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数列练习题(含答案)基础知识点

数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn

S偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

?a ? a ? n ? 1 n ? na
2

n ? n ? 1? d 1? 2

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列, 公差为 n 2 d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S2 m?1 ? bm T2 m?1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 , an ? ? q ( q 为常数, q ? 0 ) a q1 an
n ?1

.

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函 数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,

注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

?an ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. a ? 0 ? n ?1 ?an ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(6)项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? , 有

.

3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

1

1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

① ②

可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 n ?1 a ? 2 ,∴ ,∴ a ? 2 a ? ? n?1 n n n 2n ?2 (n ? 2)

∴ an ?

5 [练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ?
2an ,求 an an ? 2

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1

由已知得:

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? · ? ? n ? 1? , 2 a1 an 2 2 ? an ?
∴ an ? ( 附:
2 n ?1



3 a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ? a2 ? a1 ? f (2)

a ? 公式法、 利用 n
)

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2) 、 累加法、 累乘法.构造等差或等比 an?1 ? pan ? q 或

an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n)
1 a ? 3n ? 1? [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? ,求 an ( n 2 ? )

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?

(4)等比型递推公式

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )

1 k ?1 ak ak ?1

n

2

解:由
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ∴? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 由 f ( x) ? f ? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ?

1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列, 求数列 ?anbn ? (差比数列) 前 n 项和, 可由 Sn ? qSn , ?bn ? 为等比数列, 求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比. 如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

二、等差等比数列复习题
一、 选择题 1 、 如 果 一 个 数 列 既 是 等 差 数 列 , 又 是 等 比 数 列 , 则 此 数 列 ( ) (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 2. 、 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 4 , 且 a1 , a5 , a13 成 等 比 数 列 , 则 ?an ? 的 通 项 公 式 为 ( ) (B)an ? n ? 3 (C)an ? 3n ? 1或 an ? 4 (D)an ? n ? 3 或 an ? 4
a c ? 的值为 x y

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时, S n

(A)an ? 3n ? 1

?1 ? x ? ? nx ?
n

?1 ? x ?

2

n ? n ? 1? , x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ? 2 1? x
n

3 、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则 ( ) (A)
1 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
[练习]已知 f ( x) ?
x2 ,则 1 ? x2

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, y 是 b,c 的等比中项,那 么 x 2 , b 2 , y 2 三个数( ) (B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列

(A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列

5 、 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , S 2n?1 ? 4n 2 ? 2n , 则 此 数 列 的 通 项 公 式 为 (
3



(A) an ? 2n ? 2 6 ( ) 、 已

(B) an ? 8n ? 2 知

(C) an ? 2 n?1

(D) an ? n 2 ? n , 则

13、各项都是正数的等比数列 ?an ? ,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q = 14、已知等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则

( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z)

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

1 1 1 1 1 1 (A)x, y, z 成等差数列 (B)x, y, z 成等比数列 (C) , , 成等差数列 (D) , , x y z x y z

成等比数列 7 、 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n ? a n ? 1 ,则 关 于 数 列 ?an ? 的 下 列 说法 中 , 正 确 的 个 数 有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? 8 、 数 列 1 , 前 n 项 和 为 2 4 8 16 ( ) 1 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 (B) n 2 ? n ?1 ? n 2 ? n ? n ? 1 (D) n 2 ? n ? n ?1 ? (A) (C) 2 2 2 2 2 2 9、若两个等差数列 ?an ? 、?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足 的值为 ( 7 (A) 9 ) (B)
8 7

1 15、已知数列 ?an ? 满足 S n ? 1 ? a n ,则 an = 4 16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入 的这两个数的等比中项为 二、 解答题

17 、 已知 数列 ?an ? 是 公 差 d 不为零的 等差数 列, 数列 abn 是 公 比 为 q 的等比 数列,

? ?

b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46 ,求公比 q 及 bn 。

18 、 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 与 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 相 等 , 且 都 等 于
d (d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1 , a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。

An 4n ? 2 a ? a13 ,则 5 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13
7 8

(C)

19 20

(D)

10 、 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n ? n 2 ? 5n ? 2 , 则 数 列 ?an ? 的 前 10 项 和 为 ( ) (A)56 (B)58 (C)62 (D)60

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36, 求这四个数。

11、已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ? 中依次取出第 3,9,27,…3n, …项,按 原 来 的 顺 序 排 成 一 个 新 的 数 列 , 则 此 数 列 的 前 n 项 和 为 ( ) (A)
n(3 n ? 13) 2

(B) 3n ? 5

(C)

3 n ? 10n ? 3 2

(D)

3 n ?1 ? 10n ? 3 2

二、填空题
4

20、已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

第九单元
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A

数列综合题
7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1? 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题

21、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a 3 ?b 3 成 等比数列,求 Tn

17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1· 4n-1=3d· 4n-1,a1+(bn-1)d=3d· 4n-1

∴bn=3· 4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d2 , ? a1(1-3d2)=-2d ? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ②

1 ② 1 ? 5d 5 ,得 =2 , ∴ d2=1 或 d2= , 由 题 意 , d= ,a1=2 ① 5 5 1 ? 3d
bn=a1dn-1=- 5 · (

5 。 ∴ an=a1+(n-1)d=

5 (n-6) 5

5 n-1 ) 5
a , a, aq,2aq ? a q

22、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?1.4b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;

19.设这四个数为

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


由①,得 a3=216,a=6 ③


∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

5

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× ( )n 1= n-1 = 2× 33 n. 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× 3n 3. 9 9

? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ). 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .

21.解:(I)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得

(II)证法一:

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? 22(I) :
2

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③ ④

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

an?1 ? 2an ? ( 1 n ?,)N *

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
6


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