在, l1∥l2 ? k1=k2,且截距不等;l1⊥l2 ? k1· k2 =-1, ②斜率不存在. 注:若用斜率判断,须对斜率的存在性加以分类讨论. 2.利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系. l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2 ? A1B2-B1A2=0,且A1C2-C1A2≠0或B1C2-B2C1≠0. l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0.

问题情境
(1)已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上? (2)已知l1 :2x+3y-7=0,l2 :5x-y-9=0,在同一坐标系中画出两直线, y 并判断下列各点分别在哪条直线上? A(1,- 4),B(2,1),C(5,-1)

B (2,1) . O
x

(3)由题(2)可以看出点B与直线l1,l2有什么关系? (4)请试着总结求两条直线交点的一般方法.

数学建构
两条直线的交点 A1x+B1y+C1=0

y
. P(x0,y0) O x

P(x0,y0)
A2x+B2y+C2=0 方程组的解就是两条直线的交点的坐标.

数学应用
例1.解下列方程组,并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两 条直线,观察它们的位置关系.

(1)
y

2x-y=7 3x+2y-7=0 有且只有一个解 2x-y=7 x

(2)

2x-6y+4=0 4x-12y+8=0 有无数多个解

(3)

4x+2y+4=0 y=-2x+3 无解

y
y 1 -2-1 O x

O

. (3,-1)
3x+2y-7=0

O

x

重合!

相交!交点坐标为(3,-1) 想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系?

y=-2x+3 4x+2y+4=0 平行!

数学建构
两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系.

设两直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0;
l2:A2x+B2y+C2=0.

方程组

A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0

的解的组数 .

(无数组解、惟一组解、无解)与两直线的 ( 重合、 相交、 平行)对应.

设两条直线的方程是

l1: A1x+B1 y +C1=0, (A1B1 C1 ≠0) l2: A2x+B2 y +C2=0. (A2B2 C2≠0),
则 方程组有唯一解

? l1与l2 相交 ?

A1 B1 ?A ? B 2 2

方程组有无数多解

l1与l2的重合

A1 B1 C1 ? ? ? A2 B2 C2 方程组无解 ? l1∥l2 ? A1 ? B1 ? C1 A2 B2 C2

数学应用
例2.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点, 求直线l的方程.

数学应用
(1)经过两直线3x+y-5=0与2x-3y+4=0的交点,且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程为_____________
(2)已知两条直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值 时,两条直线:(1)相交;(2)平行;(3)重合.

若三条直线l1:x ? y ? 0, l2:x ? y ? 2 ? 0,l3: 5x ? my ? 15 ? 0 能构成一个三角形,求m的取值范围。

?x ? y ? 0 ?x ? 1 ? ? ? 即 l 与 l 的交点为 P ( 1 , 1 ) 1 2 ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 1 若 l3 ∥ l1 ,则 5 ? 1 ,即 m ? 5 . m 若 l3 ∥ l2 ,则 5 ? ?1 , 即 m ? ?5 . m 若 l3 经过点 P( 1, 1 ) , 则 5 ?1 ? m ?1 ? 15 ? 0 , 即 m ? ?10 .

显然以上任意一种情况 均不能构成三角形。
? l1、l2、l3能构成?的m的取值范围是

m ? 5且m ? ?5且m ? ?10 .

例4 设m ? R,求证直线( m ?1 )x ? (2m ? 1 )y ? 5m ? 4 ? 0
恒过一定点,并求出这 个定点的坐标。


取m ? ?1 , 得 l1: 3y ? 9 ? 0 即 y ? 3

取 m ? 1, 得 l2: 2x ? y ? 1 ? 0 ?y ? 3 ? y ? 3,x ? 1 解方程组 ? ?2x ? y ? 1 ? 0
将点P( 1 , 3 )代入直线 (m ? 1)x ? ( 2m ? 1 )y ? 5m ? 4 ? 0

(m ? 1) ? 1 ? (2m ? 1 ) ? 3 ? 5m ? 4 ? m ? 1 ? 6m ? 3 ? 5m ? 4 ? 0
?点P( 1 , 3 )在直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1 )y ? 5m ? 4 ? 0上, 即直线过定点,这个定 点坐标为( 1 , 3 )。

(m ? 1)x ? (2m ? 1 )y ? 5m ? 4 ? 0

? m(x ? 2 y ? 5) ? x ? y ? 4 ? 0
? m?R, 上式恒成立

?x ? 2 y ? 5 ? 0 x ?1 ? ?? ?? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 3

?直线(m ? 1)x ? ( 2m ? 1 )y ? 5m ? 4 ? 0恒过定点( 1 , 3 )。

经过直线l1: A1x+B1 y +C1=0和l2: A2x+B2 y+C2=0
的交点的所有直线是

A1x+B1 y +C1+m( A2x+B2 y+C2)=0 (不包括A2x+B2 y+C2=0)

例 求经过直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于 3x+4y-7=0的直线方程

5 ? x?? ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? ? 3 方程组? 的解为 ? ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?y ? 7 ? 9 ?
解:方法一

设所求方程为 4x ? 3 y ? m ? 0
5 7 点(? , )在直线上得 m ? 9 3 9
所以所求直线方程为 : 4x ? 3 y ? 9 ? 0

方法二

设P0 ( x0 , y0 )是已知两直线的交点 则方程(2x ? 3 y ? 1) ? ? ( x ? 3 y ? 4) ? 0表示过P0点的直线

? (2 ? ? ) x ? (3 ? 3? ) y ? 1 ? 4? ? 0
4 ? 所求直线斜率为 3

2?? 4 ?? ?2 ?? ? 3 ? 3? 3

所以所求直线方程为 : 4x ? 3 y ? 9 ? 0

小结:

知识与技能: (1)通过解方程组确定两直线交点坐标. (2)通过求交点坐标判断两直线的位置关 系. (3)过定点的直线系方程的理解与应用. 思想与方法: 方程思想、坐标法 、数形结合思想.


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