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2.1.1数轴上的基本公式_图文

1637年,法国的哲学家和 数学家笛卡尔发表了他的著作 《方法论》,这本书的后面有 三篇附录,一篇叫《折光学》, 一篇叫《流星学》,一篇叫 《几何学》。当时的这个“几 何学”实际上指的是数学,就 像我国古代“算术”和“数学” 是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图; 第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作 图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世 的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解 析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中 心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、 几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代 数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设 想,笛卡尔从天文和地 理的经纬制度出发,指 出平面上的点和实数对 (x,y)的对应关系。x,y的 不同数值可以确定平面 上许多不同的点,这样 就可以用代数的方法研 究曲线的性质。这就是 解析几何的基本思想。

平面直角坐标系 中的基本公式

一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 下列物理量中,不能称为向量的有 质量 速度 时间 位移 力 加速度

二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示. 有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段 A 2. 代数法:用字母表示 AB , 向量 AB ,的坐标或数量表示为AB=a
向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素 ;与起点无关,可以自由移动 。 (2)有向线段:起点、大小和方向三个要素,

? a

B

三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的长度 表示: | AB |
? ?

表示向量 a 的大小,也叫做 a 的长(或模).记作| a |.

?

2.两个特殊向量:

零向量: 长度为零的向量(没有确定方向). ? ? 表示: 0 , | 0 | ? 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.

3.向量的关系与坐标:
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.

表示:

AB ? CD 或

? ? a ? b

等长同向

依轴上点的坐标定义,OB= x 2 , OA= x 1 ,有: AB= x 2 - x 1

对数轴上任意三点A,B,C,都具有关系:
AC=AB+BC

例题
判断下列命题的真假: (假) 1.单位向量都相等;

(真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等; (假) 3.若
?

a

?

?

b


?

a ? b

?

?



(真) 4.若

a ? b , b ? c ,则 a ? c

?

?

?

?

?



小结
有大小 1.判断一个量是否为向量:就是要判断该量既_______又 有方向 ________. 有向线段 字母 2.向量的表示:可用_________或______表示. 长度为0 3.两个特殊向量:零向量是指________的向量;单位向量是指 长度为1 _________的向量. 相同 相等 4.相等向量:两相等向量的方向_______长度________. 5.向量能不能比较大小? 向量的模是可以进行大小比较的;向量是不能比较大小的. ? ? | a | ? | b | 有大小

合作探究(一):两点间的距离公式

思考1:在x轴上,已知点P1(x1,0)和 P2(x2,0),那么点P1和P2的距离为多少? |P1P2|=|x1-x2|

思考2:在y轴上,已知点P1(0,y1)和 P2(0,y2),那么点P1和P2的距离为多少? |P1P2|=|y1-y2|

思考3:已知x轴上一点P1(x0,0)和y轴上 一点P2(0,y0),那么点P1和P2的距离为 多少? y P2
o

P1
2

x

| P P |? 1 2

x0 ? y0

2

思考4:在平面直角坐标系中,已知点 A(x,y) ,原点O和点A的距离d(O,A)
y

A (x,y) y
o

x A 1

x

d(O,A)=

思考5:一般地,已知平面上两点A(x1,y1) 和B(x2,y2),利用上述方法求点A和B的 距离
y

A
o

M
d ( A, B) ?| AB |?

B

x

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

由特殊得到一般的结论

1、公式:A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间 的距离,用d(A,B)表示为
d ( A , B ) ? AB ?

( x 2 ? x1 )

2

?

( y 2 ? y1 )

2

题型分类举例与练习 【例1】已知A(2、-4)、B(-2,3). 求d(A,B)
d(A, B) ? ( ? 4)
2

? 7

2

?

65

〖课堂检测1〗
课本第71页练习A, 1.求两点间的距离。

【例2】已知:点A(1,2),B(3,4),C(5,0)
求证:三角形ABC是等腰三角形。 证明:因为 d(A,B)= 2 2

d(A,C)= 2 5 d(C,B)= 2 即|AC|=|BC|且三点不共线

5

所以,三角形ABC为等腰三角形。

〖课堂检测2〗 已知:A(1,1)B(5,3)
C(0,3)求证:三角形ABC是直角三角形

【例3】证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和的两倍.
y D (b-a, c) C (b, c) x

A(0,0)

B(a,0)

该题用的方法----坐标法。可以将几何问题 转化为代数问题。记住结论。

用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤:
第一步;建立坐标系, 用坐标表示有关的量
第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

合作探究(二):中点公式
2、中点公式:已知A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y)是线段AB的 中点,计算公式如下
x ? x1 ? x 2 2 ? y2

y ?

y1

2

【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标

A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解:因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y).
x ? 2 ? ? 3? 5 2

y

D (x,y)
M



2

C(5,2)

y ? 2 2

?

0 ? 2 2

A(-3,0)

O

解得

x=0

x B(2,-2)

∴D(0,4)

y=4

请问你还能找到几种方法?

本节课总结:

1.两点间的距离公式 一、知识点: 2.中点坐标公式 1.求两点间的距离 二、题型: 2.应用距离关系研究几何性质 3.中点公式与中心对称 三、数学思想方法:

{ {



1.特殊到一般 2.方程与化归的思想 3.坐标法(几何与代数的转化)


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