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2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之十五直线与圆锥曲线(大纲文科专用)


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2012 年高考考前 30 天三轮专题提分必练绝密之专题(十五) [第 15 讲 直线与圆锥曲线] (时间:10 分钟+35 分钟) 2012 二轮精品提分必练 1.中心在原点,焦点坐标为(0,±5 2)的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横 1 ) 坐标为 ,则椭圆方程为( 2 2 2 2x 2y 2x2 2y2 A. + =1 B. + =1 25 75 75 25 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 25 75 75 25 2.对任意实数 a,直线 y=ax-3a+2 所经过的定点是( ) A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,3) D.(3,-2) 3.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1, x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 1 4.双曲线 16y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 ,则 m 的值是 5 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2012 二轮精品提分必练 x2 y2 1.直线 y=x+2 与椭圆 + =1 有两个公共点,则 m 的取值范围是( ) m 3 A.m>1 B.m>1 且 m≠3 C.m>3 D.m>0 且 m≠3 2.如图 15-1,过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准 线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3, 2012 二轮精品提分必练 则此抛物线的方程为( ) 3 A.y2= x 2 2 B.y =3x 9 C.y2= x 2 D.y2=9x 1 x2 y2 3.已知直线 y= x 与双曲线 - =1 交于 A、B 两点,P 为双曲线上不同于 A、B 的 2 9 4 点,当直线 PA,PB 的斜率 kPA,kPB 存在时,kPA·kPB=( ) 4 A. 9 1 B. 2 2 C. 3 D.与 P 点位置有关
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x2 4.设 F1、F2 为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 4 → → 两点,当四边形 PF1QF2 的面积最大时,PF1·PF2的值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.-2 x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 30°的直线与 a b 双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________. 6.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 引两条互相垂直的弦 AC 和 BD,则四边形 ABCD 面 积的最小值为______ .

2012 二轮精品提分必练

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x2 y2 7.如图 15-2,已知 B 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,F 是椭圆右焦点,且 BF a b 3? ⊥x 轴,B?1, 2?. ? (1)求椭圆 E 的方程. 2012 二轮精品提分必练

8.已知△ABC 中,顶点 B(-2,0),C(2,0),且三边|AB|,|BC|,|AC|成等差数列. (1)求顶点 A 的轨迹 L 的方程; (2)曲线 L 上是否存在两点 P、Q,使点 P、Q 关于直线 y=-x-1 对称?若存在,求出 直线 PQ 的方程;若不存在,说明理由.

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2012 年高考考前 30 天三轮专题提分必练绝密之专题(十五) 【基础演练】 y2 y2 x2 + 1.C 【解析】 由题意可设椭圆方程为 2 + 2=1,且 a2=50+b2,即方程为 a b 50+b2 x2 =1.将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程.由 x1+x2=1 可求得 b2=25, b2 a2=75. 2.B 【解析】 直线恒过定点,说明对任意的实数 a,这个点的坐标都能使方程成 立,只要按照实数 a,把这个方程进行整理,确定无论实数 a 取何值,方程都能成立的条件 即可.直线方程即为 y-2=a(x-3),因此当 x-3=0 且 y-2=0 时,这个方程恒成立,故 直线恒过定点(3,2).
2 ? ?y=ax , k 3.B 【解析】 解方程组? 得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- a ?y=kx+b, ?

b b ,x3=- ,代入验证即可. a k 1 1 4.C 【解析】 令 x=0,得 y=± ,即双曲线的顶点坐标为?0,±4?,又其渐近线方 ? ? 4

?0+4×1? 4? 1 ? m 程为:y=± x,由点到直线的距离公式得 = ,解得 m=3. 2 4 m +42 5
【提升训练】

?y=x+2, ? 得(3+m)x2+4mx+m=0.若直线与椭圆有两个公共 1.B 【解析】 由?x2 y2 + =1, ?m 3 ?
x2 y2 点,则 ?=(4m)2-4m(3+m)>0,求得 m<0 或 m>1.又由 + =1 表示椭圆,知 m>0 且 m 3 m≠3.综合得 m 的取值范围是 m>1 且 m≠3. 2.B 【解析】 由抛物线定义,|BF|等于 B 到准线的距离,设为 BM,由|BC|=2|BF|, p 3 3 3? 得∠BCM=30°,又|AF|=3,从而 A? + , 在抛物线上,代入抛物线方程 y2=2px, 解 ?2 2 2 ? 3 得 p= ,所以抛物线方程为 y2=3x. 2

3.A 【解析】

?y=2x, 依题意,联立直线与双曲线的方程得? x y ? 9 - 4 =1,
2 2

1

)消元整理可得

144 x2= , 7 1 1 144 设 A?x1,2x1?,B?x2,2x2?,P(x0,y0),则 x1x2=- ,x1+x2=0,且由点 P 在双曲 ? ? ? ? 7

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x2 0 线上可得 y2=4? 9 -1?,则 kPA·kPB= 0 ? ?

y0+

6 6 36 y0- y 2- 0 7 7 7 · = , 12 12 144 2 x 0+ x 0- x 0- 7 7 7 36 7 4 = . 144 9 x 2- 0 7 y 2- 0

81 4 2 144 x2 36 36 4 2 0 而 y2- =4? 9 -1?- = ?x0-9- 7 ?= ?x0- 7 ?,所以 kPA·kPB= 0 ? ? 7 9? ? 9? ? 7

4.D 【解析】 由题设,得 c= a2-b2= 3, 1 又 S 四边形 PF1QF2=2S△PF1F2=2× ×|F1F2|×h(h 为 F1F2 边上的高), 2 ∴当 h=b=1 时,S 四边形 PF1QF2 取得最大值,此时∠F1PF2=120°. 1 → → → → 此时PF1·PF2=|PF1|·|PF2|·cos120°=2×2×?-2?=-2. ? ? 5.?
2 2 2 3 ? 【解析】 依题意得b= c -a = e2-1≥tan 30°, ∴e≥2 3. a a 3 ? 3 ,+∞? 2 6.8p 【解析】 依题意,直线 AC 的斜率存在且不为 0,设为 k,则直线 AC 的方

p 程为 y=k(x- ). 2

?y=k?x-p?, ? ? 2? )消去 y,得 由方程组? ?y2=2px ?
4k2x2-4p(k2+2)x+p2k2=0. 2p(k2+1) 设 A(x1,y1),C(x2,y2),由抛物线的弦长公式,得|AC|=x1+x2+p= . k2 1 同理,可得?用-k代换k?|BD|=2p(k2+1). ? ? 于是,四边形 ABCD 面积 2p2(k2+1)2 1 1 2 S= |AC|·|BD|= =2p2?2+k +k2?≥8p2. ? ? 2 k2 1 当且仅当 k2= 2,即 k=±1 时,Smin=8p2. k 7. 【解答】 (1)依题意半焦距 c=1,左焦点为 F′(-1,0), 3 3 则 2a=|BF|+|BF′|.由 B?1, 2?,|BF|= . ? ? 2 5 由距离公式得|BF′|= ,2a=4, a=2, 2 所以 b2=a2-c2=22-12=3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知 A1(-2 ,0),A2(2 ,0).设 M 的坐标为(x0 ,y0). 3 ∵M 在椭圆 E 上,∴y2= (4-x2), 0 0 4

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6y0 由 P、M、A1 三点共线可得 P?4,x +2?, ? ? 0 6y0 → → ∴A2M=(x0-2 ,y0),A2P=?2 ,x +2?, ? ? 0 6y2 5 → → 0 ∴A2M·A2P=2(x0-2 )+ = (2-x0), x0+2 2 → → ∵-2<x0 <2,∴λ=A2M·A2P∈(0,10). 即 λ 的取值范围是(0,10). 8. 【解答】 (1)设动点 A(x,y),由|AB|,|BC|,|AC|成等差数列,得|AC|+|AB|=2|BC| =8.依定义知点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆(不含长轴上两顶点),且长轴长 2a=8, ∴a=4,c=2,b2=a2-c2=12. 故顶点 A 的轨迹 L 的方程为 2012 二轮精品提分必练 x2 y2 + =1(y≠0). 16 12

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