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3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件(新人教A版必修2)


3.1.1《直线的倾斜 角与斜率》
1 2011-2-24 1

教学目的
? 使学生掌握倾斜角和斜率的概念,理解倾 斜角和斜率之间的关系,掌握经过两点的 直线的斜率公式,并会应用公式解题。 ? 教学重点 教学重点:倾斜角和斜率的的意义,斜率 的公式及其应用。 ? 教学难点:斜率意义的理解。 教学难点

2 2011-2-24

2

问题引入
在平面直角坐标系中,点用坐标表示, 在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何 表示呢? 表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题, 为了用代数方法研究直线的有关问题,首先探索 确定直线位置的几何要素, 确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来. 法把这些几何要素表示出来. y P(x,y) ( ) l O x
3 2011-2-24 3

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定? 位置由哪些条件确定?
y

l O x

4 2011-2-24

4

问题引入
我们知道,两点确定一条直线. 我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗? 经过点P, 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点 ,直线 l 的位置能够确定吗? 的位置能够确定吗?
y

l O P x

5 2011-2-24

5

问题引入
过一点P可以作无数条直线 过一点 可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 可以作无数条直线 它们都经过点P 组成一个直线束), ),这些直线 它们都经过点 (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? 区别在哪里呢? y
l O P x

6 2011-2-24

6

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同. 容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢? 直线的倾斜程度呢?
y

l O P x

7 2011-2-24

7

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 轴相交时,我们取 轴作为基准, 轴相交时 轴作为基准 x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直 轴正向与直线 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) . )
当直线l与x轴平行或重合时, 当直线 与 轴平行或重合时, 轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 0o . 的取值范围为: 直线的倾斜角 α 的取值范围为: o 0 ≤ α < 180o. O y l

x

8 2011-2-24

8

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. 度相同的直线其倾斜角相同. y l ′′ l 已知直线上的一个点不能 l′ 确定一条直线的位置; 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α. 知直线的倾斜角 .也不能确定 一条直线的位置. 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角 倾斜角可以唯一确 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线. 定一条直线.
9 2011-2-24 9

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 何要素是: 定点以及它的倾斜角, 直线上的一个定点以及它的倾斜角 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可. 缺一不可.
y

l O P x

10 10 2011-2-24

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量? 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度( 坡度(比)= 前进量

升 高 量 前进量
11 11 2011-2-24

问题引入
例如, 比较, 例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更 升 与 升 比较

3 3 陡一些,因为坡度( 陡一些,因为坡度(比)> . 2 2

升 高

升高量 坡度( 坡度(比)= 前进量

α
2011-2-24

前进
12 12

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“ 如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 实际就是“倾斜角α的正切 的正切” 度(比)”实际就是“倾斜角 的正切”.

一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这 直线的斜率( 条直线的斜率(slope). )
通常用小写字母k表示,即 通常用小写字母 表示, 表示

k = tan α

(α ≠ 90 )
o

的直线有斜率吗? 倾斜角是90o 的直线有斜率吗? 的直线的斜率不存在. 倾斜角是90o 的直线的斜率不存在.
13 13 2011-2-24

直线的斜率
如:倾斜角 α = 45o 时,直线的斜率 k = tan 45o = 1.

α 为锐角时, 180o ? α ) = ? tanα . tan( 当 为锐角时,
k = tan 135 = ? tan 45 = ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.
o o o 如:倾斜角为 α = 135 时,由

倾斜角α不是 °的直线都有斜率, 倾斜角 不是90°的直线都有斜率,并且倾 不是 斜角不同,直线的斜率也不同.因此, 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度. 率表示直线的倾斜程度.
14 14 2011-2-24

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 给定两点 x1 ≠x2,如何计算直线 1 P2的斜率 . 如何计算直线P 的斜率k.

15 15 2011-2-24

两点的斜率公式
设直线P 的倾斜角为α 设直线 1 P2的倾斜角为 ( α ≠90° ),当直线 1 P2的 ° ),当直线P 方向(即从P 指向P 的方向) 方向(即从 1指向 2的方向) 向上时,过点P 向上时,过点 1作 x 轴的平行 过点P 轴的平行线, 线,过点 2作 y 轴的平行线, 两线相交于点 Q,于是点 的 ,于是点Q的 坐标为( 坐标为( x2,y1 ).

α

为锐角时, 当 α 为锐角时,α = ∠QP1 P2 , x1 < x2 , y1 < y2 . 在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 tan α = tan ∠QP1 P2 = = | P1Q | x2 ? x1

16 16

2011-2-24

两点的斜率公式

θ

α 为钝角时, = 180o ? ∠QP1 P2 , x1 > x2 , α 当 为钝角时, y1 < y2 . tan α = tan(180o ? θ ) = ? tanθ
在直角 ? P1 P2 Q 中
| QP2 | y 2 ? y1 y 2 ? y1 tan θ = = =? | P1Q | x1 ? x 2 x 2 ? x1

2011-2-24

y2 ? y1 tan α = . x2 ? x1

17 17

两点的斜率公式

同样, 的方向向上时, 同样,当 P2 P1 的方向向上时,也有

y2 ? y1 tan α = . x2 ? x1
18 18 2011-2-24

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,运用 . 1 斜率时, 上述公式计算直线 AB 斜率时,与 P , P2两点坐标的顺 1 序有关吗? 序有关吗?

无关

2.当直线平行于 轴,或与 轴重合时,上述斜 .当直线平行于y 或与y 轴重合时, 率公式还适用吗?为什么? 率公式还适用吗?为什么?

不适用

19 19 2011-2-24

两点的斜率公式
当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 轴平行或重合时, 立吗?为什么? 立吗?为什么? 成立

经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 ≠ x2 ) 的直线的 1 斜率公式为: 斜率公式为:

y2 ? y1 tan α = . x2 ? x1
20 20 2011-2-24

典型例题
? 例1 如图 ,已知 A( 3,2), B(?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB, , 的斜率 的斜率, 直线 ,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角. 是锐角还是钝角.
直线AB的斜率 解:直线 的斜率 1? 2 1 k AB = = ; ?4? 3 7 直线BC的斜率 直线 的斜率 1 ?1?1 ? 2 k BC = = =? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 = = 1; 直线CA的斜率 直线 的斜率 kCA = 0?3 ?3 由 k AB > 0 及 kCA > 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 直线 的倾斜角均 为锐角; 直线BC的倾斜角为钝角 的倾斜角为钝角. 为锐角;由 k BC > 0 知,直线 的倾斜角为钝角.
21 21 2011-2-24

典型例题
在平面直角坐标系中, 例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1, , 及 的直线 分别为 ,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4 . y A l l A1 的 解:取 l1上某一点为 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 A 有: y1 ? 0 x 1= , A x1 ? 0 l
3
3 1 1 2

4

即 x1 = y1 .

l2

A4

设 x1 = 1 ,则 y1 = 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 的直线, A3 ( x3 , y3 )的直线, l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线. 的直线, 的直线.
22 22 2011-2-24

知识小结

倾斜角

斜率

两点间斜率公式

23 23 2011-2-24

24 24 2011-2-24


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