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MirceaLasscu不等式推广的简单证法_安振平

· 10·

中学教研 ( 数学)

2011 年

Mircea Lasscu 不 等 式 推 广 的 简 单 证 法
●安振平 马俊青
( 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 陕西咸阳 712000 )

1] 文献[ 介绍了 Mircea Lasscu 不等式的 3 元情景: y, z 是正实数, 问题 1 设 x, 求证: x3 + y3 + z3 3 槡 xyz + ( 1) ≥ 2. 3 xyz x +y +z 2] 文献[ 给出了不等式( 1 ) 的 2 元情景的简单证法. 本文意在考虑 Mircea Lasscu 不等式的 n 元情景, 并给出一种十分简单的证明, 证明过程中仅用到熟 知的算术—几何平均不等式. 2, …, n, n≥2 ) , 问题 2 设 x k > 0 ( k = 1 , 求证:
n n x1 + x2 + … + xn n 槡 x1 x2 …x n n + ≥ 2. nx1 x2 …x n x1 + x2 + … + x n 由 2 元算术—几何平均不等式, 得 n n x1 + x2 n 槡 x1 x2 …x n n + … + xn + ≥2 nx1 x2 …x n x1 + x2 + … + x n n n n x1 + x2 + … + xn n 槡 x1 x2 …x n n · = nx1 x2 …x n x1 + x2 + … + x n n n x1 + x2 + … + xn n n n 3

( 2)

证明



-1 n - 1 2n - 1 -1 x …x n +槡 x1 x2 …x n +…+ n n 于是要证明不等式( 2 ) 成立, 只要证明不等式 n n x1 + x2 + … + xn n

2

x 槡 槡

n

2n - 1 n - 1 1 2

n

x1 槡

n

n -1

n -1 n -1 x2 …x2 n



即证明如下不等式
2

x1 槡

n

2n - 1

n -1 -1 x2 …x n + n

x1 槡

n

n - 1 2n - 1 2

x

-1 …x n +…+ n

x1 槡

n

n -1

n -1 n -1 x2 …x2 n

≥1 ,

应用 n 元算术—几何平均不等式, 得
n -1 n -1 -1 x2 x2 …x n = 1 n 槡 n n2 n 2n - 1 n ( x1 ) ·( x2 ) 槡 n -1

x1 槡

n

2n -1

n -1 -1 x2 …x n + n

x1 槡

n

n -1 2n -1 2

x

-1 …x n +…+ n

x1 槡
n -1

n

n -1

n -1 n -1 n n n x2 …x2 ≤ x1 + x2 + … + x n . n

( 3)

n n ( 2 n - 1 ) x1 + ( n - 1 ) x2 + … + ( n - 1) xn n , n2 n n ( 2 n - 1 ) x1 + ( n - 1 ) x2 + … + ( n - 1) xn n 2n - 1 n - 1 n n -1 x1 x2 …x n ≤ . 即 槡 n2 n n ( n - 1 ) x1 + ( 2 n - 1 ) x2 + … + ( n - 1) xn n n - 1 2n - 1 n n -1 x x … x , 同理可得 ≤ n 槡1 2 n2 … n n n ( n - 1 ) x n n -1 n -1 1 + ( n - 1 ) x2 + … + ( 2 n - 1 ) x n 2n - 1 x x … x . ≤ n 槡1 2 n2 将这 n 个同向不等式叠加, 立知不等式( 3 ) 成立. 故

·…·( x n n)



n n x1 + x2 + … + xn n 槡 x1 x2 …x n n + ≥2 . nx1 x2 …x n x1 + x2 + … + x n 1] 读者不难发现, 这个证明方法显然比文献[ 对 3 元情景的证明要简单得多.

n









[ 1] 蔡玉书. 舒尔不等式及其变式的应用[ J] . 数学通讯( 下半月) , 2010 ( 8 ) : 6264. [ 2] 刘康宁. 金版奥赛教程( 数学高二分册) [ M] . 杭州: 浙江大学出版社, 2009.


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