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浙江省普通高中学业水平考试一


浙江省普通高中学业水平考试
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分。每小题中只有一个选项 是符合题意的。不选、多选、错选均不得分) 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {2, 4,6} ,则 A (A)0 个 2. log2 12 ? log2 3 ? (A) ?2 (B) 0 (C) (B)1 个

B 的元素个数是
(D)3 个

(C)2 个

1 2

(D) 2

3.若右图是一个几何体的三视图,则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥

4.函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (A)

π )( x ? R) 的最小正周期为 3
(D) 4π (第 3 题图)

π (B) π 2

(C) 2 π

5.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率是 (A) ?

1 2

(B)

1 2
2

(C) ?2

(D) 2

6.若 x ? 1 满足不等式 ax ? 2x ? 1 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 (A) (?3, ??) (B) (??, ?3) (C) (1, ??) (D) (??,1)

7.函数 f ( x) ? log3 (2 ? x) 的定义域是 (A) [2, ??)
2 2

(B) (2, ??)

(C) (??, 2]

(D) (??, 2)

8.圆 ( x ? 1) ? y ? 3 的圆心坐标和半径分别是 (A) (?1, 0),3 (B) (1, 0),3 (C) (?1,0), 3 (D) (1, 0), 3 9.各项均为实数的等比数列 {an } 中, a1 ? 1 , a5 ? 4 ,则 a3 ? (A) 2 (B) ?2 (C) 2 (D) ? 2

10.下列函数中,图象如右图的函数可能是

(A) y ? x3

(B) y ? 2x

(C) y ?

x

(D) y ? log 2 x

2 11.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (第 10 题图)

12.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 (A) ?0,??? (B) ?0,2? (C) ?1,???

(D) ?0,1?

2 13.设 x 为实数,命题 p : ?x ? R, x ? 0 ,则命题 p 的否定是

2 (A) ? p : ?x0 ? R, x0 ?0

2 (B) ? p : ?x0 ? R, x0 ?0

(C) ? p : ?x ? R, x ? 0
2

(D) ? p : ?x ? R, x ? 0
2

14.若函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 是偶函数,则实数 a 的值为 (A) 1 (B) 0 (C) ?1 (D) ?1

15.在空间中 a , b 是直线, ? , ? 是平面,且 a ? ? , b ? ? , ? / / ? ,则 a , b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面

16.在△ABC 中,三边长分别为 a, b, c ,且 A ? 30? , B ? 45? , a ? 1 ,则 b 的值是

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

2

(D)

6 2
D1 A1 C1 B1

17.若平面向量 a , b 的夹角为 60 ,且 | a |? 2 | b | ,则 (A) a ? (b ? a) (C) b ? (b ? a ) (B) a ? (b ? a) (D) b ? (b ? a )

E

18.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 BC1 的中点, 则 DE 与面 BCC1 B1 所成 角的正切值为

D
A B
(第 18 题图)

C

(A)

6 2

(B)

6 3

(C) 2

(D)

2 2

19.函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 在 [ ? (A) ?1 20.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

π π , ] 的最小值是 12 3
(C)

(B) ?

3 2

1 2

(D) 1

(A) (1, ??)

1 的零点所在的区间可能是 x 1 (B) ( ,1) 2

(C) ( , )

1 1 3 2

(D) ( , )

1 1 4 3

21.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , (A) 0 22.若双曲线 (B) 18

an ? 2 an ?1 ? ? 1,则 a6 ? a5 的值为 an ?1 an
(C) 96 (D) 600

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,则此双曲线的离心率是 a 2 b2
(B) 2 2 (C) 3 (D) 10

(A) 3

23.若将一个真命题 中的“平面”换成“直线” 、 “直线”换成“平面”后仍是真命题 ,则该 ... ... 命题称为“可换命题” .下列四个命题: ①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行; ③平行于同一直线的两直线平行; ④平行于同一平面的两直线平行. 其中是“可换命题”的是 (A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④

24.用餐时客人要求:将温度为 10 C 、质量为 0.25 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至

30? C~ 40? C .服务员将 x 袋该种饮料同时放入温度为 80 C 、 2 .5 kg 质量为的热水
中, 5 分钟后立即取出.设经过 5 分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同,此时, m1 kg 该饮料提高的温度 ?t1 C 与 m2 kg 水降低的温度 ?t2 C 满足关系式

m1 ? ?t1 ? 0.8 ? m2 ? ?t2 ,则符合客人要求的 x 可以是
(A) 4 (B) 10 (C) 16 (D) 22

? x ? y ? 2 ? 0, ? 25.若满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 的点 P( x, y) 构成三角形区域,则实数 k 的取值范围是 ? kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ?
(A) (1, ??) (B) (0,1) (C) (?1,1) (D) (??, ?1)

(1, ??)

二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26.已知一个球的表面积为 4 ? cm ,则它的半径等于
3

▲ cm.

27.已知平面向量 a ? (2,3) , b ? (1, m) ,且 a / / b ,则实数 m 的值为 ▲ . 28.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是 ▲ .

? 2n?1 ,1 ? n ? 10, 29.数列 ?an ? 满足 an ? ? 19?n 则该数列从第 5 项到第 15 项的和为 ▲ . ?2 ,11 ? n ? 19,
30.若不存在 整数 x 满足不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,则实数 k 的取值范围是 ... 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31.(本题 7 分) 已知 ? ? ( , π ), sin ? ? ▲ .

π 2

4 π , 求 cos ? 及 sin(? ? ) 的值. 5 3

32. (本题 7 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 点 D 是 AB 的中点. (1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 .
A1 C1 B1

C A D

B

(第 32 题)

33.(本题 8 分) 如图,由半圆 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 和部分抛物线 y ? a( x 2 ? 1) ( y ? 0 , a ? 0 ) 合成的曲线 C 称为 “羽毛球形线” , 且曲线 C 经过点 (2,3) . (1) 求 a 的值; (2) 设 A(1, 0) , B(?1, 0) , 过 A 且斜率为 k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于 P , A , Q 三点,问是否存在实数 k ,使得

?QBA ? ?PBA ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

y

Q

B

O

A P

x

(第 33 题) 图)

34.(本题 8 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

9 ? a , x ? [1, 6] , a ? R . x

(1)若 a ? 1 时,试判断并证明函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 a ? (1, 6) 时,求函数 f ( x ) 的最大值的表达式 M (a) .

参考答案 一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分。) 题号 答案 题号 答案 1 C 14 A 2 D 15 D 3 C 16 C 4 B 17 D 5 A 18 C 6 B 19 A 7 D 20 B 8 D 21 C 9 A 22 D 10 C 23 C 11 A 24 C 12 D 25 A 13 A

二、填空题(共 10 分,填对一题给 2 分,答案形式不同的按实际情况给分)

26.1

27.

3 2

28.

x2 y 2 ? ?1 16 4

29. 1504

30. 1 ? k ? 4

三、解答题(共 30 分) 31. 因为 θ ? ( , π), sin θ ?

π 2

4 ,所以 5 3 cos θ ? ? 1 ? sin 2 θ ? ? . 5

又因为 sin(θ + ) ? sin θ ? cos 所以

π 3

π π 1 3 + cos θ ? sin ? cos θ + sin θ , 3 3 2 2

π 1 4 3 4 4?3 3 . sin(θ + ) ? ? + ? (? ) ? 3 2 5 2 5 10

32. 证明: (1) 因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, 所以 C1C ? 平面 ABC , 所以

C1C ? AC .
2 2 2 又因为 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 所以 AC ? BC ? AB , 所以

AC ? BC .
又 CC1 ? BC ? C , 所以

AC ? 平面 CC1B1B ,
所以

AC ? BC1 .
33.解: (1)把点 (2,3) 代入 y ? a( x 2 ? 1) 得 3 ? a ? (22 ?1) ,所以

a ? 1.
(2)方法一:由题意得 PQ 方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y ? x2 ?1 得

x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 ,
所以

x ? 1 或 x ? k ?1 .
所以点 Q 的坐标为 (k ? 1, k 2 ? 2k ) . 又代入 x 2 ? y 2 ? 1得

(1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ?1 ? 0 ,
所以

x ?1或 x ?

k 2 ?1 , k 2 ?1

所以点 P 的坐标为 (

k 2 ? 1 ?2k , ). k 2 ?1 k 2 ?1

因为 ?QBA ? ?PBA , 所以

kBP ? ?kBQ ,


?2k 2 k 2 ? 1 ? ? k ? 2k , k 2 ?1 k ?1 2 k ?1


k 2 ? 2k ? 1 ? 0 ,

解得

k ? 1? 2 .
又由题意得

k 2 ?1 ? 1 , k ?1 ? 1 k 2 ?1


k ? 2 ,而 1 ? 2 ? 2 ,
因此存在实数 k ? 1 ? 2 ,使 ?QBA ? ?PBA . (2)方法二:由题意可知 ?QBA ? ?PBA , ?APB=90 ,则

?QBA ? ?BAP ? 90? ,


kQB ? kQA ? 1 .
2 由题意可设 Q( x0 , x0 ?1) ,其中 x0 ? 0 ,则

k QB ?
所以

2 x0 ?1 x2 ?1 ? x0 ? 1 , k QA ? 0 ? x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1

2 kQB ? kQA ? x0 ?1 ? 1 ,

所以

x0 ? 2 或 x0 ? ? 2 (舍去).


k ? k QA ? 2 ? 1 .
因此存在实数 k ? 1 ? 2 ,使得 ?QBA ? ?PBA .

34. (1)判断:若 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数.

证明:当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

9 , 在区间 [1, 6] 上任意 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 , x 9 9 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ? ( ?
所以

9 9 ? ) x1 x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 6) ? 0. x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) 在 [1, 6] 上是增函数.
(2)因为 a ? (1,6) ,所以

9 ? 2a ? ( x ? ),1 ? x ? a, ? ? x f ( x) ? ? ?x ? 9 , a ? x ? 6, ? x ?
①当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数,在 [ a, 6] 上也是增函数, 所以当 x ? 6 时, f ( x ) 取得最大值为

9 ; 2

②当 3 ? a ? 6 时, f ( x ) 在 [1,3] 上是增函数,在 [3, a ] 上是减函数,在 [ a, 6] 上是 增函数,而

f (3) ? 2a ? 6, f (6) ?
当3 ? a ?

9 , 2

21 9 9 时, 2a ? 6 ? ,当 x ? 6 时,函数 f ( x ) 取最大值为 ; 4 2 2 21 9 ? a ? 6 时, 2a ? 6 ? ,当 x ? 3 时,函数 f ( x) 取最大值为 2a ? 6 ; 当 4 2
综上得

21 ?9 , 1? a ? , ? ?2 4 M (a) ? ? ? 2a ? 6, 21 ? a ? 6. ? ? 4
31~34 题评分标准:按解答过程分步给分.能正确写出评分点相应步骤的给该步所注分值. 除本卷提供的参考答案外,其他正确解法根据本标准相应给分.


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