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2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(山东卷word解析版)


2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科科数学试题(山 东卷)
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, A ? {1,3,5}, B ? {3, 4,5} ,则 ?U ( A ? B) = (A) {2,6} 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 , A ? B ? {1, 3,5} ?{3, 4,5} ? {1,3, 4,5} , 所 以 (B) {3,6} (C) {1,3, 4,5} (D) {1, 2, 4,6}

CU ( A ? B ? ) CU
考点:集合的运算 2.若复数 z ?

{ 1 ,? 3 , 4 ,选 , 5A. }

{ 2 , 6 }

2 ,其中 i 为虚数单位,则 z = 1? i

(A)1+i (B)1? i (C)? 1+i (D)? 1? i 【答案】B 【解析】 试题分析: z ?

2 2(1 ? i) ? ? 1 ? i,? z ? 1 ? i ,选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

考点:1.复数的运算;2.复数的概念. 3.某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频率分 布直方图, 其中自习时间的范围是[17.5, 30], 样本数据分组为[17.5, 20) , [20, 22.5) , [22.5,25) ,[25,27.5) ,[27.5,30).根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间 不少于 22.5 小时的人数是

(A)56 (B)60 【答案】D

(C)120 (D)140

试卷第 1 页,总 16 页

【解析】 试 题 分 析 : 由 频 率 分 布 直 方 图 知 , 自 习 时 间 不 少 于 22.5 小 时 的 有

200 ? ( 0 .? 16

0 ? . 0 8 ?0 . 0 ? 4 ),选 2 .D. 5

140

考点:频率分布直方图

? x ? y ? 2, ? 2 2 4.若变量 x,y 满足 ? 2 x ? 3 y ? 9, 则 x +y 的最大值是 ? x ? 0, ?
(A)4 (B)9 (C)10 (D)12 【答案】C 【解析】 试题分析:画出可行域如图所示,点 A(3,-1)到原点距离最大,所以

( x2 ? y2 )max ? 10 ,选 C.

考点:简单线性规划 5.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为

(A) +

1 2 π 3 3

(B) +

1 3

2 π 3 2 π 6

(C)

1 2 + π 3 6

(D) 1+

试卷第 2 页,总 16 页

【答案】C 【解析】 试题分析: 由已知,半球的直径为

2 ,正四棱锥的底面边长为 1 ,高为 1 ,所以其体积为

1 1 4 2 1 2? ,选 C. ?1?1 ? ? ? ( )3 ? ? 3 2 3 2 3 6
考点:1.三视图;2.几何体的体积. 6.已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α ,b 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平 面 α 和平面 b 相交”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析: “直线 a 和直线 b 相交”?“平面 ? 和平面 ? 相交” ,但“平面 ? 和平面 ? 相交” ? “直线 a 和直线 b 相交” ,所以“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 ? 和平面 ? 相交”的 充分不必要条件,故选 A. 考点:1.充要条件;2.直线与平面的位置关系. 7.已知圆 M: x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M
2 (x-1) + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是 与圆 N:

(A)内切 【答案】B 【解析】 试题分析:

(B)相交

(C)外切

(D)相离

2 2 由 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0 ( a ? 0 )得 x ? ? y ? a ? ? a ( a ? 0 ) ,所以圆 ? 的圆心为 2

? 0, a ? ,半径为 r1 ? a ,因为圆 ? 截直线 x ? y ? 0 所得线段的长度是 2
a
2 2

2 ,所以

?2 2? ,解得 a ? 2 ,圆 ? 的圆心为 ?1,1? ,半径为 r2 ? 1 ,所以 ? a ?? ? 2 ? ? 12 ? 12 ? ?

?? ?

? 0 ? 1? ? ? 2 ? 1?
2

2

? 2 ,r1 ? r2 ? 3 ,r1 ? r2 ? 1, 因为 r 1 ?r 2 ? ?? ? r 1 ?r 2,

所以圆 ? 与圆 ? 相交,故选 B. 考点:1.直线与圆的位置关系;2.圆与圆的位置关系. 8. △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A= (A)
3π 4

(B)

π 3

(C)

π 4

(D)

π 6

【答案】C
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【解析】 试题分析: 由 余 弦定 理 得: a ? b ? c ? 2bc cos ? ? 2b ? 2b cos ? ? 2b ?1? cos ?? , 因 为
2 2 2 2 2 2

a2 ? 2b2 ?1 ? sin ?? , 所以 cos ? ? sin ? , 因 为 cos? ? 0, 所以 tan ? ? 1 , 因 为
?? ? 0, ? ? ,所以 ? ?
?
4
,故选 C.

考点:余弦定理 3 9.已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x -1;当-1≤x≤1 时,f(-x)= —f(x) ;当 x> (A)-2 (C)0 【答案】D 【解析】 试题分析: 当x?

1 1 1 时,f(x+ )=f(x— ).则 f(6)= 2 2 2
(B)-1 (D)2

1 1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 是周期为 1 的周期函 2 2 2 2
,) 又 因 为 当 ?1 ? x ? 1 时 , f ? ? x (1 f ? ? ??

数 , 所 以 f( 6? ) f

?x, 所 以

f ( 1? ) ? f ?( ? 1? ) ?? ? ?

?

3

?1 ? ? 1,故选 2 D. ?

考点:1.函数的周期性;2.分段函数. 10.若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直, 则称 y ? f ( x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 (A) y ? sin x 【答案】A 【解析】 试题分析: 当 y ? sin x 时, y? ? cos x , cos 0 ? cos ? ? ?1 ,所以在函数 y ? sin x 图象存在两点 (B) y ? ln x (C) y ? e x (D) y ? x3

x ? 0, x ? ? 使条件成立,故 A 正确;函数 y ? ln x, y ? ex , y ? x3 的导数值均非负,不
符合题意,故选 A. 考点:1.导数的计算;2.导数的几何意义.

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.执行右边的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S 的值为_______.

【答案】 1 【解析】 试题分析: 按 程 序 运 行 的 过 程 , 运 行 一 遍 程 序 : n ? 3, i ? 1,S ? 0 ,S?

2 ?1 , 循 环 ,

i ? 2 ,S ?

,循环, i ? 3, S ? 4 ?1 ? 1 ,退出循环,输出 S ? 1 . 3? 1

考点:程序框图 12.观察下列等式:

π 2π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ?1? 2 ; 3 3 3 π 2π 3π 4π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ? 2 ? 3 ; 5 5 5 5 3 π 2π 3π 6π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 3 ? 4 ; 7 7 7 7 3 π ?2 2π ?2 3π ?2 8π ?2 4 (sin ) ? (sin ) ? (sin ) ? ??? ? (sin ) ? ? 4 ? 5 ; 9 9 9 9 3
??
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π ?2 2π ?2 3π ?2 2nπ ?2 ) ? (sin ) ? (sin ) ? ??? ? (sin ) ? _________. 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 4 【答案】 ? n ? ? n ? 1? 3 (sin
【解析】 试题分析: 通过类比,可以发现,最前面的数字是

4 ,接下来是和项数有关的两项的乘积,即 3

n ? n ? 1? ,故答案为 ? n ? ? n ? 1?
考点:合情推理与演绎推理 13.已知向量 a=(1,–1) ,b=(6,–4) .若 a⊥(ta+b) ,则实数 t 的值为________. 【答案】 ?5 【解析】 试题分析:

4 3

? ? ? ? ? ta ? b ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? , ta ? b ? a ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? ? ?1, ?1? ? 2t ? 10 ? 0 ,解得 t ? ?5

?

?

考点:平面向量的数量积 14.已知双曲线 E:

x2 y2 – =1(a>0,b>0) .矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD a2 b2

的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______. 【答案】 2 【解析】 试题分析: 依题意,不妨设 AB ? 6, AD ? 4 作出图像如下图所示

试卷第 6 页,总 16 页

则 2c ? 4, c ? 2;2a ? DF2 ? DF 1 ? 5 ? 3 ? 2, a ? 1, 故离心率 考点:双曲线的几何性质 15.已知函数 f(x)= ?

c 2 ? ?2 a 1

? ? x , x ? m,
2 ? ? x ? 2mx ? 4m, x ? m,

其中 m>0.若存在实数 b,使得关于 x 的

方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是_______. 【答案】 ?3, ??? 【解析】 试题分析: 画出函数图像如下图所示:

由图所示,要 f ? x ? ? b 有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即

试卷第 7 页,总 16 页

m ? m2 ? 2m ? m ? 4m, m2 ? 3m ? 0 ,解得 m ? 3
考点:函数的图像与性质,数形结合,分段函数 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 16.某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所 示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记 录的数分别为 x,y.奖励规则如下:

①若 xy ? 3 ,则奖励玩具一个; ②若 xy ? 8 ,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率; (Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析:用数对 ? x, y ? 表示儿童参加活动先后记录的数,写出基本事件空间 ? 与点集

5 .(Ⅱ)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 16

S ? ?? x, y ? | x ? N , y ? N ,1 ? x ? 4,1 ? y ? 4?一一对应.得到基本事件总数为 n ? 16.
(Ⅰ)事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ? 2,1? , ?3,1? , 计算即得. (Ⅱ)记“ xy ? 8 ”为事件 B , “ 3 ? xy ? 8 ”为事件 C . 知事件 B 包含的基本事件共有 6 个,得到 P ? B ? ? 事件 C 包含的基本事件共有 5 个,得到 P ? C ? ? 比较即知. 试题解析:用数对 ? x, y ? 表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间 ? 与点集

6 3 ? . 16 8

5 . 16

S ? ?? x, y ? | x ? N, y ? N,1 ? x ? 4,1 ? y ? 4? 一 一 对 应 . 因 为 S 中 元 素 个 数 是
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4 ? 4 ? 16, 所以基本事件总数为 n ? 16.
(Ⅰ)记“ xy ? 3 ”为事件 A . 则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ? 2,1? , ?3,1? , 所以, P ? A ? ?

5 5 , 即小亮获得玩具的概率为 . 16 16

(Ⅱ)记“ xy ? 8 ”为事件 B , “ 3 ? xy ? 8 ”为事件 C . 则事件 B 包含的基本事件共有 6 个,即 ? 2,4? , ?3,3? , ?3,4?? 4,2? , ? 4,3? , ? 4,4 ? , 所以, P ? B ? ?

6 3 ? . 16 8

则事件 C 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,4? , ? 2,2? , ? 2,3? , ?3,2? , ? 4,1? , 所以, P ? C ? ? 因为

5 . 16

3 5 ? , 8 16

所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点:古典概型 17.设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (Ⅰ)求 f ( x ) 得单调递增区间; (Ⅱ)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得 到的图象向左平移

π π 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 3 6

【答案】 ( Ⅰ ) f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 是 ? k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ?k ? Z ?, ( 或 12 ? ?

( k? ?

?
12

,k ??

5? ? ? Z) ?) k 12

(Ⅱ) 3. 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 化 简 f

? x ??2

3 s?? i n ??x

s ?i n ?x

x ?s ?i n 得x
2

c o s

?? ? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 ? 1, 3? ?
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 即得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12

写出 f ? x ? 的单调递增区间
试卷第 9 页,总 16 页

(Ⅱ) 由 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1, 平移后得 g ? x ? ? 2sin x ? 3 ? 1. 进一步可得 3?

?? ? g ? ?. ?6?
试题解析: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 3 sin ?? ? x ? sin x ? ? sin x ? cos x ?
2

? 2 3 sin 2 x ? ?1 ? 2sin x cos x ? ? 3 ?1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1
? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ?1

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 ? 1, 3? ?
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12

所 以 ,

? 5? ? ? f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? , ( 或 12 12 ? ?
,? k? 5? k ? )? 1 2 Z ?)

( k? ?

?
1 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1, 3?

把 y ? f ? x ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 得到 y ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1 的图象, 3?

再把得到的图象向左平移

? 个单位,得到 y ? 2sin x ? 3 ?1 的图象, 3

即 g ? x ? ? 2sin x ? 3 ? 1. 所以

? ?? ? g ? ? ? 2sin ? 3 ? 1 ? 3. 6 ?6?

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.三角函数的图象和性质. 18.在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

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(Ⅰ)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC. 【答案】 (Ⅰ)证明:见解析; (Ⅱ)见解析. 【解析】 试 题分析 : ( Ⅰ)根 据 EF // BD ,知 EF 与 BD 确定 一个平 面,连接 DE , 得 到 DE ? AC , BD ? AC ,从而 AC ? 平面 BDEF ,证得 AC ? FB . (Ⅱ)设 FC 的中点为 I ,连 GI , HI ,在 ?CEF , ?CFB 中,由三角形中位线定理可 得线线平行,证得平面 GHI // 平面 ABC ,进一步得到 GH // 平面 ABC . 试题解析: (Ⅰ)证明:因 EF // BD ,所以 EF 与 BD 确定一个平面,连接 DE ,因为

AE ? EC, E 为 AC 的 中 点 , 所 以 DE ? AC ; 同 理 可 得 BD ? AC , 又 因 为

BD ? DE ? D ,所以 AC ? 平面 BDEF ,因为 FB ? 平面 BDEF , AC ? FB 。
(Ⅱ)设 FC 的中点为 I ,连 GI , HI ,在 ?CEF 中,G 是 CE 的中点,所以 GI // EF , 又 EF // DB ,所以 GI // DB ;在 ?CFB 中, H 是 FB 的中点,所以 HI // BC ,又 GI ? HI ? I ,所以平面 GHI // 平面 ABC ,因为 GH ? 平面 GHI ,所以 GH // 平面

ABC 。
E F

H G I A D C B

考点:1.平行关系;2.垂直关系. 19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 8n , ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1 . (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1)n?1 .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2)n

【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1;(Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n?2 【解析】
试卷第 11 页,总 16 页

试题分析: (Ⅰ)由题意得 ?

?a1 ? b1 ? b2 ,解得 b1 ? 4, d ? 3 ,得到 bn ? 3n ? 1。 ?a 2 ? b2 ? b3
) 知













cn ?

(6n ? 6) n?1 ? 3(n ? 1) ? 2 n?1 n (3n ? 3)







Tn ? 3[2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? ? ? (n ? 1)2n?1 ]
利用“错位相减法”即得 Tn ? 3n ? 2 n?2 试题解析: (Ⅰ) 由题意当 n ? 2 时, 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 11; an ? S n ? S n?1 ? 6n ? 5 , 所以 an ? 6n ? 5 ;设数列的公差为 d ,由 ?

?a1 ? b1 ? b2 ?11 ? 2b1 ? d ,即 ? ,解之得 ?a 2 ? b2 ? b3 ?17 ? 2b1 ? 3d

b1 ? 4, d ? 3 ,所以 bn ? 3n ? 1。
(6n ? 6) n?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ? ? 3(n ? 1) ? 2 n?1 ,又 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? cn , n (3n ? 3)


Tn ? 3[2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? ? ? (n ? 1)2n?1 ]







2Tn ? 3[2 ? 23 ? 3 ? 24 ? 4 ? 25 ? ? ? ? ? (n ? 1)2n?2 ] , 以 上 两 式 两 边 相 减 得
? Tn ? 3[2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 1)2 n? 2 ] ? 3[4 ?
。 所以 Tn ? 3n ? 2 n?2 考点:1.等差数列的通项公式;2.等比数列的求和;3.“错位相减法”. 2 20.设 f(x)=xlnx–ax +(2a–1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f'(x) ,求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? 0, (Ⅱ) a ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求导数 f ' ? x ? ? ln x ? 2ax ? 2a, 可得 g ? x ? ? ln x ? 2ax ? 2a, x ? ? 0, ??? , 从而 g ' ? x ? ?

4(2 n ? 1) ? (n ? 1)2 n? 2 ] ? ?3n ? 2 n ? 2 2 ?1

? ?

1 ? ? 1 ? ? ,单调递减区间为 ? , ?? ? . 2a ? ? 2a ?

1 . 2

1 1 ? 2ax ? 2a ? , x x
试卷第 12 页,总 16 页

讨论当 a ? 0 时,当 a ? 0 时的两种情况即得. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ' ?1? ? 0 .分以下情况讨论:①当 a ? 0 时,②当 0 ? a ? ③当 a ?

1 时, 2

1 1 时,④当 a ? 时,综合即得. 2 2

试题解析: (Ⅰ)由 f ' ? x ? ? ln x ? 2ax ? 2a, 可得 g ? x ? ? ln x ? 2ax ? 2a, x ? ? 0, ??? , 则 g '? x? ?

1 1 ? 2ax ? 2a ? , x x

当 a ? 0 时, x ? ? 0, ??? 时, g ' ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递增; 当 a ? 0 时, x ? ? 0,

? ?

1 ? ? 时, g ' ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递增, 2a ?

? 1 ? x ? ? , ?? ? 时, g ' ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递减. ? 2a ?
所以当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? 0, (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ' ?1? ? 0 . ①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减. 所以当 x ? ? 0,1? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减. 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. 所以 f ? x ? 在 x=1 处取得极小值,不合题意. ②当 0 ? a ?

? ?

1 ? ? 1 ? ? ,单调递减区间为 ? , ?? ? . 2a ? ? 2a ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ,由(Ⅰ)知 f ' ? x ? 在 ? 0, ? 内单调递增, 时, 2 2a ? 2a ?

可得当当 x ? ? 0,1? 时, f ' ? x ? ? 0 , x ? ?1, 所以 f ? x ? 在(0,1)内单调递减,在 ?1,

? 1 ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , ? 2a ?

? 1 ? ? 内单调递增, ? 2a ?

所以 f ? x ? 在 x=1 处取得极小值,不合题意. ③当 a ?

1 1 ? 1 时, f ' ? x ? 在(0,1)内单调递增,在 ?1, ?? ? 内单调递减, 时,即 2 2a
试卷第 13 页,总 16 页

所以当 x ? ? 0, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减,不合题意. ④当 a ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ,当 x ? ? ,1? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增, 时,即 0 ? 2 2a ? 2a ?

当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减, 所以 f(x)在 x=1 处取得极大值,合题意. 综上可知,实数 a 的取值范围为 a ?

1 . 2

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想. 21.已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .

(Ⅱ)过动点 M(0,m) (m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限) , 且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 【答案】 (Ⅰ)

x2 y 2 6 ? ? 1 .(Ⅱ) (i)见解析; (ii)直线 AB 的斜率的最小值为 . 4 2 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)分别计算 a,b 即得. (Ⅱ) (i)设 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 0, y0 ? 0? , 由 M(0,m) ,可得 P ? x0 ,2m? , Q ? x0 , ?2m? . 得到直线 PM 的斜率 k ?

2m ? m m ?2m ? m 3m ,直线 QM 的斜率 k ' ? .证得. ? ?? x0 x0 x0 x0

(ii)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 直线 PA 的方程为 y=kx+m, 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.

试卷第 14 页,总 16 页

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? ?4 2
2 2 2 整理得 2k ? 1 x ? 4mkx ? 2m ? 4 ? 0 .

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?

























的 ,









x2 ? x1 ?

y2 ? y1

?18k ? 1?? 2k ? 1? x ?6k ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2? ?8k ? 6k ? 1?? m ? 2 ? ? ?m? ?m ? ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x
2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0

?18k

2 ? m2 ? 2 ?

? 1? x0

?

? 2k

2 ? m2 ? 2 ?

? 1? x0

?

?32k 2 ? m2 ? 2 ?



得到 k AB ?

y2 ? y1 6k 2 ? 1 1 ? 1? ? ? ? 6k ? ? . x2 ? x1 4k 4? k?

应用基本不等式即得. 试题解析: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c, 由题意知 2a ? 4, 2c ? 2 2 , 所以 a ? 2, b ?

a2 ? c2 ? 2 ,

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4 2
(Ⅱ) (i)设 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 0, y0 ? 0? , 由 M(0,m) ,可得 P ? x0 ,2m? , Q ? x0 , ?2m? . 所以 直线 PM 的斜率 k ?

2m ? m m , ? x0 x0

直线 QM 的斜率 k ' ?

?2m ? m 3m . ?? x0 x0

k' ? ?3 , k k' 所以 为定值-3. k
此时 (ii)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 直线 PA 的方程为 y=kx+m, 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 y 2 , ?1 ? ? ?4 2

试卷第 15 页,总 16 页

整理得 2k 2 ? 1 x 2 ? 4mkx ? 2m 2 ? 4 ? 0 .

?

?

2 ? m2 ? 2 ? 2m 2 ? 4 由 x0 x1 ? 可得 x1 ? , 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1? x0
所以 y1 ? kx1 ? m ?
2

? 2k ? 1? x 2 ? m ? 2? ?6k ? m ? 2 ? 同理 x ? ,y ? ? m. ?18k ? 1? x ?18k ? 1? x 2 ? m ? 2? 2 ? m ? 2? ?32k ? m ? 2 ? 所以 x ? x ? , ? ? ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x ?6k ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2? ?8k ? 6k ? 1?? m ? 2 ? y ?y ? ?m? ?m ? ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x
2 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0

2k ? m 2 ? 2 ?

? m,



所以 k AB

y2 ? y1 6k 2 ? 1 1 ? 1? ? ? ? ? 6k ? ? . x2 ? x1 4k 4? k?

由 m ? 0, x0 ? 0 ,可知 k>0, 所以 6k ?

1 6 ? 2 6 ,等号当且仅当 k ? 时取得. k 6

此时

m 4 ? 8m2

?

14 6 ,即 m ? ,符号题意. 7 6
6 . 2

所以直线 AB 的斜率的最小值为

考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式.

试卷第 16 页,总 16 页


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